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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 Di 05.08.2014 | | Autor: | Manu3911 |
| Aufgabe | | [mm]I=\integral sin(x)*\wurzel{1+cos^2x}\, dx[/mm] |
Hallo,
ich hab wieder ein Problem beim Integrieren. Ich habe schon zwei Substitutionsmöglichkeiten versucht und bleib bei beiden hängen. Meine beiden Ansätze waren: [mm] u=1+cos^2x , u=(1+cos^2x)^{1/2} [/mm].
Vielen Dank!
Manu
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Hallo,
> [mm]I=\integral sin(x)*\wurzel{1+cos^2x}\, dx[/mm]
> Hallo,
>
> ich hab wieder ein Problem beim Integrieren. Ich habe schon
> zwei Substitutionsmöglichkeiten versucht und bleib bei
> beiden hängen. Meine beiden Ansätze waren: [mm]u=1+cos^2x , u=(1+cos^2x)^{1/2} [/mm].
>
> Vielen Dank!
> Manu
Das ist kein leichtes Integral.
Habe etwas getüftelt - vllt. geht's einfacher ...
Mein Vorschlag:
Nutze die Beziehung [mm]\cosh^2(z)-\sinh^2(z)=1[/mm] und substituiere mal [mm]\sinh(u):=\cos(x)[/mm], also [mm]u=u(x)=\operatorname{arsinh}(\cos(x))[/mm]
Damit solltest du auf ein Integral der Art [mm]\int{\cosh^2(u) \ du}[/mm] kommen, das du sicher weiter verarzten kannst ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Di 05.08.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Vielen Dank dafür, damit bin ich jetzt eigentlich zur Lösung durchgedrungen:
[mm]-(1/2)*cos(x)*\wurzel{cos(x)+1}+(1/2)*arsinh(cos(x))[/mm]
Ist das korrekt? Ich hab für die Aufgabe leider keine Lösung.
Gruß Manu
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Hallo nochmal,
> Vielen Dank dafür, damit bin ich jetzt eigentlich zur
> Lösung durchgedrungen:
>
> [mm]-(1/2)*cos(x)*\wurzel{cos(x)+1}+(1/2)*arsinh(cos(x))[/mm]
>
> Ist das korrekt?
Ja, sehr gut, aber da ist unter der Wurzel ein Quadrat abhanden gekommen, da müsste [mm]\cos^{\red 2}(x)+1[/mm] stehen ...
Und noch eine Integrationskonstante dazu schreiben - der Vollständigkeit halber ...
> Ich hab für die Aufgabe leider keine
> Lösung.
Das kannst du ja immer bei zB. Wolframalpha online kontrollieren lassen ...
>
> Gruß Manu
Zurück!
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:37 Di 05.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Vielen Dank dafür, damit bin ich jetzt eigentlich zur
> Lösung durchgedrungen:
>
> [mm]-(1/2)*cos(x)*\wurzel{cos(x)+1}+(1/2)*arsinh(cos(x))[/mm]
>
> Ist das korrekt? Ich hab für die Aufgabe leider keine
> Lösung.
Auf das fehlende Quadrat hat dich schachuzipus ja schon aufmerksam gemacht. Außerdem scheint mir da auch das positive Vorzeichen vor dem zweiten Summanden falsch zu sein.
Etwas störend ist noch der area sinus hyperbolicus, der sich ja "nur" durch die Substitution eingeschlichen hat. Hier mag es Sinn machen, die Lösung unter der Verwendung der Beziehung
[mm] $asinh(x)=ln(x+\wurzel{x^2+1})$
[/mm]
umzuschreiben:
[mm] $\integral{sin(x)*\wurzel{cos^2(x)+1}}dx=-\br{1}{2}*\left({cos(x)*\wurzel{cos^2(x)+1}+ln\left({cos(x)+\wurzel{cos^2(x)+1}}\right)}\right)+C$
[/mm]
Mag aber auch nur Geschmackssache sein.
Gruß RMix
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Hallo,
> > Vielen Dank dafür, damit bin ich jetzt eigentlich zur
> > Lösung durchgedrungen:
> >
> > [mm]-(1/2)*cos(x)*\wurzel{cos(x)+1}+(1/2)*arsinh(cos(x))[/mm]
> >
> > Ist das korrekt? Ich hab für die Aufgabe leider keine
> > Lösung.
>
> Auf das fehlende Quadrat hat dich schachuzipus ja schon
> aufmerksam gemacht. Außerdem scheint mir da auch das
> positive Vorzeichen vor dem zweiten Summanden falsch zu
> sein.
