Stabilität Gleichgewichtspkte < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] \vektor{x'(t) \\ y'(t) \\ z'(t)} =\vektor{1-x(t)-y(t)+x(t)z(t) \\ 1-y(t)-z(t)+x(t)y(t) \\ 1-z(t)-y(t)+y(t)z(t)}
[/mm]
ist zu betrachten.
a) Ist das um (1,1,1) linearisierte System stabil oder instabil?
b) Ist der Gleichgewichtspunkt (1,1,1) des ursprünglichen Systems stabil oder instabil?
Hinweis: Es gibt Lösungen mit x=y=z |
Hallo zusammen,
zu a)
ich hab mir [mm] \Delta [/mm] f gebildet mit:
[mm] \pmat{ -1+z & -1 & x \\ y & -1+x & -1 \\ 0 & -1+z & -1+y }
[/mm]
mit
[mm] \Delta f\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Damit komme ich auf EW
[mm] \lambda_{1}=0
[/mm]
[mm] \lambda_{2}=-i\wurzel{2}
[/mm]
[mm] \lambda_{3}=+i\wurzel{2}
[/mm]
Da [mm] RE(\lambda_{i})=0 [/mm] folgt daraus, dass ich das System nicht eindeutig zuordnen kann?
Ich habe mir auch schon die Umgebung angeschaut, komm dabei aber auch nicht wirklich weiter. Wollte hier fragen ob ihr mir einen Tip geben könntet welche Punkte ich mir anschauen muss. Finde das in der dritten Dimension etwas schwieriger.
Bei der b) genau das selbe.
Danke euch.
Thomas
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Hallo Thomas0086,
> [mm]\vektor{x'(t) \\ y'(t) \\ z'(t)} =\vektor{1-x(t)-y(t)+x(t)z(t) \\ 1-y(t)-z(t)+x(t)y(t) \\ 1-z(t)-y(t)+y(t)z(t)}[/mm]
>
> ist zu betrachten.
> a) Ist das um (1,1,1) linearisierte System stabil oder
> instabil?
> b) Ist der Gleichgewichtspunkt (1,1,1) des ursprünglichen
> Systems stabil oder instabil?
> Hinweis: Es gibt Lösungen mit x=y=z
> Hallo zusammen,
>
> zu a)
>
> ich hab mir [mm]\Delta[/mm] f gebildet mit:
> [mm]\pmat{ -1+z & -1 & x \\ y & -1+x & -1 \\ 0 & -1+z & -1+y }[/mm]
>
> mit
> [mm]\Delta f\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Damit komme ich auf EW
> [mm]\lambda_{1}=0[/mm]
> [mm]\lambda_{2}=-i\wurzel{2}[/mm]
> [mm]\lambda_{3}=+i\wurzel{2}[/mm]
>
Die komplexen Eigewerte stimmen nicht.
Diese müssen lauten: [mm]\lambda_{2}=\blue{-i}, \ \lambda_{3}=+\blue{i}[/mm]
> Da [mm]RE(\lambda_{i})=0[/mm] folgt daraus, dass ich das System
> nicht eindeutig zuordnen kann?
Für das linearisierte System bedeutet das marginale Stabilität,
falls die algebraische der geometrischen Vielfachheit entspricht.
(Quelle: ![[]](/images/popup.gif) Stabilitätstheorie)
> Ich habe mir auch schon die Umgebung angeschaut, komm dabei
> aber auch nicht wirklich weiter. Wollte hier fragen ob ihr
> mir einen Tip geben könntet welche Punkte ich mir
> anschauen muss. Finde das in der dritten Dimension etwas
> schwieriger.
> Bei der b) genau das selbe.
>
> Danke euch.
> Thomas
Gruss
MathePower
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> Hallo Thomas0086,
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> > [mm]\vektor{x'(t) \\ y'(t) \\ z'(t)} =\vektor{1-x(t)-y(t)+x(t)z(t) \\ 1-y(t)-z(t)+x(t)y(t) \\ 1-z(t)-y(t)+y(t)z(t)}[/mm]
>
> >
> > ist zu betrachten.
> > a) Ist das um (1,1,1) linearisierte System stabil oder
> > instabil?
> > b) Ist der Gleichgewichtspunkt (1,1,1) des
> ursprünglichen
> > Systems stabil oder instabil?
