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Forum "Uni-Numerik" - Spline - Interpolation Aufgabe
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Spline - Interpolation Aufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:29 Di 21.01.2020
Autor: Steve96

Aufgabe
Bestimmen Sie den natürlichen Spline - Interpolanten zu den Daten  $(0, - 1), (1,1), (2, - 1)$

Hallo, ich bin seit ein paar Tagen dabei, die Spline - Interpolation zu verstehen.

Dazu orientiere ich mich wie immer an Rannachers Skript https://ganymed.math.uni-heidelberg.de/~lehre/notes/num0/numerik0.pdf (ab Seite 40).


Die Theorie (Von Seite 40 - 44 einschließlich) dahinter habe ich halbwegs verstanden. Manches ist mir noch unklar.
Aber ich kann es mir gerade nicht leisten, alles ganz im Detail zu verstehen, da in 12 Tagen die Klausur stattfindet.

Mir geht es nun mehr darum, das Verfahren zur Berechnung dieser Splines zu verstehen, da ich bis jetzt nur mit der Theorie beschäftigt war.
Wahrscheinlich verstehe ich den Rest erst besser, wenn ich ein paar leichte Aufgaben dazu gerechnet habe.


Das Verfahren ist eigentlich nur das Lösen eines Gleichungssystems. Das Verfahren wird ab Seite 45 beschrieben. Da wird die Koeffizientenmatrix hergeleitet.

Ich tippe kurz diesen Abschnitt im Skript ab.



_____________________________________________________________________________________________________________________________


Zur expliziten Berechnung des interpolierenden Splines [mm] $s_{n}$ [/mm] schreiben wir seine Bestandteile [mm] $s_{n}_{\vert [x_{i - 1}, x_{i}]} [/mm] = [mm] p_{i} \in P_{3}$ [/mm] in der Form


[mm] $p_{i}(x) [/mm] = [mm] a_{0}^{(i)} [/mm] + [mm] a_{1}^{(i)}(x [/mm] - [mm] x_{i}) [/mm] +  [mm] a_{2}^{(i)}(x [/mm] - [mm] x_{i})^{2} [/mm] +  [mm] a_{3}^{(i)}(x [/mm] - [mm] x_{i})^{3}$, [/mm] $i = 1, 2, [mm] \ldots, [/mm] n,$


und bestimmen die $4n$ Koeffizienten [mm] $a_{0}^{(i)}, a_{3}^{(i)}$. [/mm]  Dies wird im folgenden für den interpolierenden "natürlichen" Spline durchgeführt:



- Die Interpolationsbedingung [mm] $p_{i}(x_{i}) [/mm] = [mm] y_{i}, p_{i}(x_{i - 1}) [/mm] = [mm] y_{i - 1}$ [/mm] impliziert:


$(1)$ [mm] $a_{0}^{(i)} [/mm] = [mm] y_{i}$, [/mm] $i = 1, [mm] \ldots,n$, [/mm]


und mit [mm] $h_{i} [/mm] = [mm] x_{i} [/mm] - [mm] x_{i - 1}$: [/mm]


$(2)$ [mm] $y_{ i - 1} [/mm] - [mm] y_{i} [/mm] = - [mm] a_{1}^{(i)} h_{i} [/mm] + [mm] a_{2}^{(2)} h_{i}^{2} [/mm] -  [mm] a_{3}^{(2)} h_{i}^{3}$, [/mm] $i = 1, [mm] \ldots, [/mm] n$.


- Die Randbedingungen [mm] $p_{1}''(x_{0}) [/mm] = [mm] p_{n}''(x_{n}) [/mm] = 0$ impliziert:

$(3)$ [mm] $a_{2}^{(1)} [/mm] - 3 [mm] a_{3}^{(1)} h_{1} [/mm] = 0, [mm] a_{2}^{(n)} [/mm] = 0$.


- Die Stetigkeit der 1. Ableitung [mm] $p_{i}'(x_{i}) [/mm] = [mm] p_{i + 1}'(x_{i})$ [/mm] impliziert:


$(4)$ [mm] $a_{1}^{(i)} [/mm] = [mm] a_{1}^{(i + 1)} [/mm] - [mm] 2a_{2}^{(i + 1)}h_{i + 1} [/mm] + [mm] 3a_{3}^{(i + 1)} h^{2}_{i + 1}, [/mm] i = 1, [mm] \ldots, [/mm] n - 1$.


