Spiegelungsmethode < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 Mo 30.05.2011 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | Aufgabe 1) Innerhalb einer metallischen Hohlkugel mit Innenradius b werde eine Punktladung q im Abstand a vom Hohlraummittelpunkt angebracht. Die Hohlkugel sei isoliert und ungeladen. Geben Sie mit Hilfe der Spiegelungsmethode eine Ersatzanordnung für die Betrachtung des Innenraums an.
Aufgabe 2) Gegeben sei eine Anordnung bestehend aus einer leitfähigen Kugelschale (Radius [mm] r_{0}), [/mm] die isoliert ist. In ihr befindet sich eine Punktladung [mm] Q_{0} [/mm] (Abstand (a,0,0) zum Hohlraummittelpunkt). Geben Sie für diesen Fall ein Ersatzmodell für den Innenraum an. |
Hallo zusammen!
Beim Üben diverser Aufgaben bin ich u.a. auf die beiden obigen gestoßen. In der Lösung zu Aufgabe 1) wird in der Ersatzanordnung eine Punktladung im Ursprung angesetzt. In der Lösung der Aufgabe 2) wird allerdings darauf verzichtet.
Leider verstehe ich nicht, wo nun genau der Unterschied liegen soll. Für mich sind die beiden Ausgangskonstellationen identisch und nach der Formelsammlung dürfte sich eigentlich keine Punktladung im Ursprung befinden. Was habe ich möglicherweise übersehen? Über eine hilfreiche Antwort würde ich mich freuen; vielen Dank!
Viele Grüße, Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 Mo 30.05.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Marcel,
ich kann keinen großen Unterschied zwischen beiden Aufgabenstellungen erkennen, wenn man einmal von dem Tipp absieht, der bei der ersten Aufgabe gegeben wird, um ein Ersatzmodell zu erstellen. Von einer Punktladung im Ursprung ist hier doch aber nirgendwo die Rede, oder ist das Teil einer der Lösungen?
Viele Grüße,
Infinit
P.S.: Inzwischen habe ich feine Unterschiede herausgefunden, die ich weiter unten nochmal versuche darzustellen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Mo 30.05.2011 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo!
Lösung der Aufgabe 1):
Die bekannte Spiegelung "Punktladung an Kugel" lässt sich auch invers benutzen für die Anordnung "Punktladung in kugelförmigem Hohlraum". Die gegebene Kugelschale ist für elektrostatische Probleme äquivalent mit einem kugelförmigen Hohlraum (Außenraum der Kugelschale ist feldfrei) und der Radius c somit beliebig [der leitende Rand der Kugel geht von b bis c]. Da die Kugelschale ungeladen und isoliert sein soll, muß die Spiegelladung durch eine entsprechende Ladung im Ursprung ausgeglichen werden.
Lösung der Aufgabe 2)
Als Ersatzmodell für den für den Raumteil innerhalb der Kugel wird das Gesetz der reziproken Radien gemäß der Formelsammlung verwendet. Man erhält eine Spiegelladung außerhalb der Kugel. Eine Ausgleichsladung im Mittelpunkt der Kugel ist weder erlaubt (Modifikation des Rechengebites) noch notwendig, da der elektrische Fluss, welcher aus der Kugel austritt, ja gerade widerspiegeln muss, dass die Kugel die Ladung [mm] Q_{0} [/mm] enthält.
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:42 Mi 01.06.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Abend,
In der Praxis ist eine sehr dünne Metalhohlkugel ja eigentlich das gleiche wie eine Breitere. Man kann von aussen nicht sehen wo die Punktladung sich befindet, wegen der Abschirmung durch die influenzierten Ladungen.
Zeichnet man sich mal so ein Bild mit influenzieten Ladungen in der Metalwand, sieht man doch das eigentlich D-Felder quer zur Radialen richtung entstehen! Bei einer unendlich dünnen Matalhohlkugel kann das aber nicht geschehen. Das D-Feld zeigt immer nach aussen. So würd ich das erklären.
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Mi 01.06.2011 | | Autor: | Marcel08 |
Nun ja, wo liegt nun aber der Unterschied zwischen den beiden Aufgaben? Wieso ordnet man in der einen Aufgabe eine Punktladung im Ursprung an und in der anderen nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:32 Mi 01.06.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Bei der mit der dicken Metallschicht KANN man die Ladung in der Mitte anordnen. Es ist egal wo sie sich in der Kugel befindet! Deshalb ordnet mans einfach in der Mitte an...!