Nö, da steht nach der Substitution eine [mm] $\red [/mm] {-1}$ vor dem Integral ...
> Etwas störend
Wieso störend?
> ist noch der area sinus hyperbolicus, der
> sich ja "nur" durch die Substitution eingeschlichen hat.
> Hier mag es Sinn machen, die Lösung unter der Verwendung
> der Beziehung
>
> [mm]asinh(x)=ln(x+\wurzel{x^2+1})[/mm]
>
> umzuschreiben:
>
> [mm]\integral{sin(x)*\wurzel{cos^2(x)+1}}dx=-\br{1}{2}*\left({cos(x)*\wurzel{cos^2(x)+1}+ln\left({cos(x)+\wurzel{cos^2(x)+1}}\right)}\right)+C[/mm]
>
> Mag aber auch nur Geschmackssache sein.
>
> Gruß RMix
LG
schachuzipus
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:00 Di 05.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Hallo,
>
> > > Vielen Dank dafür, damit bin ich jetzt eigentlich zur
> > > Lösung durchgedrungen:
> > >
> > > [mm]-(1/2)*cos(x)*\wurzel{cos(x)+1}+(1/2)*arsinh(cos(x))[/mm]
> > >
> > > Ist das korrekt? Ich hab für die Aufgabe leider
> keine
> > > Lösung.
> >
> > Auf das fehlende Quadrat hat dich schachuzipus ja schon
> > aufmerksam gemacht. Außerdem scheint mir da auch das
> > positive Vorzeichen vor dem zweiten Summanden falsch zu
> > sein.
>
> Nö, da steht nach der Substitution eine [mm]\red {-1}[/mm] vor dem
> Integral ...
Ja eben! Und deshalb müssen beide Summanden negativ sein, nicht nur der erste. Ich habs in meiner Lösung ausgeklammert, da passt es dann, aber in der Lösung vom OP ist das Vorzeichen falsch.
> > Etwas störend
>
> Wieso störend?
Sag ich doch - Geschmackssache 
> > ist noch der area sinus hyperbolicus, der
> > sich ja "nur" durch die Substitution eingeschlichen
> hat.
> > Hier mag es Sinn machen, die Lösung unter der
> Verwendung
> > der Beziehung
> >
> > [mm]asinh(x)=ln(x+\wurzel{x^2+1})[/mm]
> >
> > umzuschreiben:
> >
> >
> [mm]\integral{sin(x)*\wurzel{cos^2(x)+1}}dx=-\br{1}{2}*\left({cos(x)*\wurzel{cos^2(x)+1}+ln\left({cos(x)+\wurzel{cos^2(x)+1}}\right)}\right)+C[/mm]
> >
> > Mag aber auch nur Geschmackssache sein.
> >
> > Gruß RMix
>
> LG
>
> schachuzipus
> >
Gruß RMIx
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Hallo,
habe meinen Patzer gefunden.
Habe in der Rechnung nachher für [mm]\int{\sinh^2(u) \ du}[/mm] das falsche [mm]\int{(\cosh^2(u)+1) \ du}[/mm] eingesetzt.
Es ist aber natürlich [mm]\sinh^2(u)=\cosh^2(u) \ \red - \ 1[/mm] ...
Danke für's Aufpassen!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:51 Mi 06.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Hallo,
>
>
> habe meinen Patzer gefunden.
>
> Habe in der Rechnung nachher für [mm]\int{\sinh^2(u) \ du}[/mm] das
> falsche [mm]\int{(\cosh^2(u)+1) \ du}[/mm] eingesetzt.
>
> Es ist aber natürlich [mm]\sinh^2(u)=\cosh^2(u) \ \red - \ 1[/mm]
Ah ja, da hat Manu3911 vl den gleichen Fehler hemacht oder es war nur ein Tippfehler
Ich finde es ja mithilfe des Additionstheorem einfacher, als es mittels partieller Integration auf eine Gleichung im gesuchten Integral zu führen
[mm] $\int{\cosh^2(u)\ du}=\br{1}{2}*\int{\left({1+\cosh(2u)}\right)\ du}=\br{u}{2}+\br{1}{4}*\sinh(2u)+C=\br{1}{2}*\left({u+\sinh(u)*\cosh(u)}\right)+C$
[/mm]
RMix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 Di 05.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]I=\integral sin(x)*\wurzel{1+cos^2x}\, dx[/mm]
> Hallo,
>
> ich hab wieder ein Problem beim Integrieren. Ich habe schon
> zwei Substitutionsmöglichkeiten versucht und bleib bei
> beiden hängen. Meine beiden Ansätze waren: [mm]u=1+cos^2x ,
ist doch gut
[mm] $\int \frac{-1}{2}u'(x)*(u(x))^{1/2}dx=-\frac{1}{2}*\frac{2}{3}(u(x))^{3/2}=-\frac{1}{3}(u(x))^{3/2}\,,$
[/mm]
Rechne es mit Kettenregel rückwärts nach!
