Spin-Resonanz < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:37 Mo 14.07.2008 | | Autor: | marcj |
| Aufgabe | Die Kernspinresonanz (NMR) sowie die Elektronenspinresonanz (ESR) sind wichtige Methoden, um die magnetischen Eigenschaften z.B. von Festkörpern zu untersuchen. Ein Spin [mm] \bruch{1}{2} [/mm] Teilchen befinde sich in einem zeitabhängigen Magnetfeld.
[mm] \vec{B}(t)= \vektor{B_1 cos(\omega t)\\B_1 sin(\omega t) \\ B_0}
[/mm]
welches aus einem konstanten Anteil in z-Richtung und einem rotierenden Anteil in der x-y-Ebene besteht. Der Hamiltonoperator lautet damit [mm] \hat{H} [/mm] = [mm] -\gamma \hat{\vec{s}} \cdot \vec{B} [/mm] mit dem Spinoperator [mm] \hat{\vec{s}}=\bruch{h_{quer}}{2}\hat{\vec{\sigma}}.
[/mm]
a) Wie lautet der zeitabhängige Hamiltonoperator mit den Larmorfrequenzen [mm] \omega_i [/mm] = [mm] -\gamma B_i [/mm] (i [mm] \in [/mm] 0,1) in der Basis [mm] {|\uparrow>,|\downarrow>}?
[/mm]
b) Zeigen Sie, dass sich durch die Transformationen [mm] |\Psi(t)> [/mm] = [mm] e^{-i\hat{\sigma}_z\omega t/2}|\Psi'(t)> [/mm] für den Zeitentwicklungsoperator [mm] \hat{U}'(t) [/mm] ergibt: [mm] \hat{U}'(t)=e^{(i/h_{quer})\hat{H}'t}, [/mm] wobei [mm] \hat{H}' [/mm] zeitunabhängig ist. [mm] \hat{U}'(t) [/mm] ist hierbei definiert durch [mm] |\Psi'(t)>=\hat{U}'(t)|\Psi'(0)>.
[/mm]
Hinweis: Zeigen und benutzen Sie
[mm] e^{i\omega t \hat{\sigma}_z/2}\hat{\sigma}_xe^{-i\omega t \hat{\sigma}_z/2}=\hat{\sigma}_x cos(\omega [/mm] t) - [mm] \hat{\sigma}_y sin(\omega [/mm] t)
[mm] e^{i\omega t \hat{\sigma}_y/2}\hat{\sigma}_xe^{-i\omega t \hat{\sigma}_z/2}=\hat{\sigma}_y cos(\omega [/mm] t) [mm] +\hat{\sigma}_x sin(\omega [/mm] t)
c) Berechnen Sie aus b) die Übergangwahrscheinlichkeit [mm] |<\downarrow|\hat{U}'(t)|\uparrow>|^2 [/mm] = [mm] |<\downarrow|\Psi '(t)>|^2 [/mm] und diskutieren sie das resonante Verhalten der Übergangswahrscheinlichkeit.
Hinweis: Sie können folgenden Zusammenhang verwenden
[mm] e^{i\alpha \hat{\sigma}}= [/mm] 1| [mm] cos(\alpha)+i\bruch{\alpha \hat{\sigma}}{\alpha}sin(\alpha) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
es geht eigentlich um die Teilaufgabe c).
Ich habe leider relativ wenig Ahnung von Bra Ket und Operatoren, ich wäre also froh um jede Hilfe.
Ich hoffe ich habe nichts vergessen.
vielen Dank schon mal im vorraus
marc
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Hallo!!
Die Notation ist ein bisschen gewöhnungsbedürftig, aber eigentlich ganz fein, da man Basisunabhängig rechnet.
Wenn ich einn Zustand |a> habe ,dann ist (|a>)*=<a|, also komplex konjugiert.
das betragsquadrat einer funktion ist gegeben durch
[mm] \integral{a*a dx}, [/mm] wenn a deine wellenfunktion ist.
das kann auch geschriebn werden als <a|a>!!
Ein Erwartungswert von Operator H wird dann geschrieben als <a|H|a> = [mm] \integral{a*Ha dx} [/mm] wie gewohnt.
