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| Aufgabe | | Berechnen Sie die stabile Verteilung einer Populationsmatrix. |
Es gibt keine richtige Aufgabe, da sich meine Frage auf ein allgemeines Beispiel unseres Unterrichts bezieht. Sorry!
Folgenden Lösungsansatz hat mein Lehrer uns beigebracht:
Eine Populationsmatrix M kann man auf einen Zyklus und eine stabile Verteilung überprüfen .
Ein Zyklus erschließt sich durch Ausprobieren von Potenzen von M [mm] (M^2 [/mm] usw.). Man kommt im Beispiel zu dem Ergebnis, dass nach 4 Zeitschritten sich die Populationsmatrix wiederholt -> [mm] M^4=E [/mm] (E=Einheitsmatrix) Dieser Zyklus wurde vom Lehrer als stabile Verteilung bezeichnet.
Außerdem kommt man zu dem Ergebnis, dass es eine (andere?) stabile Verteilung gibt:
M * Fixvektor = Fixvektor | ersetze x1 des Fixvektors mit dem Wert 1
Das um eine Variable reduzierte GS liefert im Beispiel: Fixvektor = k * (20 4 2 1)
Dieser Fixvektor wurde ebenfalls als stabil bezeichnet.
Meine Frage ist nun, wie diese beiden Ergebnisse zusammenhängen. Wie kann es sein, dass es trotz der zyklischen Wiederholung eine langfristige stabile Verteilung (gemeint ist der Fixvektor) gibt?
Danke im voraus.
PS: Ihr seid meine letzte Hoffnung für die Klausur übermorgen. Andere Foren konnten mir nicht helfen.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: [http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/305603,0.html?sid=de626585b6f40044967c0afa6236e772 http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=537986]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Mi 12.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. E*x=x ist dir klar, wenn E die Einheitsmatrix ist, wenn du also irgendeinen Bevölkerungsvektor x1 hast die erste naxhfolgegeneration ausrechnest hast du eine neue Bevülkerung x2=Mx1 , dann die naächste x3=Mx2=M^2x1 . dann [mm] x:_4=M^3_x_1 [/mm] und [mm] x5=M^4*x_1=x_1 [/mm] nach vier Generationen hast du also wieder die Ausgangspopulation und dieser Zyklus geht immer weiter, ist also stabil (keine Explosion, kein Aussterben.
Wenn ich aber einen besonderen Ausgangsvektor [mm] x_e [/mm] nehme für den gilt, [mm] M*x_e=x_e [/mm] dann ist [mm] x_e [/mm] Eigenvektor zum Eigenwert 1, dieseer besondere Bevölkerungsvektor bleibt also generation für Generation erhalten.
Wenn man nicht mit einem Eigenvektor anfängt, ändert sich die Population 3 Generationen lang und erreicht dann erst wieder den Anfangszustand.
einen Eigenvektor mit Eigenwert 1 kann man haben, wenn [mm] M^n=E [/mm] ist, oder auch wenn es das nicht gibt.
Gruß leduart
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