- Die Stetigkeit der 2. Ableitung [mm] $p''_{i}(x_{i}) [/mm] = p''_{i + [mm] 1}(x_{i}) [/mm] $ impliziert:


$(5)$ [mm] $a_{2}^{(i)} [/mm] = [mm] a_{2}^{(i + 1)} [/mm] - [mm] 3a_{3}^{(i + 1)} h_{i + 1}, [/mm] i = 1, [mm] \ldots, [/mm] n - 1$.



Damit haben wir $4n$ Gleichungen $(1) - (5)$ für die [mm] $a_{k}^{(i)}$ [/mm] gefunden. Zunächst werden nun die [mm] $a_{1}^{(i)}$ [/mm] und [mm] $a_{3}^{(i)}$ [/mm] durch die [mm] $a_{2}^{(i)}$ [/mm] ausgedrückt.


Zur Vereinfachung wird [mm] $a_{2}^{(0)} [/mm] := 0$ und [mm] $a_{2}^{(n + 1)} [/mm] := 0$ gesetzt.



Die Gleichungen $(3)$ und $(5)$ ergeben sich $(i [mm] \rightarrow [/mm] i - 1)$:



$(6)$ [mm] $a_{3}^{(i)} [/mm] = [mm] \frac{a_{2}^{(i)} - a_{2}^{(i - 1)}}{3h_{i}}, [/mm] i = 1, [mm] \ldots, [/mm] n$.


$(2)$ und $(6)$ ergeben:


[mm] $a_{1}^{(i)} [/mm] = [mm] \frac{y_{i} - y_{i - 1}}{h_{i}} [/mm] + [mm] a_{2}^{(i)}h_{i} [/mm] - [mm] a_{3}^{(i)} h^{2}_{i} [/mm] =  [mm] \frac{y_{i} - y_{i - 1}}{h_{i}} [/mm] + [mm] h_{i} \left \{ a_{2}^{(i)} - \frac{a_{2}^{(i)} - a_{2}^{(i - 1)} }{3} \right \} [/mm] =  [mm] \frac{y_{i} - y_{i - 1}}{h_{i}} [/mm]  + [mm] \frac{h_{i}}{3} \left \{ 2a_{2}^{(i)} + a_{2}^{(i - 1)}\right \}, [/mm] i = 1, [mm] \ldots, [/mm] n$.  (7)


$(4), (7)$ und $(6)$ ergeben:



[mm] $\underbrace{\frac{y_{i} - y_{i - 1}}{h_{i}} + \frac{h_{i}}{3} \left \{ 2a_{2}^{(i)} + a_{2}^{(i - 1)}\right \}}_{ = a_{1}^{(i)}} [/mm] = [mm] \underbrace{\frac{y_{i + 1} - y_{i }}{h_{i + 1}} + \frac{h_{i + 1}}{3} \left \{ 2a_{2}^{(i + 1)} + a_{2}^{(i )}\right \}}_{ = a_{1}^{(i + 1)}} [/mm] - [mm] 2a_{2}^{(i + 1)} h_{i + 1} [/mm] + [mm] 3a_{3}^{( i + 1)} h^{2}_{i + 1} [/mm] = [mm] \frac{y_{i + 1} - y_{i }}{h_{i + 1}} [/mm]  + [mm] \frac{h_{i + 1}}{3} \left \{ 2a_{2}^{(i + 1)} + a_{2}^{(i )}\right \} [/mm]  - [mm] h_{i + 1} \left \{ a_{2}^{(i + 1)} + a_{2}^{(i)} \right \}, [/mm] i =  1, [mm] \ldots, [/mm] n - 1.$



Dies wird für $i = 1, [mm] \ldots, [/mm] n - 1$ umgeschrieben zu


[mm] $h_{i} a_{2}^{( i - 1)} [/mm] + 2 [mm] (h_{i} [/mm] + [mm] h_{i + 1})a_{2}^{(i)} [/mm] + [mm] h_{i + 1} a_{2}^{(i + 1)} [/mm] = 3 [mm] \left \{ \frac{y_{i + 1} - y_{i}}{h_{i + 1}} - \frac{y_{i} - y_{i - 1}}{h_{i}} \right \}$ [/mm]



