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Hi,
die Aufgabe lautet: Bestimmen Sie den Spiegelpunkt Q' von dem Punkt $Q(2,1,3)$ bezüglich der Ebene E : $x + y + z = 0$ !
Für mein besseres Verständnis und zum einfacheren Zeichnen modifiziere ich mir mal die Aufgabe zu Punkt [mm] $Q_2(2,1)$ [/mm] und Ebene [mm] $E_2 [/mm] : x + y = 0$. Ich denke dadurch wird sich das Prinzip der Aufgabe nicht sehr verändern. Ich hab mal ein Bild erstellt wie ich mir diese Spiegelung vorstelle.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Der gespiegelte Punkt $Q'_2$ liegt also bei (-2,-1). Dann müsste Q' also bei (-2,-1,-3) liegen? Und wie verhält es sich für den Fall, dass es sich nicht um E : $x + y + z = 0$, sondern um ein nicht rechtwinkliges Koordinatensystem handelt. Wie berechne ich es dann?
Gruß
Andreas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:09 Sa 29.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Andreas
> Hi,
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> die Aufgabe lautet: Bestimmen Sie den Spiegelpunkt Q' von
> dem Punkt [mm]Q(2,1,3)[/mm] bezüglich der Ebene E : [mm]x + y + z = 0[/mm]
> !
>
> Für mein besseres Verständnis und zum einfacheren Zeichnen
> modifiziere ich mir mal die Aufgabe zu Punkt [mm]Q_2(2,1)[/mm] und
> Ebene [mm]E_2 : x + y = 0[/mm]. Ich denke dadurch wird sich das
> Prinzip der Aufgabe nicht sehr verändern. Ich hab mal ein
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja, das kannst du ohne Weiteres in eine 2-dimensionale Entsprechung übertragen.
> Bild erstellt wie ich mir diese Spiegelung vorstelle.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Der gespiegelte Punkt [mm]Q'_2[/mm] liegt also bei (-2,-1). Dann
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Da bin ich aber nicht einverstanden. Deine Gleichung $x+y=0$ ist ja eine Gerade, die durch den Ursprung geht, mit Steigung -1.
Du hast aber nicht an dieser Geraden gespiegelt, sondern am Ursprung!
Der gespiegelte Punkt müsste eher die Koordinaten (1,-2) haben.
Du musst den Punkt senkrecht auf die Gerade projizieren, und dann vom Fusspunkt auf die andere Seite der Geraden marschieren, gleich weit, wie du vom Punkt schon zur Ebene gegangen bist.
Da eine Spielgelung an einer Ursprungsgeraden eine lineare Abbildung ist, kannst du aber einfach die Abbildungsmatrix bestimmen und dann die Matrix auf deinen Punkt Q wirken lassen.
Mit lieben Grüssen
Paul
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> > Der gespiegelte Punkt [mm]Q'_2[/mm] liegt also bei (-2,-1). Dann
>
> Da bin ich aber nicht einverstanden. Deine
> Gleichung [mm]x+y=0[/mm] ist ja eine Gerade, die durch den Ursprung
> geht, mit Steigung -1.
>
> Du hast aber nicht an dieser Geraden gespiegelt, sondern am
> Ursprung!
>
> Der gespiegelte Punkt müsste eher die Koordinaten (1,-2)
> haben.
>
> Du musst den Punkt senkrecht auf die Gerade projizieren,
> und dann vom Fusspunkt auf die andere Seite der Geraden
> marschieren, gleich weit, wie du vom Punkt schon zur Ebene
> gegangen bist.
>
> Da eine Spielgelung an einer Ursprungsgeraden eine lineare
> Abbildung ist, kannst du aber einfach die Abbildungsmatrix
> bestimmen und dann die Matrix auf deinen Punkt Q wirken
> lassen.
Ok, ich hab nochmal etwas dazu im Internet gesucht und dies auf emath.de gefunden:
![[]](/images/popup.gif) Spiegelungen
Ich will mal die Formel aus Kapitel 2.7.1 auf mein Beispiel übertragen:
$l = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 3} [/mm] + t [mm] \vektor{1 \\1 \\1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2}$
[/mm]
t ist dort -1 und das kommt mir für eine Spiegelung auch sinnvoll vor.