Bei c) musst du nun schauen wie U'(t) auf [mm] |\uparrow> [/mm] wirkt => Zustand , dann diesen neuen Zustand mit [mm] <\downarrow| [/mm] multiplizieren.
z.B [mm] <\downarrow|\sigma_{z}|\uparrow> [/mm] = [mm] <\downarrow|+1/2|\uparrow> [/mm] = 0
alles klar?
mfg dani
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Mo 14.07.2008 | | Autor: | marcj |
> z.B [mm]<\downarrow|\sigma_{z}|\uparrow>[/mm] =
> [mm]<\downarrow|+1/2|\uparrow>[/mm] = 0
Hallo, danke schonmal.
also, [mm] \sigma_{z} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 } [/mm] wenn ich das richtig verstanden habe. Ich verstehe also dieses +1/2 schon einmal gar nicht.
Ich habe jetzt versucht, [mm]<\downarrow|\sigma_{z}|\uparrow>[/mm] zu berechnen, indem ich ''meine'' [mm] \sigma [/mm] Matrix zuerst mit [mm] |\uparrow> [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] multiplirziere (Ergebnis = [mm] \vektor{0 \\ 1}), [/mm] und das Ergebnis dann mit [mm] <\downarrow| [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1}, [/mm] das funktioniert aber nicht, da [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] nicht mit [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] multipliziert werden kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Mo 14.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > z.B [mm]<\downarrow|\sigma_{z}|\uparrow>[/mm] =
> > [mm]<\downarrow|+1/2|\uparrow>[/mm] = 0
>
> Hallo, danke schonmal.
>
> also, [mm]\sigma_{z}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }[/mm] wenn ich das
> richtig verstanden habe.
Das ist eine der Pauli-Spin-Matrizen.
Aber eigentlich geht es um die Darstellung des Drehimpulsoperators im Raum der Spinoren.
> Ich verstehe also dieses +1/2 schon einmal gar nicht.
Das ist auch nicht ganz richtig. Eigentlich muss da eine +1 stehen.
Gemeint ist, dass [mm] $|\uparrow>$ [/mm] ein Eigenvektor des Operators [mm] $L_z$, [/mm] also der z-Komponente des Drehimpulsoperators zum Eigenwert $+1/2$ ist und daher die Gleichung
[mm] L_z|\uparrow> = +\bruch{1}{2} |\uparrow> [/mm]
gilt. Da [mm] $|\uparrow>$ [/mm] und [mm] $|\downarrow>$ [/mm] zueinander orthogonal sind, gilt:
[mm] <\downarrow|l_{z}|\uparrow> = <\downarrow| (L_{z}|\uparrow>) = <\downarrow| +\bruch{1}{2} |\uparrow> = +\bruch{1}{2} <\downarrow|\uparrow> = 0 [/mm].
Nun gilt in dieser Darstellung: [mm] $L_z [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \sigma_z [/mm] $, daher ist auch
[mm] <\downarrow|\sigma_z|\uparrow> = 2 <\downarrow|L_{z}|\uparrow> = 0 [/mm].
> Ich habe jetzt versucht, [mm]<\downarrow|\sigma_{z}|\uparrow>[/mm]
> zu berechnen, indem ich ''meine'' [mm]\sigma[/mm] Matrix zuerst mit
> [mm]|\uparrow>[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] multiplirziere (Ergebnis =
> [mm]\vektor{0 \\ 1}),[/mm] und das Ergebnis dann mit [mm]<\downarrow|[/mm] =
> [mm]\vektor{0 \\ 1},[/mm] das funktioniert aber nicht, da [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm]
> nicht mit [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] multipliziert werden kann.
Es ist ja auch (in dieser Darstellung):
[mm] <\downarrow| = (0,1) [/mm],
denn die [mm] $<\cdot|$-Vektoren [/mm] sind immer die konjugierten Vektoren, mathematisch gesprochen die aus dem jeweiligen Dualraum. Mehr steckt hinter der Schreibweise nicht.
Hilft dir das weiter?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:02 Di 15.07.2008 | | Autor: | marcj |
Danke, ich glaube das hat schon etwas geholfen.
Nun aber zum nächsten Problem, was setze ich für [mm] \hat{U}'(t) [/mm] ein, etwa [mm] e^{(i/h_{quer})\hat{H}'t} [/mm] ? Wenn ja, was wiederum muss ich für [mm] \hat{H}' [/mm] einsetzen?
Und wie prüfe ich dann, ob die Gleichheit für die Übergangswahrscheinlichkeit gilt? Ich weiß ja nicht wie die Wellenfunktion aussieht?
Tut mir leid, das ich euch mit so banalen Fragen nerven muss.
mfg marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 Di 15.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke, ich glaube das hat schon etwas geholfen.
>
> Nun aber zum nächsten Problem, was setze ich für
> [mm]\hat{U}'(t)[/mm] ein, etwa [mm]e^{(i/\hbar)\hat{H}'t}[/mm] ?
Ja.