Damit haben wir für den $(n - 1)$ - Vektor [mm] $\left (a_{2}^{(1)}, \ldots, a_{2}^{(n - 1)} \right )^{T}$ [/mm] ein $(n - 1) [mm] \times [/mm] (n - 1)$ - Gleichungssystem aufgestellt; die Koeffizientenmatrix


$A = [mm] \begin{pmatrix} 2(h_{1} + h_{2}) & h_{2} & & & 0 \\ h_{2} & 2(h_{2} + h_{3}) & \ddots & & & \\ & h_{3} & \ldots & & & & \\ & & \ddots & 2(h_{n - 2} + h_{n - 1}) & h_{n - 1} \\ 0 & & & h_{n - 1}& 2(h_{n - 1} + h_{n }) \\ \end{pmatrix}$ [/mm]


ist symmetrisch und strikt diagonaldominant.
_____________________________________________________________________________________________________________________________



Diese ganze Herleitung habe ich soweit verstanden bis auf einer Sache:

Warum wird in der Koeffizientenmatrix der Term [mm] $h_{i} a_{2}^{( i - 1)}$ [/mm] nicht  berücksichtigt ?


Für $i = 1$ macht die Gleichung [mm] $h_{i} a_{2}^{( i - 1)} [/mm] + 2 [mm] (h_{i} [/mm] + [mm] h_{i + 1})a_{2}^{(i)} [/mm] + [mm] h_{i + 1} a_{2}^{(i + 1)} [/mm] = 3 [mm] \left \{ \frac{y_{i + 1} - y_{i}}{h_{i + 1}} - \frac{y_{i} - y_{i - 1}}{h_{i}} \right \}$ [/mm] irgendwie keinen Sinn, weil wir dann den Summanden [mm] $h_{1} a_{2}^{( 0)}$ [/mm] hätten, aber [mm] $a_{2}^{( 0)}$ [/mm] ist nicht definiert.


Ich möchte nun das Verfahren an einem einfachen Beispiel testen.




Meine Vorgehensweise
__________________





1. Schritt: Berechne die [mm] $h_{i}$ [/mm]
________


Auf Seite 40 im Skript haben wir die [mm] $h_{i}$ [/mm] folgndermaßen definiert: [mm] $h_{i} [/mm] = [mm] x_{i} [/mm] - [mm] x_{i - 1}$. [/mm]


Also haben wir:

[mm] $h_{1} [/mm] = [mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{0} [/mm] = 1 - 0 = 1$

[mm] $h_{2} [/mm] = [mm] x_{2} [/mm] - [mm] x_{1} [/mm] = 2 - 1 = 1$



2. Schritt: Stelle die Koeffizientenmatrix auf
________

Unsere Koeffizintenmatrix ist in diesem Fall eine $1 [mm] \times [/mm] 1$ - Matrix.

Es ist also $A = [mm] 2(h_{1} [/mm] + [mm] h_{2}) [/mm] = 2(1 + 1) = 4$



3. Schritt: Löse das LGS  
________


Wir haben die Gleichung $ [mm] 2(h_{1} [/mm] + [mm] h_{2}) \cdot a_{2}^{(1)} [/mm] = 3 [mm] \left \{ \frac{y_{2} - y_{1}}{h_{2}} - \frac{y_{1} - y_{0}}{h_{1}} \right \}$ [/mm]


Also konkret: $ 4 [mm] \cdot a_{2}^{(1)} [/mm] = 3 [mm] \left \{ \frac{- 1 - 1}{1} - \frac{1 - (- 1)}{1} \right \} [/mm] = 3 [mm] \cdot [/mm] (- 2 - 2)  = - 12$


[mm] $\Leftrightarrow a_{2}^{(1)} [/mm] = - 3 $


Nun fehlen mir noch [mm] $a_{1}^{(1)}$ [/mm] und [mm] $a_{3}^{(1)}$ [/mm]



[mm] $a_{1}^{(1)}$$ [/mm] erhalte ich durch die Gleichung $(7)$.

