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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:07 Sa 13.12.2014 | | Autor: | LGS |
| Aufgabe | Beim St.Petersburger Spiel wird eine faire Münze so lange geworfen,bis erstmals Zahl erscheint. Geschieht dies beim $n-ten$ Wurf,so erhält der Spieler [mm] $2^n$ [/mm] Euro für alle $n [mm] \in \IN.$ [/mm] Sei $X $ die Auszahlung an die Spieler .
$a)$ Der vom Spieler zu leistende Einsatz von $ K $ Euro für ein Spiel heißt fair,falss $E(X)= K$ gilt. Gibt es im St.Petersburger Spiel einen fairen Einsatz? Begründen Sie.
$b)$ Ist in $N$ Würfen der Münze kein einziges Mal Zahl getroffen,so werden die verfügbaren mittel zur Gewinnauszahlung überschritten. In diesem Fall erhält der Spieler gar nichts. Bestimmen Sie den fairen Einsatz für diese Modifikation des Auszahlungsprofils. |
Hallo
Lösung zur $a) :$
dazu berechne ich den durchschnittlich zu erwarten Gewinn mit der Zufallsvariable $X$
$n=1 $gewinn [mm] $2^1 [/mm] $ mit der Wahrscheinlichkeit$ [mm] \frac{1}{2}$ [/mm] , da [mm] $\Omega [/mm] := [mm] \{0,1\}$ [/mm] mit $0 = Kopf$ ,$1 = Zahl$ und Ergeinis$ [mm] A:=\{1\} \Rightarrow \frac{|A|}{|\Omega|} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}.$
[/mm]
geht das $n $ jetzt hoch ,will sagen wird immer größer so potenziert sich ja der grundraum [mm] $\Omega$,da [/mm] sich die Anzahl der Würfe erhöht also z.bsp
$n = 3 $
[mm] $\frac{|A|}{|\Omega|^3} [/mm] = [mm] \frac{1}{8}.$
[/mm]
dann wäre ja das Sigma des Erwartungswertes
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^n *2^n [/mm] =
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} *2^n [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}1 [/mm] = [mm] \infty [/mm] $
. Naja es gibt in diesem Sinne keinen fairen Einsatz, sollte der Einsatz des Spieles unendlich hoch sein wird der gewinn auch so sein. Wenn der $E(X) = 0 $wäre es ein faires spiel oder hätte jmd ne bessere Begründung?
bei $b ) $habe ich noch keine Ahnung
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> Lösung zur a):
>
> dazu berechne ich den durchschnittlich zu erwarten Gewinn
> mit der Zufallsvariable [mm]X[/mm]
> ...
> dann wäre ja das Sigma des Erwartungswertes
>
> [mm][mm] E(X)=\summe_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^n *2^n \to \infty$
[/mm]
Das stimmt.
> . Naja es gibt in diesem Sinne keinen fairen Einsatz,
> sollte der Einsatz des Spieles unendlich hoch sein wird der
> gewinn auch so sein. Wenn der [mm]E(X) = 0 [/mm]wäre es ein faires
> spiel oder hätte jmd ne bessere Begründung?
Ein Faires Spiel wäre [mm] $E(X)=\text{Einsatz}$.
[/mm]
> bei b) habe ich noch keine Ahnung
Nun ja, da gibt es statt [mm] $\infty$ [/mm] nur $N$ Fälle (dieselben wie vorher), und dann noch einen mehr, bei dem man nichts gewinnt. Also ist
[mm] $E(X)=\summe_{n=1}^{N} (\frac{1}{2})^n *2^n [/mm] + [mm] (\frac{1}{2})^{N} \cdot [/mm] 0.0$
Und nun darfst Du wieder weiterrechnen ;)
Gruss,
Hanspeter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 So 14.12.2014 | | Autor: | LGS |
"Nun ja, da gibt es statt [mm] $\infty$ [/mm] nur $N$ Fälle (dieselben wie vorher), und dann noch einen mehr, bei dem man nichts gewinnt. Also ist
[mm] $E(X)=\summe_{n=1}^{N} (\frac{1}{2})^n *2^n [/mm] + [mm] (\frac{1}{2})^{N} \cdot [/mm] 0.0$
Und nun darfst Du wieder weiterrechnen ;) "
Ich greife das mal auf:)
[mm] $E(X)=\summe_{n=1}^{N} (\frac{1}{2})^n *2^n [/mm] + [mm] (\frac{1}{2})^{N} \cdot [/mm] 0.0 = [mm] \summe_{n=1}^{N} (\frac{1}{2})^n *2^n [/mm] +0= [mm] \summe_{n=1}^{N} [/mm] 1 = N$ . Das ist bzw. muss doch so richtig sein oder?
dann wäre ein fairer Einsatz $N?$
lieben gruss dir Hansperter
LGS
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Ja, genau so ist es.
Gruss,
Hanspeter
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