> Wenn ja,
> was wiederum muss ich für [mm]\hat{H}'[/mm] einsetzen?
Den musst du ausrechnen, indem du die angegebene Transformation [mm] $|\Psi(t)> [/mm] = [mm] e^{-i\hat{\sigma}_z\omega t/2}|\Psi'(t)>$ [/mm] einsetzt. Du hast doch zunächst
[mm] |\Psi(t)> = \hat{U}(t) |\Psi(0)> [/mm]
und
[mm] |\Psi'(t)> = \hat{U}'(t) |\Psi'(0)> [/mm]
Damit kannst du [mm] $\hat{U}'(t)$ [/mm] durch [mm] $\hat{U}(t)$ [/mm] ausdrücken.
Andererseits gilt für die Zeitentwicklungsoperatoren die Schrödingergleichung:
[mm] \Dot{\Hat{U}}(t) = \bruch{i}{\hbar} \hat{H}(t) \hat{U}(t) [/mm]
und
[mm] \Dot{\Hat{U}}'(t) = \bruch{i}{\hbar} \hat{H}'(t) \hat{U}'(t) [/mm]
Setze deinen Ausdruck für [mm] $\hat{U}'(t)$ [/mm] ein und löse nach [mm] $\hat{H}'(t)$ [/mm] auf!
> Und wie prüfe ich dann, ob die Gleichheit für die
> Übergangswahrscheinlichkeit gilt?
Welche Gleichheit meinst du, $ [mm] |<\downarrow|\hat{U}'(t)|\uparrow>|^2 [/mm] = [mm] |<\downarrow|\Psi '(t)>|^2 [/mm] $ ? Das ist doch nur die zeitliche Entwicklung, ausgehend von [mm] $|\Psi [/mm] '(0)> = [mm] |\uparrow>$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:54 Di 15.07.2008 | | Autor: | marcj |
Danke nochmals, aber leider komm ich nicht weiter
Hallo, du meintest:
> Den musst du ausrechnen, indem du die angegebene
> Transformation [mm]|\Psi(t)> = e^{-i\hat{\sigma}_z\omega t/2}|\Psi'(t)>[/mm]
> einsetzt. Du hast doch zunächst
>
> [mm]|\Psi(t)> = \hat{U}(t) |\Psi(0)>[/mm]
>
> und
>
> [mm]|\Psi'(t)> = \hat{U}'(t) |\Psi'(0)>[/mm]
>
> Damit kannst du [mm]\hat{U}'(t)[/mm] durch [mm]\hat{U}(t)[/mm] ausdrücken.
Da kommt aber doch für [mm] \hat{U}'(t) [/mm] = [mm] \hat{U}(t)=1 [/mm] raus, oder etwa nicht. und damit kann ich doch nichts anfangen.
> $ [mm] \Dot{\Hat{U}}(t) [/mm] = [mm] \bruch{i}{\hbar} \hat{H}(t) >\hat{U}(t) [/mm] $
>
>und
>
> $ [mm] \Dot{\Hat{U}}'(t) [/mm] = [mm] \bruch{i}{\hbar} \hat{H}'(t) >\hat{U}'(t) [/mm] $
was sollen den die Punkte über dem U, die zeitliche Ableitung kannst du ja wohl nicht meinen, oder??
[mm] >|\Psi [/mm] '(0)> = [mm] |\uparrow> [/mm]
und warum gilt das denn?
Sorry, aber langsam versteh ich gar nix mehr.
Also für mich nochmal langsam:
1. [mm] |<\downarrow|\hat{U}'(t)|\uparrow>|^2 [/mm] = [mm] |<\downarrow|e^{(i/h_{quer})\hat{H}'t}|\uparrow>|^2
[/mm]
2. Um [mm] \hat{H}' [/mm] zu finden, mit den drei Gleichungen:
- $ [mm] |\Psi(t)> [/mm] = [mm] e^{-i\hat{\sigma}_z\omega t/2}|\Psi'(t)> [/mm] $
- $ [mm] |\Psi(t)> [/mm] = [mm] \hat{U}(t) |\Psi(0)> [/mm] $
- $ [mm] |\Psi'(t)> [/mm] = [mm] \hat{U}'(t) |\Psi'(0)> [/mm] $
einen Ausdruck für [mm] \hat{U}'(t) [/mm] in Abhängigkeit von [mm] \hat{U}(t) [/mm] finden. (aber WIE?)
3. Den letztendlichen Ausdruck von [mm] \hat{U}'(t) [/mm] mit [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und dann mit (0, 1) multiplizieren, den Betrag nehmen und quattrieren.