Also [mm] $a_{1}^{(1)} [/mm] = [mm] \frac{y_{1} - y_{0}}{h_{1}} [/mm]  + [mm] \frac{h_{1}}{3} \left \{ 2a_{2}^{(1)} + a_{2}^{(0)}\right \}$ [/mm]



Aber hier taucht schon wieder [mm] $a_{2}^{(0)}$. [/mm] Was soll das sein ?




Ich hoffe, mir kann geholfen.


Und sorry für den langen Text!

lg, Steve


        
Bezug
Spline - Interpolation Aufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:04 Di 21.01.2020
Autor: leduart

Hallo
du fängst an mit einsamen 3 Punkten und willst einen spline dritter Ordnung da durch legen. 3 Punkte legen aber nur ein Polynom 2 ten Grades fest, also musst du schon etwas komplizierteres machen, mindestens 4 Punkte, , eigentlich müssen Splints ja auch stetig und differenzierbar aneinander grenzen.  Also gibts einen vernünftigen speien durch deine 3 isolierten Punkte nicht.
Gruß lul
PS. ich hab nicht deinen ganzen post gründlich gelesen

Bezug
                
Bezug
Spline - Interpolation Aufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:11 Mi 22.01.2020
Autor: Steve96

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo, danke für die Antwort.


>du fängst an mit einsamen 3 Punkten und willst einen

> spline dritter Ordnung da durch legen.



Also ich habe es so verstanden, dass man die Funktion im Intervall $[x_{i - 1}, x_{i}]$ durch ein kubisches Polynom interpoliert mit den ganzen anderen Nebenbedingungen.

In unserem Fall haben wir die Intervalle  $[x_{0}, x_{1}]$ und  $[x_{1, x_{2}]$.

Also berechne ich in diesem Fall $2$ kubische Polynome. Was mache ich dann, wenn ich beide ausgerechnet habe? Addiere ich sie dann, oder wie ?






>   du fängst an mit einsamen 3 Punkten und willst einen
> spline dritter Ordnung da durch legen. 3 Punkte legen aber
> nur ein Polynom 2 ten Grades fest, > etwas komplizierteres machen, mindestens 4 Punkte, ,
> eigentlich müssen Splints ja auch stetig und
> differenzierbar aneinander grenzen.  Also gibts einen
> vernünftigen speien durch deine 3 isolierten Punkte
> nicht.


Genau, aber $3$ Punkte können auch ein Polynom dritten Grades festlegen, wenn ich an diesem Polynom noch eine weitere Bedingung vornehme, oder etwa nicht?

Und hast du vielleicht eine Idee, was denn $a_{2}^{(0)}$ sein soll ? :-D





lg, Steve

Bezug
                        
Bezug
Spline - Interpolation Aufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:52 Mi 22.01.2020
Autor: chrisno


> Hallo, danke für die Antwort.
>
>
> >du fängst an mit einsamen 3 Punkten und willst einen
> > spline dritter Ordnung da durch legen.
>
>
>
> Also ich habe es so verstanden, dass man die Funktion im
> Intervall [mm][x_{i - 1}, x_{i}][/mm] durch ein kubisches Polynom
> interpoliert mit den ganzen anderen Nebenbedingungen.

[ok]

>
> In unserem Fall haben wir die Intervalle  [mm][x_{0}, x_{1}][/mm]
> und  [mm][x_{1, x_{2}][/mm].
>  
> Also berechne ich in diesem Fall [mm]2[/mm] kubische Polynome. Was
> mache ich dann, wenn ich beide ausgerechnet habe? Addiere
> ich sie dann, oder wie ?

Nein, das eine ist für das erste Intervall und das zweite für das zweite Intervall.

>  
>
>
>
>
>
> >   du fängst an mit einsamen 3 Punkten und willst einen

> > spline dritter Ordnung da durch legen. 3 Punkte legen aber
> > nur ein Polynom 2 ten Grades fest, > etwas komplizierteres
> machen, mindestens 4 Punkte, ,
> > eigentlich müssen Splints ja auch stetig und
> > differenzierbar aneinander grenzen.  Also gibts einen
> > vernünftigen speien durch deine 3 isolierten Punkte
> > nicht.
>  
>
> Genau, aber [mm]3[/mm] Punkte können auch ein Polynom dritten
> Grades festlegen, wenn ich an diesem Polynom noch eine
> weitere Bedingung vornehme, oder etwa nicht?