Bei der zweiten geht es eben um die Spiegelladungsmethode. Man kann stadtdessen eine "gespiegelte" (nicht triviale Spiegelung..eben was mit reziprok oder so, hab die Formel ja gerade auch nicht) aussen anornen und erzeugt die gleiche Feldverteilung.
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:38 Do 02.06.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo qsxqsx,
der Unterschied liegt in der Isolation und Ungeladenheit der Kugel in der ersten Aufgabe gegenüber der Leitfähigkeit der Kugel in der zweiten. Man kann nicht nur die Zusatzladung in der ersten Aufgabe anbringen, man muss es sogar, damit die Kugel weiterhin ungeladen bleibt.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:09 Do 02.06.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Es geht darum, dass man die Ladung hinsetzen KANN WO man will! Nicht ob.
Man kann 2 +Ladungen einbringen und IRGENDWO zwei -Ladungen in der METALLISCHEN hohlkugel und erhält aussen "ungeladenheit".
Mit isolierung ist gemeint, dass die Kugel z.B. nicht geerdet ist. Vergess mal das wort Isolierung.
Gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:36 Do 02.06.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Marcel,
inzwischen habe ich noch mal den Aufgabentext "degustiert" und ich glaube, ich habe inzwischen feine Unterschiede gefunden, was die Lösungsansätze anbelangt, unabhängig davon, ob man nun die Spiegelungsmethode zur Berechnung einsetzt oder nicht. Dies ist nur ein Hilfsmittel, um zu einer Lösung zu kommen (möglichst mit analytischen Methoden und ohne Einsatz von Numerik).
Schauen wir uns noch mal die Aufgabenstellungen an:
Aufgabe 1) Innerhalb einer metallischen Hohlkugel mit Innenradius b werde eine Punktladung q im Abstand a vom Hohlraummittelpunkt angebracht. Die Hohlkugel sei isoliert und ungeladen. Geben Sie mit Hilfe der Spiegelungsmethode eine Ersatzanordnung für die Betrachtung des Innenraums an.
Was hier vorausgesetzt wird, wenn auch nicht sehr deutlich beschrieben, ist, dass die Hohlkugel isoliert und ungeladen ist. Nun bringt man die Punktladung ein und die Kugel soll weiterhin ungeladen sein. Das ist so ein typisches Influenzproblem und wenn die Kugel weiterhin ungeladen sein soll, so muss zusätzlich zur Spiegelladung eine gleich große entgegengesetzt geladene Ladung in die Hohlkugel eingebracht werden. Auf einer Kugelfläche ist dann die Ladung weiterhin Null, also ungeladen und das Potential ist konstant.
Wie war das nun bei Aufgabe 2?
Gegeben sei eine Anordnung bestehend aus einer leitfähigen Kugelschale (Radius [mm] r_{0}), [/mm] die isoliert ist. In ihr befindet sich eine Punktladung [mm] Q_{0} [/mm] (Abstand (a,0,0) zum Hohlraummittelpunkt). Geben Sie für diesen Fall ein Ersatzmodell für den Innenraum an.
Auch hier wird mit der Spiegelmethode gearbeitet (1845 von Thomson das erste Mal formuliert) , aber eine Ausgleichsladung darf nicht angebracht werden, da damit das Feld im Innenraum verfälscht würde.
Das Geheimnis des kleinen, aber feinen Unterschieds liegt also in der ungeladenen und isolierten Kugel aus Aufgabe 1 gegenüber der leitfähigen Kugel aus Aufgabe 2.
Das sind weniger Aufgaben zum Rechnen, mehr dienen sie zum Austesten des Verständnisses der dabei angewandten Prinzipien.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:06 Do 02.06.2011 | | Autor: | qsxqsx |
> Das Geheimnis des kleinen, aber feinen Unterschieds liegt
> also in der ungeladenen und isolierten Kugel aus Aufgabe 1
> gegenüber der leitfähigen Kugel aus Aufgabe 2.
Nein, Kugel 1 ist auch leitfähig! Sie ist ja aus Metall.
Gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:13 Do 02.06.2011 | | Autor: | isi1 |
Irgendwie verstehe ich nicht, was ihr da diskutiert:
M.E. unterscheiden sich die Aufgaben nur in der Richtung, die bei der ersten Aufgabe unbestimmt ist, bei der zweiten in x-Richtung.
Ob die leitende Kugel geladen ist, hat auf deren Innenraum absolut keinen Einfluss.