Dann Q' berechnen:
[mm] $\vec{Q'} [/mm] = [mm] \vec{Q} [/mm] + [mm] 2(\vec{l}-\vec{Q})=\vektor{2\\1\\3}+2[\vektor{1\\0\\2}-\vektor{2\\1\\3}]=\vektor{0\\-1\\5}$
[/mm]
Hm, ist nicht wirklich das was heraus kommen soll. Also an welchem Punkt liegt das Problem? Falsche Formel?
Gruß
Andreas
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Die Formel an sich ist schon völlig richtig, aber wie du sie angewendet hast, versteh ich nicht.
Die Hilfsgerade hast du richtig aufgestellt, aber das [mm]...=\vektor{1 \\ 0 \\ 2}[/mm] versteh ich nicht.
Hier mal ne kleine Skizze, wie die Formel zu verstehen ist:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Zuerst wird ja die Hilfsgerade aufgestellt (bei dir heißt sie [mm]l[/mm], in meiner Skizze [mm]h[/mm]), was du richtig gemacht hast. Dann wird der Durchstoßpunkt Ebene-Gerade berechnet, das ist dann der Punkt [mm]L[/mm].
Und dann der "Trick" der Formel: man will ja die Koordinaten des Punktes [mm]Q'[/mm] (bzw. den Ortsvektor [mm]\overrightarrow{0Q'}[/mm]).
Dazu macht man den Umweg über die bekannten Punkte [mm]Q[/mm] und [mm]L[/mm]: wenn man vom Ursprung aus zuerst zum Punkt [mm]Q[/mm] geht, und danach 2 mal den Vektor [mm]\overrightarrow{QL}[/mm] dranhängt, dann kommt man beim Punkt [mm]Q'[/mm] raus.
Oder in Formeln: [mm]\overrightarrow{0Q'}=\overrightarrow{0Q}+2 \cdot \overrightarrow{QL}[/mm].
Berechne erstmal den Durchstoßpunkt [mm]L[/mm].
Kontrollergebnis: [mm]L(0/-1/1)[/mm].
Danach kannst du die Formel anwenden, und müsstest den richtigen Spiegelpunkt erhalten.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> Und dann der "Trick" der Formel: man will ja die
> Koordinaten des Punktes [mm]Q'[/mm] (bzw. den Ortsvektor
> [mm]\overrightarrow{0Q'}[/mm]).
> Dazu macht man den Umweg über die bekannten Punkte [mm]Q[/mm] und
> [mm]L[/mm]: wenn man vom Ursprung aus zuerst zum Punkt [mm]Q[/mm] geht, und
> danach 2 mal den Vektor [mm]\overrightarrow{QL}[/mm] dranhängt, dann
> kommt man beim Punkt [mm]Q'[/mm] raus.
>
> Oder in Formeln: [mm]\overrightarrow{0Q'}=\overrightarrow{0Q}+2 \cdot \overrightarrow{QL}[/mm].
Also mir ist es ja langsam peinlich nochmal nachzufragen. Aber irgendwie bekomm ich das nicht mehr gebacken. Seit Stunden versuche ich jetzt das Ding zu lösen, aber irgendwie bekomm ich das alles nicht hin. Zudem ist Geometrie so lange her. Ich versuche erst nochmal eine graphische Lösung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Auf dem Bild hab ich wie von paulus beschrieben die Ebene E eingezeichnet und den Punkt Q senkrecht auf die Ebene projiziert. Danach in gleicher Richtung nochmal genau so weit gegangen. Das ganze endet also laut Zeichnung in dem Punkt Q'(-1/-2). Paulus schrieb aber (1/-2). Ich zerbreche mir jetzt schon seit stunden den Kopf ob das ein Tipfehler ist oder wie der Punkt da hingepiegelt wird.
> Berechne erstmal den Durchstoßpunkt [mm]L[/mm].
> Kontrollergebnis: [mm]L(0/-1/1)[/mm].
Also auf der Zeichnung ist der Duchstoßpunkt bei (0,5/-0,5). (Ich hab 2D genommen, weil sich das einfacher zeichnet.) Die Lotgerade läuft zwar auch durch (0/-1), aber stößt dort nicht durch die Ebene.
> Danach kannst du die Formel anwenden, und müsstest den
> richtigen Spiegelpunkt erhalten.
