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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:24 Di 05.08.2008 | | Autor: | libbi |
Mit zwei Winkeln, Azimuth θ und Elliptizität ε, werden alle Punkte auf der Kugeloberfläche beschrieben.
Wertebereiche:
-π/2 < θ ≤ π/2
-π/4 ≤ ε ≤ π/4
Der Startvektor wird dadurch bestimmt, dass ein Winkel θ und ein Winkel ε, gleichverteilt ausgewürfelt werden.
Vom nun resultierenden Startvektor sollen nun ein Δθ und ein Δε gleichverteilt ausgewürfelt und zu den vorherigen Winkeln hinzuaddiert werden, so dass sich ein maximaler Winkel zwischen dem ursprünglichen Vektor (hier Startvektor) und dem "neuen Vektor" von 10° ergibt.
D.h. die möglichen Vektoren die beschrieben werden können liegen innerhalb eines Kreises mit dem (Bogen)radius von 10° auf der Kugeloberfläche.
Dieser Vorgang soll nun für eine bestimmte Anzahl von Schritten fortgesetzt werden und die komplette Kugeloberfläche mit resultierenden Punkten "bedeckt" werden.
Wie kann ich in MATLAB die Δ- Werte so bestimmen dass die Bedingung der Gleichverteilung an jedem Oberflächenpunkt, sowie die Einhaltung der maximalen Winkelschrittweite gewährleistet ist?
Als "Aushilfslösung" und zur Probe habe ich den Satz des Pythagoras in folgender Form angewandt (mit φ= 10°):
φ^2 ≥ Δθ^2 + Δε^2
Das funktioniert auch teilweise in ganz guter Näherung, allerdings wenn man sich den Punkten nähert, die man als Nord- und Südpol betrachten könnte, also |ε| ~ π/4 bleibt man in diesen Bereichen sehr stark "hängen".
Ich bin dankbar für jede Anregung!
Viele Grüße
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: doc) [nicht öffentlich]
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hallo libbi,
ich möchte zu der Aufgabe verschiedene Anmerkungen
machen und Fragen stellen.
1.) Mit dem Ausdruck "Elliptizität" kann ich hier nichts
anfangen, wenn es um Kugelkoordinaten geht
2.) Der Bereich [mm] -\bruch{\pi}{4}\le \varepsilon \le \bruch{\pi}{4}
[/mm]
kann wohl nicht stimmen, wenn die ganze Kugelober-
fläche beschrieben werden soll.
3.) Ich würde empfehlen, für die Kugelkoordinaten die
üblichen Standardbezeichnungen zu verwenden,
also [mm] \varphi [/mm] mit [mm] 0\le \varphi [/mm] < [mm] 2*\pi [/mm] (dies wäre der
"Azimutwinkel" !) und [mm] \vartheta [/mm] mit [mm] 0\le\vartheta \le \pi
[/mm]
bzw. [mm] -\pi/2 \le \vartheta \le \pi/2 [/mm] .
3.) Wenn man die beiden Winkel gleichverteilt "auswürfelt",
entsteht keineswegs eine Gleichverteilung auf der
Kugeloberfläche, sondern es entsteht zu den Polen
hin eine starke Konzentration, weil in jedem Gebiet
zwischen zwei aufeinander folgenden "Breitenkreisen"
gleich viele Zufallspunkte landen. Dieser Effekt muss
so korrigiert werden, dass die Anzahl der zu erwartenden
Zufallspunkte pro Flächeneinheit auf der ganzen Kugel
konstant ist.
4.) Ich verstehe die Aufgabenstellung nicht ganz. Soll da
auf der Kugeloberfläche so etwas wie ein "random walk"
veranstaltet werden ?
Oder geht es darum, auf die Kugel so etwas wie einen
zwar zufälligen, aber doch einigermassen "homogenen"
Sternenhimmel zu applizieren ?
5.) "Pythagoras auf der Kugeloberfläche" könnte höchstens
als notdürftige Näherung verwendet werden. In der
sphärischen Trigonometrie (bzw. Vektorgeometrie)
gibt es natürlich die nötigen Formeln für eine exakte
Winkelberechnung.