Gefragt ist nur nach dem Feld innerhalb der Kugel (Innenradius r). Und das kann leicht berechnet werden, wenn man auf der Geraden durch den Mittelpunkt und durch den Punkt a im Abstand b ($ = [mm] \bruch{r^2}{a} [/mm] $) vom Kugelmittelpunkt die Spiegelladung q2 [mm] ($=-q1*\bruch{r}{a}$) [/mm] anbringt und die Metallkugel weg lässt.
Die Ladung auf der leitenden Kugel ist natürlich nicht gleichmäßig verteilt, das Potential hingegen ist sowohl auf der Kugel als auch beim Radius r (Anordnung mit Spiegelladung) konstant.
Oder habe ich das falsch verstanden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:19 Do 02.06.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo isi,
die Bestimmung der Position der Spiegelladung ist durchaus okay, so wie Du sie beschreibst, damit wird aber in der ersten Aufgabe nicht die Randbedingung der Ungeladenheit erfüllt werden. Dies wird durch diese zusätzliche Ausgleichsladung sichergestellt.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:21 Do 02.06.2011 | | Autor: | isi1 |
Das kann nicht stimmen, denn die isolierte Kugel bleibt in jedem Falle ungeladen - woher sollten denn die Ladungsträger kommen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:25 Do 02.06.2011 | | Autor: | Infinit |
Diese würden hier durch Influenz entstehen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:28 Do 02.06.2011 | | Autor: | isi1 |
>> Diese würden hier durch Influenz entstehen.
Richtig, die Ladungsverteilung ist ungleichmäßig, Infinit, aber die Gesamtladung der Kugel ist nach wie vor = 0. Und das meint man mit 'ungeladen'.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:42 Fr 03.06.2011 | | Autor: | Marcel08 |
Vielen Dank erst einmal für diese intensive Diskussion. Jetzt im Nachhinein würde ich mich der Erklärung von Infinit anschließen. Für mich persönlich ist die Aufgabenstellung leider etwas missglückt oder aber auch bewusst so erstellt worden. Der Satz "Die Kugel sei isoliert und ungeladen" verursacht erst einmal ein Stirnrunzeln, wenn man in dem Bild die Punktladung im Inneren der Kugel sieht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:42 So 05.06.2011 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | Gegeben sei eine Anordnung bestehend aus einer isolierten, ungeladenen und leitfähigen Hohlkugel mit dem Innenradius [mm] r_{i} [/mm] und dem Außenradius [mm] r_{a}. [/mm] Innerhalb dieser Kugel ist exzentrisch zum Kugelmittelpunkt eine Punktladung [mm] Q_{1} [/mm] angebracht. Außerhalb der Kugel befindet sich eine zweite Punktladung [mm] Q_{2}. [/mm]
a) Skizzieren Sie mit Hilfe der Spiegelungsmethode eine Ersatzanordnung zur Bestimmung des Potentials [mm] \Phi [/mm] innerhalb der Kugel. |
Hallo noch einmal!
Leider muss ich diesen Thread noch einmal aufgreifen, da ich bei einer anderen Übungsaufgabe mal wieder ins Stocken gerate. Da diese Aufgabe zur Klärung des Problems beitragen soll, welches ursprünglich in diesem Thread behandelt wurde, stelle ich diese Aufgabe mal ans Ende des alten Threads; ich hoffe ich verstoße damit nicht gegen die Regularien.
Für mich ist diese Aufgabe im Prinzip die Gleiche, wie wir sie ursprünglich im Fall der ungeladenen Hohlkugel hatten. Nur wird bei dieser Aufgabe nun keine Ausgleichsladung in den Ursprung der Kugel angesetzt, ganz im Gegenteil zur ursprünglichen, ungeladenen Kugel. Warum ist das nun so? Man braucht doch nun wieder eine Ausgleichsladung im Mittelpunkt, um die Ungeladenheit der Kugel zu gewährleisten, oder sehe ich das falsch? Die Ladung [mm] Q_{2} [/mm] darf keine Rolle spielen, das ist mir soweit klar (F.-Käfig).
Wie also ist der Unterschied zwischen dieser Lösung und der Lösung der ursprünglichen Aufgabe 1 diesmal zu erklären? Über hilfreiche Antworten würde ich mich freuen; vielen Dank!
Viele Grüße, Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 So 05.06.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Marcel,
einen kleinen Unterschied gibt es doch. Die hier beschriebene Anordnung ist statisch, die Ladungen befinden sich in diesem Szenario sozusagen seit Urzeiten.
