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| Aufgabe | [mm] $f:X\to \Omega$ [/mm] sei eine Abbildung zwischen nichtleeren Mengen. [mm] \mathcal{A} [/mm] sei eine [mm] \sigma- [/mm] Algebra über [mm] \Omega. [/mm] Durch [mm] $\mathcal{B}:=\{f^{-1}(A):A\in\mathcal{A}\}$ [/mm] wird dann eine [mm] \sigma- [/mm] Algebra auf X definiert.
Zeige mit Hilfe dieser Tatsache, dass für eine nichtleere Teilmenge [mm] $T\subset \Omega$ [/mm] die Menge [mm] $\mathcal{A}|_{T}:=\{A\cap T: A\in\mathcal{A}\}$ [/mm] eine [mm] \sigma- [/mm] Algebra über T ist. |
Hallo!
Zu obiger Aufgabe habe ich mir überlegt, dass ich $X = T$ wählen könnte und die Abbildung [mm] $f:T\to \Omega: a\mapsto [/mm] a$ betrachte. Diese ist wohldefiniert, weil [mm] $T\subset \Omega$, [/mm] und es dürfte doch gelten
[mm] $f^{-1}(A) [/mm] = [mm] A\cap [/mm] T$,
oder? Damit wäre auch [mm] $\mathcal{B}:=\{f^{-1}(A):A\in\mathcal{A}\} [/mm] = [mm] \{A \cap T:A\in\mathcal{A}\}$ [/mm] genau das, was ich als [mm] \sigma- [/mm] Algebra zu verifizieren hätte.
Stimmen meine Überlegungen?
Danke für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:34 Mo 19.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Stimmen meine Überlegungen?
Ja.
SEcki
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Hallo SEcki,
danke für deine Antwort!
Ich habe noch eine zweite Teilaufgabe dazu, diese lautet nun:
Sei [mm] \mathcal{C} [/mm] eine [mm] \sigma- [/mm] Algebra über X. Zeige, dass [mm] $\mathcal{D} :=\{A\subset\Omega:f^{-1}(A)\in\mathcal{C}\}$ [/mm] eine [mm] \sigma- [/mm] Algebra über [mm] \Omega [/mm] ist.
Gibt es eine Möglichkeit, dies ebenfalls mit der "Tatsache":
" [mm] $f:X\to \Omega$ [/mm] sei eine Abbildung zwischen nichtleeren Mengen. [mm] \mathcal{A} [/mm] sei eine [mm] \sigma- [/mm] Algebra über [mm] \Omega. [/mm] Durch [mm] $\mathcal{B}:=\{f^{-1}(A):A\in\mathcal{A}\}$ [/mm] wird dann eine [mm] \sigma- [/mm] Algebra auf X definiert. "
zu beweisen? Ich komme bloß auf diese Idee, weil sich die Beweise ähnlich abspielen... Geht es zum Beispiel mit einer Funktion [mm] $f:\Omega \to [/mm] X$ ? Ich bekomme eben nur die Menge [mm] \mathcal{D} [/mm] nicht auf die gewünschte Gestalt.
Danke für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 Mo 19.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> zu beweisen? Ich komme bloß auf diese Idee, weil sich die
> Beweise ähnlich abspielen
Nun, die erste Aussage ist ein Spezialfall der zweiten mit Sigma-Algebra [m]P(\Omega)[/m].
> es zum Beispiel mit
> einer Funktion [mm]f:\Omega \to X[/mm] ? Ich bekomme eben nur die
> Menge [mm]\mathcal{D}[/mm] nicht auf die gewünschte Gestalt.
>
> Danke für Eure Hilfe!
>
> Grüße,
> Stefan
Ich glaube nicht. Aber vielleicht hat wer anders eine Idee.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Di 20.04.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > zu beweisen? Ich komme bloß auf diese Idee, weil sich die
> > Beweise ähnlich abspielen
>
> Nun, die erste Aussage ist ein Spezialfall der zweiten mit
> Sigma-Algebra [m]P(\Omega)[/m].
wie meinst du das?
> > es zum Beispiel mit
> > einer Funktion [mm]f:\Omega \to X[/mm] ? Ich bekomme eben nur die
> > Menge [mm]\mathcal{D}[/mm] nicht auf die gewünschte Gestalt.
>
> Ich glaube nicht. Aber vielleicht hat wer anders eine
> Idee.
Ich vermute auch, dass es nicht geht. Es sei denn $f$ ist bijektiv, aber der Fall ist langweillig 
LG Felix
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Hallo Felix, hallo SEcki,
danke für Eure Antworten!
Grüße,
Stefan
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