Also wenn ich den graphisch ermittelten Punkt L(0,5/0,5) einsetzte, dann kommt zumindest die graphisch ermittelte Spiegelung raus:
$ [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] + 2 * [mm] [\vektor{0,5\\-0,5}-\vektor{2\\1}]=\vektor{-1\\-2}$
[/mm]
Falls das nicht alles völliger Quatsch ist scheint es also zu passen mit dem Spiegelpunkt. Nur bin ich nicht in der Lage den Lotpunkt L(0,5/-0,5) (sofern er denn richtig ist) rechnerisch zu bestimmen. Ich hab schon verschiedene Formeln für Lotpunkte versucht, aber bin einfach in Geometrie nicht mehr so fit. Bevor ich da jetzt weiter versuche auf diesen Wert zu kommen würde ich halt gerne wissen ob wenigstens meine graphische Lösung richtig ist?
Ihr habt sicher besseres zu tun, also sorry das ich nochmal fragen muss....
Gruß
Andreas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 Mo 31.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Andreas
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> Also mir ist es ja langsam peinlich nochmal nachzufragen.
> Aber irgendwie bekomm ich das nicht mehr gebacken. Seit
> Stunden versuche ich jetzt das Ding zu lösen, aber
> irgendwie bekomm ich das alles nicht hin. Zudem ist
> Geometrie so lange her. Ich versuche erst nochmal eine
> graphische Lösung:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Auf dem Bild hab ich wie von paulus beschrieben die Ebene E
> eingezeichnet und den Punkt Q senkrecht auf die Ebene
> projiziert. Danach in gleicher Richtung nochmal genau so
> weit gegangen. Das ganze endet also laut Zeichnung in dem
> Punkt Q'(-1/-2). Paulus schrieb aber (1/-2). Ich zerbreche
> mir jetzt schon seit stunden den Kopf ob das ein Tipfehler
> ist oder wie der Punkt da hingepiegelt wird.
>
Oh ja, das ist mir jetzt aber wirklich peinlich! Natürlich hatte ich mich verschrieben! Dein Punkt ist richtig berechnet.
Du kannst ja die Abbildungsmatrix einfach aufstellen: Spiegle den Punkt [mm] $\vektor{1\\0}$. [/mm] Dann erhältst du den gespiegelten Punkt [mm] $\vektor{0\\-1}$. [/mm] Das ist der erste Spaltenvektor.
Das Bild von [mm] $\vektor{0\\1}$ [/mm] ist [mm] $\vektor{-1\\0}$. [/mm] Das ist der zweite Spaltenvektor.
Die Abbildungsmatrix ist also:
[mm] $\pmat{0&-1\\-1&0}$
[/mm]
Angewendet auf [mm] $\vektor{2\\1}$ [/mm] bekommt man tatsächlich [mm] $\vektor{-1\\-2}$
[/mm]
> > Berechne erstmal den Durchstoßpunkt [mm]L[/mm].
> > Kontrollergebnis: [mm]L(0/-1/1)[/mm].
>
> Also auf der Zeichnung ist der Duchstoßpunkt bei
> (0,5/-0,5). (Ich hab 2D genommen, weil sich das einfacher
> zeichnet.) Die Lotgerade läuft zwar auch durch (0/-1), aber
> stößt dort nicht durch die Ebene.
>
> > Danach kannst du die Formel anwenden, und müsstest den
>
> > richtigen Spiegelpunkt erhalten.
>
> Also wenn ich den graphisch ermittelten Punkt L(0,5/0,5)
> einsetzte, dann kommt zumindest die graphisch ermittelte
> Spiegelung raus:
>
> [mm]\vektor{2 \\ 1} + 2 * [\vektor{0,5\\-0,5}-\vektor{2\\1}]=\vektor{-1\\-2}[/mm]
>
>
> Falls das nicht alles völliger Quatsch ist scheint es also
> zu passen mit dem Spiegelpunkt. Nur bin ich nicht in der
> Lage den Lotpunkt L(0,5/-0,5) (sofern er denn richtig ist)
> rechnerisch zu bestimmen. Ich hab schon verschiedene
> Formeln für Lotpunkte versucht, aber bin einfach in
> Geometrie nicht mehr so fit. Bevor ich da jetzt weiter
> versuche auf diesen Wert zu kommen würde ich halt gerne
> wissen ob wenigstens meine graphische Lösung richtig ist?
>
Du kennst ja einen Normalenvektor zu deiner "Ebene": [mm] $\vektor{1\\1}$
[/mm]
Damit kannst du eine Gerade durch deinen Punkt [mm] $\vektor{2\\1}$ [/mm] bilden und den Schnittpunkt dieser Geraden mit der "Ebene" berechnen.