In der ersten Aufgabe wurde jedoch die Ladung hereingebracht und durch die dabei auftretende Influenz traten Ladungen auf, die durch die Zusatzladung im Inneren kompensiert wurde. Das ist hier nicht der Fall.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 So 05.06.2011 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo!
D.h. man muss zwischen den Formulierungen
"Die ungeladene Kugel ist gegeben und es wird in ihr eine Ladung angebracht."
und
"Die ungeladene Kugel ist gegeben und in ihr ist eine Ladung angebracht."
unterscheiden? Wenn ja, wie kann eine Kugel ungeladen sein, wenn sich in ihr eine Ladung befindet?
Viele Grüße, Marccel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 So 05.06.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Marcel,
ja, es kommt auf das Anbringen bzw. auf das Vorhandensein dieser Ladung an. Deine Schlussfolgerung gilt jedoch nicht so. Bei der ersten Aufgabe war unsere Interpretation, dass die Kugel weiterhin ungeladen sein soll, die Influenz dies jedoch verhindern würde und deswegen man zum Rechnen eine weitere "Ausgleichsladung" benötigt. Für die zweite und dritte Aufgabe wäre dies jedoch nicht nötig.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 So 05.06.2011 | | Autor: | isi1 |
Also bei Euren Theorien sträuben sich mir die Haare:
Wenn die isolierte Hohlkugel ungeladen ist, bleibt sie ungeladen, bis man sie irgendwo anschließt oder bis ein Funken überspringt. Das ist völlig unabhängig davon, ob in der Nähe Ladungen angebracht werden oder schon da sind.
Und wo bleibt da die Influenz?
Sie wirkt so, dass bei einlaufenden Feldlinien Ladungen (vereinfacht) am Fußpunkt einer jeden Feldlinie da sind.
Woher kommen diese Ladungen?
Von der anderen Seite der Hohlkugel, wo die Feldlinien die Hohlkugel wieder verlassen und z.B. ins Unendliche gehen.
Man hat also gleich viel positive und negative Ladungen auf der Hohlkugel. Daraus folgt: Die Gesamtladung der Hohlkugel ist gleich Null.
Sind wir uns jetzt in diesem Punkte einig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Mo 06.06.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo isi,
darüber sind wir uns einig. Die Kugel als Ganzes ist ungeladen, es herrscht also kein Ladungsüberschuss auf ihr. Trotzdem führt der Vorgang des Platzierens der Ladung zu einer Ladungstrennung, die bekannte Influenz, die zu einer Flächenladung führt. Und dies beeinflusst die Feldgestaltung im Inneren der Hohlkugel.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Mo 06.06.2011 | | Autor: | isi1 |
Ehh, Infinit,
habe ich Dich verärgert?
Falls Du meine Argumente für fehlerhaft hältst,
erklär halt bitte, wie die Ladungsträger auf die Hohlkugel kommen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:10 Mo 06.06.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo isi,
da hat sich Deine Frage mit meiner kleinen Antwort gekreuzt. Keine Angst, Du hast mich nicht verärgert, aber man sieht, dass es gar nicht so einfach ist, zu einer gemeinsam verständlichen (und für beide verstehbaren) Beschreibung zu kommen. Eine Diskrepanz zwischen unseren beiden Gedankengängen sehe ich nicht mehr.
Vielleicht äußert sich ja auch mal Marcel noch dazu. Würde mich interessieren, wie er die Sache beschreiben würde.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Do 09.06.2011 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo zusammen!
Nachfolgend findet ihr nochmal eine Erklärung des Sachverhaltes, so wie ich ihn bis jetzt verstanden habe. Die Metallhohlkugel besteht aus einer Vielzahl an Metallatomen. Dies bedingt das Vorhandensein von unbeweglichen Protonen in den Atomkernen und somit von positiven Ladungen auf der Oberfläche der Kugel. Im Falle der Ungeladenheit der Kugel befinden sich ebenso viele (qualitativ betrachtet) bewegliche Elektronen auf der Oberfläche wie Protonen.
Aufgabe 1)
Bringe ich nun von außen, aus der positiven x-Richtung kommend, eine positiv geladene Punktladung in die Nähe der Kugel an, so erzeuge ich eine Influenz, die bewirkt, dass sich die Elektronen auf der Hohlkugel vornehmlich in dem Bereich der Oberfläche befinden, der am weitesten in die negative x-Richtung zeigt (also im Bereich um den Punkt (-Radius,0,0)). Bringe ich sie innerhalb der Kugel am Punkt (a,0,0) an, so erhalte ich also eine ungleiche Ladungsverteilung auf der Kugeloberfläche. Für den Fall, dass ich sie genau in der Mitte platziere, dürfte dieser Effekt trotz des Vorhandenseins einer Fremdladung nicht weiter bestehen bleiben. Dann müssten alle Elektronen am äußersten Rand jeweils mit gleichem Abstand zueinander auf der Oberfläche angeordnet sein. In der Summe wäre die Kugel dann allerdings geladen:
Ursprüngliche Anordnung: n viele positive Ladungen + n viele negative Ladungen -> Kugel ist ungeladen und Flächenladungsdichte ist gleichmäßig.
