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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Stabilität schaltendes System
Stabilität schaltendes System < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Stabilität schaltendes System: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 22:47 Fr 07.08.2020
Autor: Braed

Ich habe ein schaltendes System und will die asymptotische Stabilität beweisen.
Das System hat die Form [mm] \dot{{x}}(t)={A}_{\sigma}\cdot{x}(t)+{B}_{\sigma}\cdot [/mm] u(t) mit konstanten Koeffizienten und dem Eingangssignal u(t).
Hat jemand eine Idee, wie man am besten vorgehen sollte oder schon eine Lösung zu diesem Problem parat?

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
https://mathforums.com/, https://www.onlinemathe.de/, https://www.mathelounge.de/

        
Bezug
Stabilität schaltendes System: Generelles
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:53 Sa 08.08.2020
Autor: Infinit

Halle Braed,
willkommen hier im Forum.
Die generelle Vorgehensweise kann ich hier gerne mal skizzieren. Wieviel Aufwand das dann in Bezug auf Deine Matrizen ist, kann ich nicht einschätzen.
Die Grundidee ist auf jeden Fall, dass man eine Ruhelage des Systems findet, meist mit [mm] {x_r} [/mm] bezeichnet und eine "passende" Störung auf dieses System gibt. Diese Störung [mm] \delta [/mm] lässt sich allgemein ausdrücken als
[mm] \delta = x (t) - x_r [/mm].
Die Frage ist nun, wie sich dieses [mm] \delta (t) [/mm] im Laufe der Zeit verhält und das lässt sich mithilfe der Jacobi-Matrix bestimmen, die die ersten Ableitungen von [mm] x(t) [/mm] enthält. Damit hat man
[mm] \dot{\delta(t)} = J(x_r) \cdot \delta [/mm]
Anschließend schaut man sich die Eigenwerte der Jacobi-Matrix an. Sind diese negativ, so ist das System asymptotisch stabil.
Viele Grüße,
Infinit

Bezug
                
Bezug
Stabilität schaltendes System: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:18 Sa 08.08.2020
Autor: Braed

Vielen Dank für die Antwort.
Die Vorgehensweise ist mir bekannt. Ich gehe bei meinem Problem davon aus, dass alle Teilsysteme asymptotisch stabil sind. Trotzdem kann durch unpassende Schaltvorgänge das gesamte System ein instabiles Verhalten zeigen. Zudem hängt das Schalten vom Zustand x(t) ab und kann somit nicht genau bestimmt werden.

Bezug
                        
Bezug
Stabilität schaltendes System: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:18 So 09.08.2020
Autor: leduart

Dann solltest du dein "System" hier vorstellen und nicht einfach ein anscheinend bekanntes u hinschreiben? jetzt schreibst du u(t)=u(x(t)9 oder was soll "hängt das Schalten vom Zustand x(t) ab" bedeuten?
ledum

Bezug
                                
Bezug
Stabilität schaltendes System: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:44 So 09.08.2020
Autor: Braed

Ja kann ich machen. Tut mir leid für die wenigen Infos zu Beginn, bin neu hier.

Bei meinem System gehe ich davon aus, dass das Eingangssignal u(t), der Startpunkt x(t=0) und die Matrizen A und B bekannt sind. Diese Matrizen beinhalten konstante Koeffizienten aber sind Abhängigkeit von Schaltzustand [mm] $\sigma$. [/mm] Das bedeutet, je nach [mm] $\sigma$ [/mm] habe ich unterschiedliche Matrizen. Dieses [mm] $\sigma$ [/mm] hängt jedoch vom Eingangszustand, also z.B im Bereich 0 < x < 100 ist [mm] $\sigma [/mm] = 1$ bzw. bei mehreren Dimensionen kann dies z.B. als Numerierung von Feldern/Gebieten etc. betrachtet werden. Zudem sollen alle Teilsysteme asymptotisch stabil sein.

Ich hoffe das ist verständlich. Vielen Dank.

Bezug
                                        
Bezug
Stabilität schaltendes System: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:01 Do 13.08.2020
Autor: Infinit

Hallo Braed,
wenn ich Dich richtig verstehe, so beinhalten die Matrizen konstante Elemente und es gibt eine endliche Anzahl dieser Matrizen, die in Abhängigkeit von einem Signal ausgewählt bzw. geschaltet werden. Jede dieser Matrizen, zwischen denen hin- und hergeschaltet wird, ist asymptotisch stabil. Dabei ist es jedoch nicht ausgechlossen, dass eine bestimmte Kombination von Eingangssignal und Matrix instabil werden könnte. Da ist mir kein Verfahren bekannt, mit dem man eine analytische Aussage über die Stabilität solch eines Schaltvorgangs machen kann. Simulationsläufe geben sicher einen gewissen Eindruck, sind aber kein Beweis.
Viele Grüße,
Infinit

Bezug
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