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Hilfe!
Vielleicht kann mir jemand helfen. Finde einfach keinen Ansatzpunkt dafür:
Man bestimme die Matrix A [mm] \in [/mm] R^(2x2) der Spiegelung an der Geraden
{tu : r [mm] \in \IR}, [/mm] u [mm] \in \IR^2\{0}
[/mm]
Man bestimme der Matrix P [mm] \in [/mm] R^(2x2) der orthogonalen Projektion auf die Gerade {tu : u [mm] \in \IR}, [/mm] u [mm] \in \IR^2\{0}
[/mm]
Zugunde liegt das Standardprodukt und man soll |u|=1 annehmen.
Als Hilfe war angegeben, dass man T = [mm] u*u^T [/mm] betrachtet und man sich überlegt was Tu und Tw für w [mm] \perp [/mm] u ist.
Das Assoziativgesetz für Matrizen soll beachtet werden und jeder Vektor ist eine m x 1 MAtrix mit [mm] v^T [/mm] *w = (v,w).
Hab schon etliche Freunde wegen dieser Aufgabe angehauen. Konnte mir bis jetzt keiner helfen.
Vielen Dank schonmal.
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> Man bestimme die Matrix A [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
R^(2x2) der Spiegelung an
> der Geraden
> {tu : r [mm]\in \IR},[/mm] u [mm]\in \IR^2\{0}[/mm]
>
> Man bestimme der Matrix P [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
R^(2x2) der orthogonalen
> Projektion auf die Gerade {tu : u [mm]\in \IR},[/mm] u [mm]\in \IR^2\{0}[/mm]
>
> Zugunde liegt das Standardprodukt und man soll |u|=1
> annehmen.
> Als Hilfe war angegeben, dass man T = [mm]u*u^T[/mm] betrachtet und
> man sich überlegt was Tu und Tw für w [mm]\perp[/mm] u ist.
> Das Assoziativgesetz für Matrizen soll beachtet werden und
> jeder Vektor ist eine m x 1 MAtrix mit [mm]v^T[/mm] *w = (v,w).
Hallo,
zu Deinem Einheitsvektor u, der die Richtung der Spielgelgeraden zeigt, gibt es ja einen Einheitsvektor w, der zu u senkrecht ist.
u und w bilden eine Basis des [mm] \IR^n, [/mm] und Du kannst jeden Vektor v als lineares Vielfaches von u und w schreiben: v=ku+lw.
Jetzt laß uns mal überlegen, was mit u bei Spiegelung an tu passiert. Na? Nix! u bleibt unverandert. Also ist Tu=u.
Nun zu w. Hast Du's Dir aufgemalt? w war ja senkrecht zu u ausgesucht. Was passiert bei Siegelung an tu? w wird zu -w. Umgeklappt. Also hat man Tw=-w.
So. Nun lassen wir T auf den Vektor v los. Tv=T(ku+lv)...
(Hier kommen nun angesprochenen "Gesetze" zum Tragen.)
Möglicherweise kriegst Du jetzt schon das Aufstellen der Matrix hin. Es ist die Matrix, die zu den schlau gewählten Baisvektoren gehört.
Und falls Du das jetzt schaffst, wird die Projektion auch kein Problem mehr sein. Der Grundgedanke ist ähnlich.
Gruß v. Angela
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Vielen Dank Angela.
Komm aber trotzallem hier nicht so recht weiter.
was ist hier eigentlich T? Ist T die Abbildung?
Wie muss ich denn bei der Projektion ansetzen?
Ist die orthgonale Projektion nur der Anteil des Vektors der Geraden der die gleiche Richtung hat?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:22 Mo 04.07.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo katjamaus!
Das, was sich Angela überlegt hat, kann man sich ja mit der gegebenen Abbildung $T$ auch zusammenbasteln:
Ist $S$ die Spieglung, so soll ja
$S(u)=u$
und
$S(w)=-w$
gelten.
Nun ist aber:
$T(u) = [mm] (uu^T)u=u(u^Tu)=u \cdot [/mm] 1 = u$
und
$T(w) = [mm] (uu^T)w=u(u^Tw) [/mm] = u [mm] \cdot [/mm] 0=0$.
Daher wird die Spielgelung durch
$S(x) = -x + 2uu^Tx = (-id + 2T)(x)$
gegeben, denn
$S(u) = -u + 2T(u) = -u+2u=u$
und
$S(w)=-w+2T(w)= -w$,
wie gefordert.
Bezüglich der Basis $(u,w)$ hat die Abbildung $S$ die folgende, einfache Gestalt:
$S= [mm] \pmat{1 & 0 \\ 0 & -1}$.
[/mm]
Wie sieht es nun mit der Projektion $P$ aus?
Wie betrachten die gleiche Basis $(u,w)$. Offenbar muss hier:
$P(u)=u$
und
$P(w)=0$
gelten, da $w$ ja senkrecht auf $u$ steht und somit die orthogonale Projektion von $w$ auf den von $u$ aufgespannten Unterraum gerade der Nullvektor ist.
Dies wir gerade durch die Abbildung $T$ geliefert (siehe oben, denn wir hatten ja $T(u)=u$ und $T(w)=0$).
Bezüglich der Basis $(u,w)$ hat die Abbildung $P$ (also $T$) die folgende, einfache Gestalt:
$P= [mm] \pmat{1 & 0 \\ 0 & 0}$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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Danke julius. Hilfst mir echt weiter.
Nur mal zur Kontrolle, ob ich alles richtig verstanden habe.
u ist der Vektor der Geraden
w ist Vektor der senkrecht auf der Geraden steht
v= Linearkombination der beiden vektoren bilden den Vektorraum im [mm] R^2
[/mm]
Für die Spiegelung muss gelten für einen Vektor x:
-> Ich drücke ihn durch u und w aus, also als l*u und l*w
u-Anteil: S(u) = u
w-Anteil S(w) = -w
Für die Projektion soll gelten dass nur noch der u-Anteil, übrigbleibt.
u-Anteil: P(u) = u
w-Anteil P(w) = 0
stimmts?
Weiter komm ich noch nicht so ganz mit.
Was bringt mir den eigentlich T? wie stelle ich denn die Gleichungen auf und wie komme ich denn dann auf die geforderten Matrizen.
Die angegebenen Hilfestellungen unseres Lehrers bringen mir hier irgendwie garnichts. Verwirren mich eher.
Kann jemand Licht ins Dunkel bringen?
Julius: mit v meinst du w oder?
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
, das freut mich! 
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
(d.h. $(u,w)$ ist eine Basis des [mm] $\IR^2$)
[/mm]