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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:21 Mo 11.07.2005 | | Autor: | Fuchs |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich hoffe es kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen, weil ich hab keine Ahnung, was ich hier überhaupt beweisen soll:
Sei K ein körper der Charakteristik ungleich 2, sei V ein endlichdimensionaler VR über K und sei q eine nichtausgeartete quadratische Form. Sei [mm] \eta [/mm] eine orthogonale Transformation von V mit
dim [mm] \{x \in V|\eta (x)=x\}\ge [/mm] dimV-1
Zu zeigen ist, dass [mm] \eta [/mm] eine Spiegelung oder gleich der Identischen Abbildung ist.
Spiegelung haben wir definiert als [mm] S_{u} [/mm] : x [mm] \mapsto x-\bruch{b(x,u)}{q(x,u)}*u
[/mm]
wobei b(x,u) die zugehörige Bilinearform ist.
Wie gehe ich denn da ran? Hat jemand eine Idee?
Vielen Dank im Voraus.
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Hallo,
ich kann zwar beweisen, dass [mm] \eta [/mm] eine Spiegelung ist, aber nicht mit eurer Definition. Dazu ist unklar, wie der Zusammenhang der Bilinearform und der Quadratischen Form ist. Vielleicht hilfts Dir aber trozdem weiter:
Laut Voraussetzung gibt es einen Unterraum H der Dimensinon dimV-1 (Hyperebene), auf der [mm] \eta [/mm] die Identität ist:
[mm] \eta [/mm] (x) = x für alle x [mm] \in [/mm] H.
Ich nehme an, b(x,y) ist die positiv definite, symmetrische Bilinearform, bezüglich der [mm] \eta [/mm] orthogonal ist, also "das" Skalarprodukt.
Dann gibt es zu H genau einen Vektor u (bzw. skalare Vielfache davon), der "senkrecht" auf H steht:
d(h,u) = 0 für alle h [mm] \in [/mm] H.
Damit lassen sich alle x [mm] \in [/mm] V darstellen durch
x = h + tu, mit h [mm] \in [/mm] H und t [mm] \in [/mm] K.
Weiter gilt:
0 = b(h,u) = [mm] b(\eta(h),\eta(u)) [/mm] = [mm] b(h,\eta(u)) [/mm] für alle h [mm] \in [/mm] H.
d.h: [mm] \eta [/mm] (u) steht senkrecht auf H ist also ein K-Vielfaches von u, also ein Eigenvektor, und da [mm] \eta [/mm] orthogonal ist, zum Eigenwert +1 oder -1.
(Außerdem wird die Orthogonalität von [mm] \eta [/mm] in Form der Gleichung
b(x,y) = b( [mm] \eta [/mm] (x), [mm] \eta [/mm] (y)) vorausgesetzt.)
Damit gilt für alle x = h + tu aus V:
[mm] \eta [/mm] (h + tu ) = h + tu (Identität)
oder
[mm] \eta [/mm] (h + tu ) = h - tu (Spiegelung an der Hypereben H).
Wenn Du das Ganze auf Hauptachsen bringst, hast Du eine dimV x dimV -Matrix in Diagonalform mit lauter 1er und ggf. genau einer -1 (Spiegelung).
Eurer Definition am ähnlichsten wäre dann die Darstellung:
Su : (h + tu) -> (h + tu) - 2 d(h+tu,u)/|u|² * u
Wenn Du das auflöst mit d(h+tu,u) = td(u,u) = t|u|² , bekommst Du wieder
Su : (h + tu) -> (h - tu)
Ich hoffe, es bringt was! Grüße, R.
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