$g: [mm] \vektor{2\\1}+t*\vektor{1\\1}$
[/mm]
$E: x+y=0_$
Also:
$2+t+1+t=0_$
$3+2t=0_$
[mm] $t=-\bruch{3}{2}$
[/mm]
Damit könntest du den Durchstosspunkt berechnen. Das ist aber nicht nötig, denn du kannst den gespiegelten Punkt einfach erhalten, indem du $t_$ verdoppelst und in der Geradengleichung einsetzt:
[mm] $Q'=\vektor{2\\1}-3*\vektor{1\\1}=\vektor{-1\\-2}$
[/mm]
Kannst du das jetzt auch in deinem dreidimensionalen Fall durchrechnen? Es ist exakt das gleiche Vorgehen.
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:24 Di 01.02.2005 | | Autor: | andreas99 |
> Kannst du das jetzt auch in deinem dreidimensionalen Fall
> durchrechnen? Es ist exakt das gleiche Vorgehen.
Ich hab es mal gemacht:
Lotgerade bestimmen:
g: [mm] \vektor{2\\1\\3}+t*\vektor{1\\1\\1}
[/mm]
2+t+1+t+3+t=0
6+3t=0
3t=-6
t=-2
[mm] L=\vektor{2\\1\\3}-2*\vektor{1\\1\\1}=\vektor{0\\-1\\1}
[/mm]
[mm] Q'=\vektor{2\\1\\3}-4\vektor{1\\1\\1}=\vektor{-2\\-3\\-1}
[/mm]
So, ich hoffe jetzt passt es. Mittlerweile hab ich mich auch noch etwas mit Vektoren und Ebenen allgemein beschäftigt und sehe das Thema nun etwas klarer. Vielen Dank nochmal für die ausführliche Erklärung.
Gruß
Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:10 Di 01.02.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Andreas
Alles korrekt!
Mit lieben Grüssen
Paul
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> > Bild erstellt wie ich mir diese Spiegelung vorstelle.
> >
> > [Dateianhang nicht öffentlich]
> >
> > Der gespiegelte Punkt [mm]Q'_2[/mm] liegt also bei (-2,-1). Dann
>
> Da bin ich aber nicht einverstanden. Deine
> Gleichung [mm]x+y=0[/mm] ist ja eine Gerade, die durch den Ursprung
> geht, mit Steigung -1.
>
> Du hast aber nicht an dieser Geraden gespiegelt, sondern am
> Ursprung!
>
> Der gespiegelte Punkt müsste eher die Koordinaten (1,-2)
> haben.
>
> Du musst den Punkt senkrecht auf die Gerade projizieren,
> und dann vom Fusspunkt auf die andere Seite der Geraden
> marschieren, gleich weit, wie du vom Punkt schon zur Ebene
> gegangen bist.
Nach dieser Beschreibung ist der neue Punkt aber eher bei (2,-1), oder? Tut mir leid wegen sowas einfachem nochmal nachfragen zu müssen. Aber ich will sichergehen, dass es kein Schreibfehler ist und ich stundenlang versuche auf diese Werte zu kommen.
EDIT: Ah, ich glaube es fällt mir wie Schuppen von den Augen. (1,-2) ist die Spiegelung von Q' und nicht die Spiegelung von Q. Für mich war der Q' der "neue" Punkt. 
EDIT2: Hm, obwohl kann auch nicht sein. Jetzt bin ich total verwirrt. Ich lasse die Aufgabe jetzt so liegen bis mir jemand weiter hilft :-(
Gruß
Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 So 30.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Andreas
> > Gleichung [mm]x+y=0[/mm] ist ja eine Gerade, die durch den
> Ursprung
> > geht, mit Steigung -1.
> >
>
> Nach dieser Beschreibung ist der neue Punkt aber eher bei
> (2,-1), oder? Tut mir leid wegen sowas einfachem nochmal
> nachfragen zu müssen. Aber ich will sichergehen, dass es
> kein Schreibfehler ist und ich stundenlang versuche auf
> diese Werte zu kommen.
>
Nein, jetzt hast du einfach an der x-Achse gespiegelt!
Zeichne dich einfach die Gerade ein, die ich beschrieben habe. An dieser musst du spielgeln. Und dann hast du ja von e.kandrai nochmals eine sehr schöne Zeichnung erhalten ...
Mit lieben Grüssen
Paul
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