Nachträgliche Anordnung: n+1 viele positive Ladungen + n viele negative Ladungen -> Kugel ist (positiv) geladen und Flächenladungsdichte ist ungleichmäßig.
Maßnahme: (negative) Ausgleichsladung im Kugelursprung anlegen. Auf diese Weise gleichen sich die beiden Fremdladungen gerade aus, sodass die Gesamtladung der Kugel 0 ist und auch die Ladungsverteilung trotz der nun unsymmetrischen Anordnung wieder ausgeglichen, bzw. gleichmäßig ist.
Aufgaben 2 und 3)
In den anderen beiden Anordnungen ist die Punktladung, die in der jeweiligen Hohlkugel angegeben ist, bereits Teilmenge der insgesamt neutral geladenen Kugel. Allerdings ist in diesem Fall die Ladungsverteilung von vornherein ungleichmäßig, da ja eine einzige positive Ladung innerhalb der Kugel nicht auf der Oberfläche sondern im Inneren aber nicht im Mittelpunkt liegt. Für den Fall, dass ich sie der Kugel entnehmen würde, wäre die Kugel geladen und die Flächenladungsdichte wäre wieder gleichmäßig. (Sie wäre negativ geladen, wenn die Punktladung positiv ist). Es kommt dann zu einer geringfügigen Änderung der Ladungsverteilung; die Abstände zwischen den einzelnen Elektronen auf der Oberfläche werden geringer.
Ursprüngliche Anordnung: n viele positive Ladungen + n viele negative Ladungen -> Kugel ist ungeladen
Nachträgliche Anordnung: n-1 viele positive Ladungen + n viele negative Ladungen -> Kugel ist (negativ) geladen
Maßnahme: Ich bringe die entnommene Ladung wieder in der Kugel an und erhalte die ursprüngliche Anordnung. Die Ladungsverteilung ist nun wieder ungleichmäßig. Da sie jetzt wieder ungeladen ist, entfällt auch die Notwendigkeit einer Ausgleichsladung im Ursprung.
Liege ich mit dieser Erklärung nun richtig? Wann ist eine Flächenladungsdichte eigentlich 0? Ist dies der Fall, wenn die beweglichen Elektronen jeweils den gleich Abstand zueinander haben, wenn die Ladungsanordnung also symmetrisch ist? Demnach müsste auch dann eine Flächenladungsdichte [mm] \not=0 [/mm] vorliegen können, wenn die Gesamtladung der Kugel 0 ist.
Vielen Dank für eure Mühe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:29 Sa 11.06.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Marcel,
Deine Überlegungen zur ersten Aufgabe kann ich nachvollziehen und sie spiegeln auch die Aufgabenstellung wider. Bei der zweiten und dritten Aufgabe jedoch bastelst du Dir ein Modell, das zu kopliziert ist. Auch hier ist die Hohlkugel ungeladen, aber durch das Vorhandensein der Ladung im Kugelinneren werden, ja nach Ladungsytyp dieser Ladung, die im Metall der Hohlkugel frei verschiebbaren Elektronen an die Oberfläche gezogen oder von ihr weggedrängt. Genau dieses Phänomen gibst Du wider durch die Modellbildung mit der Spiegelladung. Wie schon isi angab, ändert sich dabei die Gesamtladung der Kugel nicht, es entsteht aber dabei eine Oberflächenladung, die homogen verteilt sein kann auf der Oberfläche, es aber nicht sein muss, denn dies hängt vom Ort ab, an dem sich die in die Hohlkugel eingebrachte Ladung befindet.
Du hast dabei aber richtig erkannt, dass der Begriff der Ladungsdichte (ob auf einer Fläche oder im Raum) sich immer auf die betreffende Fläche oder das Raumvolumen bezieht, wobei ein Wert von Null nicht bedeutet, dass sich keine Ladungen in diesem Bereich befinden, sondern nur, dass kein Überschuss an positiven oder negativen Ladungsträgern vorhanden ist.
Viele Grüße,
Infinit
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