Habe ich das richtig verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:09 Mi 16.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke nochmals, aber leider komm ich nicht weiter
>
> Hallo, du meintest:
>
> > Den musst du ausrechnen, indem du die angegebene
> > Transformation [mm]|\Psi(t)> = e^{-i\hat{\sigma}_z\omega t/2}|\Psi'(t)>[/mm]
> > einsetzt. Du hast doch zunächst
> >
> > [mm]|\Psi(t)> = \hat{U}(t) |\Psi(0)>[/mm]
> >
> > und
> >
> > [mm]|\Psi'(t)> = \hat{U}'(t) |\Psi'(0)>[/mm]
> >
> > Damit kannst du [mm]\hat{U}'(t)[/mm] durch [mm]\hat{U}(t)[/mm] ausdrücken.
>
> Da kommt aber doch für [mm]\hat{U}'(t)[/mm] = [mm]\hat{U}(t)=1[/mm] raus,
> oder etwa nicht.
Nein, das ist falsch. Wie kommst du denn darauf?
>
>
> > [mm]\Dot{\Hat{U}}(t) = \bruch{i}{\hbar} \hat{H}(t) \hat{U}(t)[/mm]
>
> >
> >und
> >
> > [mm]\Dot{\Hat{U}}'(t) = \bruch{i}{\hbar} \hat{H}'(t) \hat{U}'(t)[/mm]
>
> was sollen den die Punkte über dem U, die zeitliche
> Ableitung kannst du ja wohl nicht meinen, oder??
Aber sicher. Das ist die Schrödingergleichung.
[mm]\frac{\partial}{\partial t}|\Psi(t)> = \bruch{i}{\hbar} \hat{H}(t)|\Psi(t)> [/mm]
[mm]\frac{\partial}{\partial t}\hat{U}(t) |\Psi(0)> = \bruch{i}{\hbar} \hat{H}(t)\hat{U}(t) |\Psi(0)> [/mm]
[mm] \Dot{\Hat{U}}(t) = \bruch{i}{\hbar} \hat{H}(t) \hat{U}(t)[/mm]
Der ganze Zweck der Transformation ist es, den Zeitentwicklungsoperator einfach zu berechnen. Wenn der Hamiltonoperator von der Zeit explizit abhängt, dann hast du nicht die einfache Beziehung
[mm] \hat{U}'(t)=e^{(i/\hbar)\hat{H}'t} [/mm]
> [mm]>|\Psi[/mm] '(0)> = [mm]|\uparrow>[/mm]
> und warum gilt das denn?
Das ist dein Anfangszustand. Du könntest genauso gut von [mm]|\downarrow>[/mm] starten; das ändert nichts am Prinzip, denn du willst die Resonanz des Teilchenspins im rotierenden Magnetfeld untersuchen.
> Sorry, aber langsam versteh ich gar nix mehr.
>
> Also für mich nochmal langsam:
>
> 1. [mm]|<\downarrow|\hat{U}'(t)|\uparrow>|^2 = |<\downarrow|e^{(i/h_{quer})\hat{H}'t}|\uparrow>|^2[/mm]
>
> 2. Um [mm]\hat{H}'[/mm] zu finden, mit den drei Gleichungen:
>
> - [mm]|\Psi(t)> = e^{-i\hat{\sigma}_z\omega t/2}|\Psi'(t)>[/mm]
> - [mm]|\Psi(t)> = \hat{U}(t) |\Psi(0)>[/mm]
> - [mm]|\Psi'(t)> = \hat{U}'(t) |\Psi'(0)>[/mm]
>
> einen Ausdruck für [mm]\hat{U}'(t)[/mm] in Abhängigkeit von
> [mm]\hat{U}(t)[/mm] finden. (aber WIE?)
Das sind doch drei lineare Gleichungen, die musst du nur ineinander einsetzen. Wie hängen [mm] $|\Psi(0)>$ [/mm] und [mm] $|\Psi'(0)>$ [/mm] zusammen?
> 3. Den letztendlichen Ausdruck von [mm]\hat{U}'(t)[/mm] mit
> [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] und dann mit (0, 1) multiplizieren, den
> Betrag nehmen und quattrieren.
Unter Verwendung der in der Aufgabe angegebenen Identiät, damit du die Exponentiation deines Spinoperators loswirst. Dann die Matrixelemente ausrechnen und das Ergebnis quadrieren.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:44 Do 17.07.2008 | | Autor: | marcj |
Hallo,
ich habe es jetzt glaube ich endlich verstanden.
Vielen Dank euch allen.
Mit besten Grüßen
Marc
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