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Hallo,
für den Zerfall einer radioaktiven Substanz gilt:
[mm] \bruch{dn}{dt}=-\lambda{n}
[/mm]
n=Anzahl der noch vorhandenen Atomkernen zur Zeit t
[mm] \lambda=Zerfallskonstante
[/mm]
Wie lautet das Zerfallsgesetz n=n(t), wenn zur Zeit t=0 genau [mm] n_0 [/mm] Atomkerne vorhanden sind?
Mein Ansatz:
[mm] -\lambda{n} [/mm] ist die Ableitung der gesuchten Funktion...
n ist aber nicht das Argument sondern der Funktionswert...
Hier komme ich mathematisch nicht weiter... Ich weiß nur das es eine Exponentialfunktion mit negativen Exponenten sein muss.
Hat jemand einen Tipp?
LG und besten Dank im Voraus...
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Hallo sonic,
> für den Zerfall einer radioaktiven Substanz gilt:
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> [mm]\bruch{dn}{dt}=-\lambda{n}[/mm]
>
> n=Anzahl der noch vorhandenen Atomkernen zur Zeit t
>
> [mm]\lambda=Zerfallskonstante[/mm]
>
> Wie lautet das Zerfallsgesetz n=n(t), wenn zur Zeit t=0
> genau [mm]n_0[/mm] Atomkerne vorhanden sind?
Das ist eine einfache DGl mit Anfangswert.
> Mein Ansatz:
>
> [mm]-\lambda{n}[/mm] ist die Ableitung der gesuchten Funktion...
>
> n ist aber nicht das Argument sondern der Funktionswert...
>
> Hier komme ich mathematisch nicht weiter... Ich weiß nur
> das es eine Exponentialfunktion mit negativen Exponenten
> sein muss.
>
> Hat jemand einen Tipp?
Ja. Erstmal die allgemeine Lösung bestimmen - das geht hier ganz leicht mit Trennung der Variablen. Dabei erhältst Du eine Integrationskonstante. Die musst Du dann noch so festlegen, dass die Randbedingung erfüllt ist.
> LG und besten Dank im Voraus...
Grüße
reverend
PS: Da Du ja schon weißt, wie die Funktion aussehen muss, kannst Du auch rückwärts vorgehen und zeigen, dass Deine Funktion die Vorgaben erfüllt.
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Hallo,
wie trenne ich die Variable? Ich habe das noch nie gemacht... Kann mir das einer vormachen?
LG und besten Dank im Voraus...
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Hallo nochmal,
[mm] \br{\mathrm{dn}}{\mathrm{dt}}=-\lambda{n}\;\;\gdw\;\;-\br{\mathrm{dn}}{\lambda{n}}=1\mathrm{dt}
[/mm]
Jetzt beide Seiten integrieren:
[mm] \int{-\br{1}{\lambda{n}}\;\mathrm{dn}}=\int{1\;\mathrm{dt}}
[/mm]
...dann umformen (Integrationskonstante(n) nicht vergessen!). Schließlich die Anfangsbedingung einarbeiten.
Probiers mal. Ab hier ist es einfach.
Grüße
rev
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Hallo,
Also:
[mm] -\bruch{1}{\lambda}*ln|n|+c=t+c
[/mm]
Hier lasse ich das c verschwinden indem ich auf beiden Seiten -c rechne... Ist das richtig?
[mm] ln|n|=-t\lambda
[/mm]
[mm] n=e^{-t\lambda}
[/mm]
Dann wird der Anfangswert eingebunden... Aber wie? Gibt es da eine Regel?
LG und besten Dank im Voraus...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:09 So 19.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Hallo,
>
> Also:
>
> [mm]-\bruch{1}{\lambda}*ln|n|+c=t+c[/mm]
> Hier lasse ich das c verschwinden indem ich auf beiden
> Seiten -c rechne... Ist das richtig?
Eigentlich hast du:
[mm] -\bruch{1}{\lambda}*ln|n|+C_1=t+C_2
[/mm]
Diese kannst du dann als $C$ zusammenfassen.
> [mm]ln|n|=-t\lambda[/mm]
>
> [mm]n=e^{-t\lambda}[/mm]
Fast. Siehe oben.
> Dann wird der Anfangswert eingebunden... Aber wie? Gibt es
> da eine Regel?
Es gibt zwei Möglichkeiten.
1. Du rechnest mit deinem $C$ alles durch und verwendest dann deine Bedingung. Erhältst dann deinen $C$-Wert für die Funktion.
2. Du setzt direkt deine Bedingung in die Integrationsgrenzen ein.
> LG und besten Dank im Voraus...
Gruß
DieAcht
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