Spiegelung von Abbildungen < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 Mi 06.01.2010 | | Autor: | stffn |
| Aufgabe | Wir betrachten den euklidischen Vektorraum [mm] R^{2} [/mm] mit dem Standartskalarprodukt
[mm] <\vec{x},\vec{y}>:=x_{1}*y_{1}+x_{2}*y_{2}
[/mm]
und die lineare Abbildung
A: [mm] R^{2} \to R^{2}
[/mm]
[mm] \vec{x} \mapsto A*\vec{x}
[/mm]
Bestimmen Sie die Matrix A [mm] \in R^{2,2} [/mm] so, dass die lineare Abbildung A eine Spiegelung an der vom Vektor [mm] \vec{v}=\vektor{2 \\ -3} [/mm] erzeugten Gerade beschreibt.
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Hallo, ich bins mal wieder. Nächste Aufgabe nächstes Problem.
Ich versteh nicht wie ich auf bestimmte Zahlen kommen soll (also auf die beiden Spaltenvektoren der Matrix), wenn ich praktisch keine Informationen über die Abbildung habe die gespiegelt werden soll.
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> Wir betrachten den euklidischen Vektorraum [mm]R^{2}[/mm] mit dem
Standartdskalarprodukt
>
> [mm]<\vec{x},\vec{y}>:=x_{1}*y_{1}+x_{2}*y_{2}[/mm]
>
> und die lineare Abbildung
>
> A: [mm]R^{2} \to R^{2}[/mm]
>
> [mm]\vec{x} \mapsto A*\vec{x}[/mm]
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> Bestimmen Sie die Matrix A so, dass die lineare
> Abbildung A eine Spiegelung an der vom Vektor
> [mm]\vec{v}=\vektor{2 \\ -3}[/mm] erzeugten Gerade beschreibt.
>
> Ich versteh nicht wie ich auf bestimmte Zahlen kommen soll
> (also auf die beiden Spaltenvektoren der Matrix), wenn ich
> praktisch keine Informationen über die Abbildung habe die
> gespiegelt werden soll.
Es soll keine "Abbildung gespiegelt" werden, sondern
die Abbildung, die durch A beschrieben werden soll, ist
die Spiegelung an der (Ursprungs-) Geraden [mm] g:\quad\vec{x}=t*\vec{v}
[/mm]
Um die Matrix A zu bestimmen, hast du verschiedene
Möglichkeiten:
1.) mit Vektorgeometrie:
überlege dir, wie du einen Punkt P(x,y) zuerst auf
die Gerade g projizierst (mittels Projektionsformel,
die auf dem Skalarprodukt beruht) und dann den
Spiegelpunkt bestimmst
2.) drehen-spiegeln-drehen:
ermittle den Steigungswinkel [mm] \alpha [/mm] der Geraden
Dann ist [mm] A=D_{\alpha}*S_x*D_{-\alpha}
[/mm]
wobei [mm] D_{\alpha} [/mm] die Drehung um O mit dem Drehwinkel [mm] \alpha [/mm]
und [mm] S_x [/mm] die Spiegelung an der x-Achse ist
3.) allgemeiner Ansatz:
setze [mm] A=\pmat{a&b\\c&d}
[/mm]
benütze dann geeignete (leicht zu bestimmende)
Paare (Punkt/Bildpunkt), um Gleichungen für die
4 unbekannten Matrixelemente zu erhalten
Der erste Vorschlag geht am direktesten auf das Skalar-
produkt ein, das in der Aufgabenstellung erwähnt wird.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Fr 08.01.2010 | | Autor: | stffn |
HI!
Ich habs jetzt nach der ersten Variante versucht.
zumindest so ähnlich:
Ich habe einen auf den Vektor [mm] \vektor{2 \\ -3} [/mm] senkrechten Vektor [mm] \vec{w}=\vektor{3 \\ 2} [/mm] genommen, und dann mit der folgenden GLeichung ein LGS aufgestellt:
[mm] A*\vec{v}=\vec{v}
[/mm]
[mm] A*\vec{w}=\vec{-w}
[/mm]
Ist der Ansatz richtig?
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> HI!
