Spiegelung an der Ebene < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme die Matrizen ( bezüglich der Standardbasen ) der folgenden linearen Abbildungen [mm] R^{3} \to R^{3}:
[/mm]
(i) Spiegleung an der Ebene E:= {(x,y,z) [mm] \in R^{3}; [/mm] y+z=0},
(ii) senkrechte Projektion auf E. |
Hallo,
Hat die erste Aufgabe irgendetwas mit Basiswechsel zu tun? Ich weiß irgendwie gar nicht wie ich an diese Aufgabe rangehen soll.
habe mir gedacht, dass die Abbildungsvorschrift so lautet:
f: [mm] a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3 \mapsto a_1v_1+a_2v_2-a_3v_3
[/mm]
Dann würde ich als Bilder der Standardbasisvektoren [mm] e_1, e_2 [/mm] und [mm] e_3 [/mm] folgendes erhalten:
[mm] f(e_1)= \vektor{ 1 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
[mm] f(e_2)= \vektor{ 0 \\ 1 \\ -1 }
[/mm]
[mm] f(e_3)= \vektor{ 0 \\ -1 \\ 1 }
[/mm]
erhalten und dann folgende Matrix aufstellen.
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 }
[/mm]
Ist das soweit richtig oder nicht?
2. Frage: Was ist denn mit senkrechter Projektion überhaupt gemeint?
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> Mittels einer Skizze in der y-z-Ebene (E steht dazu normal
> !)
> sieht man leicht, dass [mm]f(e_2)=-e_3[/mm] und [mm]f(e_3)=-e_2[/mm] !
wie kommst du da drauf? ich verstehe das echt überhaupt nicht:-(
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> > Mittels einer Skizze in der y-z-Ebene (E steht dazu normal !)
> > sieht man leicht, dass
[mm]f(e_2)=-e_3[/mm] und [mm]f(e_3)=-e_2[/mm] !
> wie kommst du da drauf?
> ich verstehe das echt überhaupt nicht :-(
Skizze: y-Achse nach rechts, z-Achse nach oben.
Die Ebene E: z=-y erscheint als Winkelhalbierende
des 2. und 4. Quadranten. Nun spiegelst du die
Endpunkte (1/0) bzw. (0/1) der Einheitsvektoren [mm] e_2
[/mm]
bzw. [mm] e_3 [/mm] an dieser Winkelhalbierenden. Du kannst
die Spiegelung auch mit einem allgemeinen Punkt
P(y/z) durchführen: Ergebnis [mm] \overline{P}=(-z/-y).
[/mm]
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:37 Mi 17.12.2008 | | Autor: | Blech |
Und etwas um das Leben leichter zu machen:
ist n ein Normalenvektor der Ebene, so spiegelt die Matrix
[mm] $A:=\mathcal{I}-2\frac{nn^t}{n^tn}$
[/mm]
einen Punkt an der Ebene, und
[mm] $B:=\mathcal{I}-\frac{nn^t}{n^tn}$
[/mm]
projeziert entsprechend. [mm] ($\mathcal{I}$ [/mm] ist natürlich die Identität)
Du mußt nur noch sinnvoll erklären, wie man darauf kommt. =)
ciao
Stefan
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oje sowas hatten wir noch nicht Stefan. Kann man das nicht einfacher machen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Fr 19.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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