Oder beachte
[mm] $\frac{du}{dx}=u'(x)$ [/mm] liefert [mm] $du=u'(x)\,*dx\,,$
[/mm]
dann
[mm] $\int \frac{-1}{2}u'(x)*(u(x))^{1/2}dx=-\frac{1}{2}\int u^{1/2}du=-\frac{1}{3}u^{3/2}$
[/mm]
und nun [mm] $u=u(x)=1+\cos^2(x)$ [/mm] resubstituieren.
P.S. Also ist das doch relativ einfach.
Gruß,
Marcel
Edit: Blöder Rechenfehler... natürlich ist [mm] $(1+\cos^2(x))'=2\cos(x)*(-\sin(x))$
[/mm]
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 19:44 Di 05.08.2014 | | Autor: | MathePower |
Hallo Marcel,
> Hallo,
>
> > [mm]I=\integral sin(x)*\wurzel{1+cos^2x}\, dx[/mm]
> > Hallo,
> >
> > ich hab wieder ein Problem beim Integrieren. Ich habe schon
> > zwei Substitutionsmöglichkeiten versucht und bleib bei
> > beiden hängen. Meine beiden Ansätze waren: [mm]u=1+cos^2x ,
ist doch gut
[mm]\int \frac{-1}{2}u'(x)*(u(x))^{1/2}dx=-\frac{1}{2}*\frac{2}{3}(u(x))^{3/2}=-\frac{1}{3}(u(x))^{3/2}\,,[/mm]
Rechne es mit Kettenregel rückwärts nach!
Oder beachte
[mm]\frac{du}{dx}=u'(x)[/mm] liefert [mm]du=u'(x)\,*dx\,,[/mm]
dann
[mm]\int \frac{-1}{2}u'(x)*(u(x))^{1/2}dx=-\frac{1}{2}\int u^{1/2}du=-\frac{1}{3}u^{3/2}[/mm]
und nun [mm]u=u(x)=1+\cos^2(x)[/mm] resubstituieren.
P.S. Also ist das doch relativ einfach.
Das ist nur relativ einfach,
wenn [mm]u\left(x\right)=1+\cos\left(x\right)[/mm].
Hier ist aber
[mm]u\left(x\right)=1+\cos^{2}\left(x\right)[/mm]
Demnach
[mm]du=-2*\sin\left(x\right)*\cos\left(x\right) \ dx[/mm]
> Gruß,
> Marcel
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 19:46 Di 05.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> > Hallo,
> >
> > > [mm]I=\integral sin(x)*\wurzel{1+cos^2x}\, dx[/mm]
> > >
> Hallo,
> > >
> > > ich hab wieder ein Problem beim Integrieren. Ich habe schon
> > > zwei Substitutionsmöglichkeiten versucht und bleib bei
> > > beiden hängen. Meine beiden Ansätze waren: [mm]u=1+cos^2x ,
ist doch gut
[mm]\int \frac{-1}{2}u'(x)*(u(x))^{1/2}dx=-\frac{1}{2}*\frac{2}{3}(u(x))^{3/2}=-\frac{1}{3}(u(x))^{3/2}\,,[/mm]
Rechne es mit Kettenregel rückwärts nach!
Oder beachte
[mm]\frac{du}{dx}=u'(x)[/mm] liefert [mm]du=u'(x)\,*dx\,,[/mm]
dann
[mm]\int \frac{-1}{2}u'(x)*(u(x))^{1/2}dx=-\frac{1}{2}\int u^{1/2}du=-\frac{1}{3}u^{3/2}[/mm]
und nun [mm]u=u(x)=1+\cos^2(x)[/mm] resubstituieren.
P.S. Also ist das doch relativ einfach.
> Das ist nur relativ einfach,
> wenn [mm]u\left(x\right)=1+\cos\left(x\right)[/mm].
> Hier ist aber
> [mm]u\left(x\right)=1+\cos^{2}\left(x\right)[/mm]
> Demnach
> [mm]du=-2*\sin\left(x\right)*\cos\left(x\right) \ dx[/mm]
war mir mittlerweile auch aufgefallen. (Ich schau' mal, ob man aber die
Substitution nicht dennoch gebrauchen kann.)
Gruß,
Marcel
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