> Ich habs jetzt nach der ersten Variante versucht.
> zumindest so ähnlich:
>
> Ich habe einen auf den Vektor [mm]\vektor{2 \\ -3}[/mm] senkrechten
> Vektor [mm]\vec{w}=\vektor{3 \\ 2}[/mm] genommen, und dann mit der
> folgenden GLeichung ein LGS aufgestellt:
>
> [mm]A*\vec{v}=\vec{v}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]A*\vec{w}=\vec{-w}[/mm]
>
> Ist der Ansatz richtig?
Dies entspricht dann zwar nicht der ersten, sondern
der dritten vorgeschlagenen Variante.
Zieh's durch, dann sehen wir weiter !
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Fr 08.01.2010 | | Autor: | stffn |
Ok, Ich hab das LGS mal ausgerechnet und hab ein bisschen krumme zahlen raus:
[mm] \pmat{ \bruch{-15}{36} & \bruch{63}{72} \\ \bruch{-12}{13} & \bruch{20}{13}}
[/mm]
Das stimmt auch leider nicht wenn ich die Probe mache.
Ist doch richtig wenn ich es mit Gauss versuch habe??
Kann ja mal mein LGS aufschreiben, vielleicht ist das ja grundlegend falsch. Finde nämlich keinen rechenfehler.
I: 2*a - 3*b = 2
II: 2*c - 3*d = -3
III: 3*a + 2*b = -3
IV: 3*c + 2*d = -2
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> Ok, Ich hab das LGS mal ausgerechnet und hab ein bisschen
> krumme zahlen raus:
>
> [mm]\pmat{ \bruch{-15}{36} & \bruch{63}{72} \\ \bruch{-12}{13} & \bruch{20}{13}}[/mm]
>
> Das stimmt leider nicht wenn ich die Probe mache.
> Ist doch richtig wenn ich es mit Gauss versucht habe??
klar, das müsste gehen
> Kann ja mal mein LGS aufschreiben, vielleicht ist das ja
> grundlegend falsch. Finde nämlich keinen rechenfehler.
>
> I: 2*a - 3*b = 2
> II: 2*c - 3*d = -3
> III: 3*a + 2*b = -3
> IV: 3*c + 2*d = -2
Deine Gleichungen stimmen, aber die Lösung nicht,
abgesehen vom Wert [mm] c=\bruch{-12}{13} [/mm] .
Die Werte für a,b,c,d sind nicht ganz so "krumm".
Es sind Brüche, die alle den Nenner 13 haben.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Sa 09.01.2010 | | Autor: | stffn |
Hey!
Also. ich bin langsam am verzweifeln.
habe es 20 mal nachgerechnet und komm immer wieder auf diese matrix:
A:= [mm] \pmat{ \bruch{-18}{13} & \bruch{-12}{13} \\ \bruch{-12}{13} & \bruch{-8}{13} }
[/mm]
Wenn ich die Probe mache bekomme ich auch für die Gleichung
[mm] A*\vec{w}=\vec{-w}
[/mm]
auch das richtige Ergebnis raus.
Bei der Gleichung
[mm] A*\vec{v}=\vec{v}
[/mm]
bekomme ich aber den [mm] \vec{0} [/mm] raus.
Das kann doch irgendwie nicht stimmen?!
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> Hey!
> komm immer wieder auf
> diese matrix:
>
A:= [mm]\pmat{ \red{\bruch{-18}{13}} & \bruch{-12}{13} \\ \bruch{-12}{13} & \red{\bruch{-8}{13}} }[/mm]
>
meine Lösung:
A:= [mm]\pmat{ \blue{\bruch{-5}{13}} & \bruch{-12}{13} \\ \bruch{-12}{13} & \blue{\bruch{5}{13}} }[/mm]
Hast du gut auf Vorzeichen aufgepasst
(minus mal minus gleich plus) ?
Gruß Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:54 Sa 09.01.2010 | | Autor: | stffn |
Ach, danke!
Ich hab die ganze zeit einen kleinen abschreib-fehler gemacht....
aufjedenfall stimmt das ergebnis jetzt, vielen dank für die mühe und die erklärungen und einen schönen samstag abend noch!
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