LG al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Di 05.08.2008 | | Autor: | libbi |
| Aufgabe | Danke erstmal für die Reaktion.
zu 1.) und 2.)
Es geht um die sogenannte Poincaré-Kugel, auf der Polarisationszustände dargestellt werden können und die Intervalle die ich für die Winkel angegeben habe, werden bei dieser Darstellung mit dem Faktor 2 multipliziert. Daher kann mit den genannten Bereichen die gesamte Oberfläche abgedeckt werden. Daher bin ich von der üblichen Standardbezeichnung abgewichen.
Der Azimuthwinkel 2* [mm] \vartheta [/mm] = [mm] \varphi [/mm] (Standardbezeichnung)
Die Elliptizität [mm] 2*\varepsilon [/mm] = [mm] \vartheta [/mm] Standardbezeichnung)
zu 3.)
wie muss ich denn die Auswürfelung anpassen damit ich eine Gleichverteilung auf der Kugeloberfläche bekomme?
zu 4.)
Es geht um eine Art "random walk", allerdings mit eingeschränkter Schrittweite, eben die genannten 10°. Dies bedeutet dass sich die Polarisation des Signals, welche auf der Kugel dargestellt wird, nur um einen relativ kleinen Betrag ändern kann.
zu 5.)
ich habe nun einen Versuch gestartet, in dem ich einen Einheitsvektor ausgewürfelt habe und diesen als Drehachse im Raum verwende. Anschließend würfele ich den Betrag des Drehwinkels aus. Allerdings habe ich hier immer noch das Problem mit der Gleichverteilung.
Gruß
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> hallo libbi,
>
> ich möchte zu der Aufgabe verschiedene Anmerkungen
> machen und Fragen stellen.
>
> 1.) Mit dem Ausdruck "Elliptizität" kann ich hier nichts
> anfangen, wenn es um Kugelkoordinaten geht
>
> 2.) Der Bereich [mm]-\bruch{\pi}{4}\le \varepsilon \le \bruch{\pi}{4}[/mm]
>
> kann wohl nicht stimmen, wenn die ganze Kugelober-
> fläche beschrieben werden soll.
>
> 3.) Ich würde empfehlen, für die Kugelkoordinaten die
> üblichen Standardbezeichnungen zu verwenden,
> also [mm]\varphi[/mm] mit [mm]0\le \varphi[/mm] < [mm]2*\pi[/mm] (dies wäre
> der
> "Azimutwinkel" !) und [mm]\vartheta[/mm] mit [mm]0\le\vartheta \le \pi[/mm]
>
> bzw. [mm]-\pi/2 \le \vartheta \le \pi/2[/mm] .
>
> 3.) Wenn man die beiden Winkel gleichverteilt
> "auswürfelt",
> entsteht keineswegs eine Gleichverteilung auf der
> Kugeloberfläche, sondern es entsteht zu den Polen
> hin eine starke Konzentration, weil in jedem Gebiet
> zwischen zwei aufeinander folgenden "Breitenkreisen"
> gleich viele Zufallspunkte landen. Dieser Effekt
> muss
> so korrigiert werden, dass die Anzahl der zu
> erwartenden
> Zufallspunkte pro Flächeneinheit auf der ganzen
> Kugel
> konstant ist.
>
> 4.) Ich verstehe die Aufgabenstellung nicht ganz. Soll da
> auf der Kugeloberfläche so etwas wie ein "random
> walk"
> veranstaltet werden ?
> Oder geht es darum, auf die Kugel so etwas wie einen
> zwar zufälligen, aber doch einigermassen "homogenen"
> Sternenhimmel zu applizieren ?
>
> 5.) "Pythagoras auf der Kugeloberfläche" könnte höchstens
> als notdürftige Näherung verwendet werden. In der
> sphärischen Trigonometrie (bzw. Vektorgeometrie)
> gibt es natürlich die nötigen Formeln für eine
> exakte
> Winkelberechnung.
>
>
> LG al-Chwarizmi
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hallo libbi,
> zu 1.) und 2.)