Das sind die Bedingungen an die ersten und zweiten Ableitungen, sowie die Randbedingungen

>  
> Und hast du vielleicht eine Idee, was denn [mm]a_{2}^{(0)}[/mm] sein
> soll ? :-D

Das ist Null, steht im Script.


Bezug
        
Bezug
Spline - Interpolation Aufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:49 Mi 22.01.2020
Autor: chrisno

Hallo, ich schreibe mal die Antworten zu deinen Fragen an die passenden Stellen

> ....
>
> Zur expliziten Berechnung des interpolierenden Splines
> [mm]s_{n}[/mm] schreiben wir seine Bestandteile [mm]s_{n}_{\vert [x_{i - 1}, x_{i}]} = p_{i} \in P_{3}[/mm]

Der Spline hat also n Bestandteile (Abschnitte). Ein Abschnitt ist das Intervall zwischen zwei benachbarten Stützpunkten. Für jeden dieser Abschnitte wird ein Polynom 3. Grades bestimmt.
Also sind n Polynome zu bestimmen, da gehe ich davon aus, dass die erste Stützstelle [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] ist.


> in der Form
>  
>
> [mm]p_{i}(x) = a_{0}^{(i)} + a_{1}^{(i)}(x - x_{i}) + a_{2}^{(i)}(x - x_{i})^{2} + a_{3}^{(i)}(x - x_{i})^{3}[/mm],
> [mm]i = 1, 2, \ldots, n,[/mm]
>  
>
> und bestimmen die [mm]4n[/mm] Koeffizienten [mm]a_{0}^{(i)}, a_{3}^{(i)}[/mm].
>  .....
>
> Damit haben wir [mm]4n[/mm] Gleichungen [mm](1) - (5)[/mm] für die
> [mm]a_{k}^{(i)}[/mm] gefunden. Zunächst werden nun die [mm]a_{1}^{(i)}[/mm]
> und [mm]a_{3}^{(i)}[/mm] durch die [mm]a_{2}^{(i)}[/mm] ausgedrückt.
>  
>
> Zur Vereinfachung wird [mm]a_{2}^{(0)} := 0[/mm] und [mm]a_{2}^{(n + 1)} := 0[/mm]
> gesetzt.
>  

Die beiden Koeffizienten gibt es nicht. So wie die Gleichungen aufgeschrieben werden, kommen sie aber vor. Da ist es einfacher, diese Definition vorzunhemen, als die Gleichungen auseinander zu sortieren und für die Fälle i = 1 und i = n extra Versionen hin zu schreiben.


>
>
> Die Gleichungen [mm](3)[/mm] und [mm](5)[/mm] ergeben sich [mm](i \rightarrow i - 1)[/mm]:
>  

> ...
> Diese ganze Herleitung habe ich soweit verstanden bis auf
> einer Sache:
>  
> Warum wird in der Koeffizientenmatrix der Term [mm]h_{i} a_{2}^{( i - 1)}[/mm]
> nicht  berücksichtigt ?
>

sehe ich gerade nicht, die Zeit fehlt ...

>
> Für [mm]i = 1[/mm] macht die Gleichung [mm]h_{i} a_{2}^{( i - 1)} + 2 (h_{i} + h_{i + 1})a_{2}^{(i)} + h_{i + 1} a_{2}^{(i + 1)} = 3 \left \{ \frac{y_{i + 1} - y_{i}}{h_{i + 1}} - \frac{y_{i} - y_{i - 1}}{h_{i}} \right \}[/mm]
> irgendwie keinen Sinn, weil wir dann den Summanden [mm]h_{1} a_{2}^{( 0)}[/mm]
> hätten, aber [mm]a_{2}^{( 0)}[/mm] ist nicht definiert.

Ist definiert, s.o.

>  
>
> Ich möchte nun das Verfahren an einem einfachen Beispiel
> testen.
>  

>....

>
> Aber hier taucht schon wieder [mm]a_{2}^{(0)}[/mm]. Was soll das
> sein ?

s.o.


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