> > Hinweis: Es gibt Lösungen mit x=y=z
> > Hallo zusammen,
> >
> > zu a)
> >
> > ich hab mir [mm]\Delta[/mm] f gebildet mit:
> > [mm]\pmat{ -1+z & -1 & x \\ y & -1+x & -1 \\ 0 & -1+z & -1+y }[/mm]
>
> >
> > mit
> > [mm]\Delta f\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> >
> > Damit komme ich auf EW
> > [mm]\lambda_{1}=0[/mm]
> > [mm]\lambda_{2}=-i\wurzel{2}[/mm]
> > [mm]\lambda_{3}=+i\wurzel{2}[/mm]
> >
>
> Die komplexen Eigewerte stimmen nicht.
>
> Diese müssen lauten: [mm]\lambda_{2}=\blue{-i}, \ \lambda_{3}=+\blue{i}[/mm]
Danke schonmal dafür. Weiß auch nicht wie ich da auf die [mm] \wurzel{2} [/mm] gekommen bin.
>
>
> > Da [mm]RE(\lambda_{i})=0[/mm] folgt daraus, dass ich das System
> > nicht eindeutig zuordnen kann?
>
>
> Für das linearisierte System bedeutet das marginale
> Stabilität,
> falls die algebraische der geometrischen Vielfachheit
> entspricht.
>
> (Quelle:
> Stabilitätstheorie)
>
Da das hier ja der Fall ist, kann man also von einer marginalen Stabilität sprechen.
>
> > Ich habe mir auch schon die Umgebung angeschaut, komm dabei
> > aber auch nicht wirklich weiter. Wollte hier fragen ob ihr
> > mir einen Tip geben könntet welche Punkte ich mir
> > anschauen muss. Finde das in der dritten Dimension etwas
> > schwieriger.
> > Bei der b) genau das selbe.
> >
> > Danke euch.
> > Thomas
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo Thomas0086,
> > Hallo Thomas0086,
> >
> > > [mm]\vektor{x'(t) \\ y'(t) \\ z'(t)} =\vektor{1-x(t)-y(t)+x(t)z(t) \\ 1-y(t)-z(t)+x(t)y(t) \\ 1-z(t)-y(t)+y(t)z(t)}[/mm]
>
> >
> > >
> > > ist zu betrachten.
> > > a) Ist das um (1,1,1) linearisierte System stabil
> oder
> > > instabil?
> > > b) Ist der Gleichgewichtspunkt (1,1,1) des
> > ursprünglichen
> > > Systems stabil oder instabil?
> > > Hinweis: Es gibt Lösungen mit x=y=z
> > > Hallo zusammen,
> > >
> > > zu a)
> > >
> > > ich hab mir [mm]\Delta[/mm] f gebildet mit:
> > > [mm]\pmat{ -1+z & -1 & x \\ y & -1+x & -1 \\ 0 & -1+z & -1+y }[/mm]
>
> >
> > >
> > > mit
> > > [mm]\Delta f\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> >
> > >
> > > Damit komme ich auf EW
> > > [mm]\lambda_{1}=0[/mm]
> > > [mm]\lambda_{2}=-i\wurzel{2}[/mm]
> > > [mm]\lambda_{3}=+i\wurzel{2}[/mm]
> > >
> >
> > Die komplexen Eigewerte stimmen nicht.
> >
> > Diese müssen lauten: [mm]\lambda_{2}=\blue{-i}, \ \lambda_{3}=+\blue{i}[/mm]
>
> Danke schonmal dafür. Weiß auch nicht wie ich da auf die
> [mm]\wurzel{2}[/mm] gekommen bin.
> >
> >
> > > Da [mm]RE(\lambda_{i})=0[/mm] folgt daraus, dass ich das System
> > > nicht eindeutig zuordnen kann?
> >
> >
> > Für das linearisierte System bedeutet das marginale
> > Stabilität,
> > falls die algebraische der geometrischen Vielfachheit
> > entspricht.
> >
> > (Quelle:
> >
> Stabilitätstheorie)
> >
> Da das hier ja der Fall ist, kann man also von einer
> marginalen Stabilität sprechen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> >
> > > Ich habe mir auch schon die Umgebung angeschaut, komm dabei
> > > aber auch nicht wirklich weiter. Wollte hier fragen ob ihr
> > > mir einen Tip geben könntet welche Punkte ich mir
> > > anschauen muss. Finde das in der dritten Dimension etwas
> > > schwieriger.
> > > Bei der b) genau das selbe.
> > >
> > > Danke euch.
> > > Thomas
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> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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