> Es geht um die sogenannte Poincaré-Kugel, auf der
> Polarisationszustände dargestellt werden können und die
> Intervalle die ich für die Winkel angegeben habe, werden
> bei dieser Darstellung mit dem Faktor 2 multipliziert.
> Daher kann mit den genannten Bereichen die gesamte
> Oberfläche abgedeckt werden. Daher bin ich von der üblichen
> Standardbezeichnung abgewichen.
>
> Der Azimuthwinkel 2* [mm]\vartheta[/mm] = [mm]\varphi[/mm]
> (Standardbezeichnung)
>
> Die Elliptizität [mm]2*\varepsilon[/mm] = [mm]\vartheta[/mm]
> Standardbezeichnung)
O.K., dann ist dies natürlich alles klar.
Bleiben wir also bei deinen ursprünglichen Bezeichnungen.
> zu 3.)
>
> wie muss ich denn die Auswürfelung anpassen damit ich eine
> Gleichverteilung auf der Kugeloberfläche bekomme?
Den Azimutwinkel (also auch dein [mm] \vartheta) [/mm] darf man natürlich
gleichverteilt annehmen.
Anstatt [mm] 2*\varepsilon [/mm] sollte man die Grösse [mm] z=sin(2*\varepsilon)
[/mm]
gleichverteilt annehmen (zwischen -1 und 1) und dann [mm] \varepsilon=\bruch{arcsin(z)}{2}
[/mm]
bilden.
Begründung: Die zylindrische Projektion der Kugeloberfläche
S: [mm] x^2+y^2+z^2=1 [/mm] auf die Zylinderfläche Z: [mm] x^2+y^2=1, -1\le [/mm] z [mm] \le [/mm] 1
ist flächentreu. (Stichwort: Kugeloberfläche nach Archimedes/Cavalieri).
> zu 4.)
>
> Es geht um eine Art "random walk", allerdings mit
> eingeschränkter Schrittweite, eben die genannten 10°. Dies
> bedeutet dass sich die Polarisation des Signals, welche auf
> der Kugel dargestellt wird, nur um einen relativ kleinen
> Betrag ändern kann.
>
> zu 5.)
>
> ich habe nun einen Versuch gestartet, in dem ich einen
> Einheitsvektor ausgewürfelt habe und diesen als Drehachse
> im Raum verwende. Anschließend würfele ich den Betrag des
> Drehwinkels aus. Allerdings habe ich hier immer noch das
> Problem mit der Gleichverteilung.
das müsste analog zu lösen sein !
Gruß al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 Di 05.08.2008 | | Autor: | libbi |
Ich habe eine Word-Datei hochgeladen in der eine Poincaré-Kugel dargestellt ist. Die Achsen sind statt mit x,y,z mit S1,S2,S3 beschrieben (S steht für Stokes)
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Hallo libbi,
Funktioniert die Gleichverteilung des Startvektors mittlerweile?
Dann nochmals eine Frage zum folgenden "random walk":
Soll die Schrittweite (als Winkel [mm] \alpha [/mm] beschrieben) einen
konstanten vorgeschriebenen Wert [mm] \alpha_0 [/mm] =10° haben
oder z.B. zwischen 0 und [mm] \alpha_{max}=10° [/mm] so verteilt sein,
dass wiederum die möglichen Zielpunkte eine kleine Kugel-
kalotte gleichverteilt bedecken - oder kommt es auf solche
Details gar nicht an ?
Der Random Walk wird natürlich die Kugeloberfläche erst
nach sehr vielen Schritten einigermassen gleichmässig
bedecken - oder ist etwa noch gedacht, den schon besuchten
Punkten "auszuweichen", so dass man eine Minimaldistanz
nicht unterschreitet ?
Da mir das dahinter steckende Problem vom physikalischen
(oder technischen) Hintergrund her nicht klar ist, stelle ich
möglicherweise sonderbare Fragen - aber ich sehe jedenfalls
darin eine Fülle von interessanten geometrischen Fragestel-
lungen !
LG Al-Chwarizmi
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