Stammfunktion < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:55 Do 27.03.2008 | | Autor: | MrFair |
| Aufgabe | Berechnen sie die folgendne Stammfunktionen, indem sie die Berechnung durch geeignete Substitutuon auf die Berechnung von Stammfunktionen ratinaler Funktionen zurückführen:
d) [mm] \integral{\bruch{1}{4*\wurzel{x} + \wurzel{x^3}}} [/mm] |
Hallo,
ich bin grade dabei diese Aufgabe zu rechnen, aber ich komme nicht zum richtigen Ergebnis.
Hier mein Ansatz:
[mm]
\integral{\bruch{1}{4*\wurzel{x} + \wurzel{x^3}} dx} = \integral{\bruch{1}{4*\wurzel{x} + \wurzel{x}*x} dx} = \integral{\bruch{1}{4*\wurzel{x}*(1 + \bruch{x}{4})} dx} [/mm]
Jetzt substituiere ich folgendermaßen:
[mm] y = \wurzel{x} \gdw \bruch{dy}{dx} = \bruch{1}{2*\wurzel{x}} \gdw dx = 2*y*dy[/mm]
Eingesetzt in meine bisherige Rechnung folgt also:
[mm] \integral{\bruch{1}{4*\wurzel{x} + \wurzel{x^3}} dx} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{1}{4*y*(1+ \bruch{y^2}{4})}*2*y dy}[/mm]
[/mm]
Durch Kürzen erhalte ich dann:
[mm]
\integral{\bruch{1}{4*y*(1+ \bruch{y^2}{4})}*2*y dy} = \bruch{1}{2}*\integral{\bruch{1}{1+\bruch{y^2}{4}}dy} = \bruch{1}{2}*\integral{\bruch{1}{1+(\bruch{y}{2})^2}dy}[/mm]
Jetzt dachte ich mir, da ja folgendes gilt:
[mm]\integral{\bruch{1}{1+x^2} dx } = arctan(x)[/mm]
müsste also auch folgendes gelten:
[mm]\bruch{1}{2}*\integral{\bruch{1}{1+(\bruch{y}{2})^2}dy} = 1/2 * arctan(\bruch{y}{2}) = 1/2 * arctan(\bruch{\wurzel{x}}{2})[/mm]
Das ist aber leider wohl nicht das richtige Ergebnis. Es scheint wohl [mm]arctan(\bruch{\wurzel{x}}{2})[/mm] das Ergebnis zu sein, zumindest sag das mein Taschenrechner (TI Voyage) und der lag da bisher immer richtig.
Könnt ihr mir sagen, wo mein Fehler liegt?
Eine weitere, für mich naheliegende Frage:
Und wieso ist [mm]arctan(\wurzel{x})[/mm] abgeleitet [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{x}*(x+1)} [/mm] und nicht [mm]\bruch{1}{1+(\wurzel{x})^2} =\bruch{1}{1+x}[/mm] (was dann ja das selbe wäre, wie die Ableitung von ln(x) ).
Das will mir gerade nicht so richtig in den Kopf.
Ich wäre für jede Hilfe sehr dankbar.
/Edit: Diese Frage könnt ihr vergessen .. hab nicht an die Quotientenregel gedacht. Das kommt davon, wenn man zu so später Stunde noch Mathematik machen will :)
|
|
| |
|
Hi,
> Berechnen sie die folgendne Stammfunktionen, indem sie die
> Berechnung durch geeignete Substitutuon auf die Berechnung
> von Stammfunktionen ratinaler Funktionen zurückführen:
>
> d) [mm]\integral{\bruch{1}{4*\wurzel{x} + \wurzel{x^3}}}[/mm]
>
> Hallo,
> ich bin grade dabei diese Aufgabe zu rechnen, aber ich
> komme nicht zum richtigen Ergebnis.
>
> Hier mein Ansatz:
> [mm]
\integral{\bruch{1}{4*\wurzel{x} + \wurzel{x^3}} dx} = \integral{\bruch{1}{4*\wurzel{x} + \wurzel{x}*x} dx} = \integral{\bruch{1}{4*\wurzel{x}*(1 + \bruch{x}{4})} dx}[/mm]
>
> Jetzt substituiere ich folgendermaßen:
> [mm]y = \wurzel{x} \gdw \bruch{dy}{dx} = \bruch{1}{2*\wurzel{x}} \gdw dx = 2*y*dy[/mm]
>
> Eingesetzt in meine bisherige Rechnung folgt also:
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{4*\wurzel{x} + \wurzel{x^3}} dx}[/mm] =
> [mm]\integral{\bruch{1}{4*y*(1+ \bruch{y^2}{4})}*2*y dy}[/mm][/mm]
> Durch
> Kürzen erhalte ich dann:
> [mm]
\integral{\bruch{1}{4*y*(1+ \bruch{y^2}{4})}*2*y dy} = \bruch{1}{2}*\integral{\bruch{1}{1+\bruch{y^2}{4}}dy} = \bruch{1}{2}*\integral{\bruch{1}{1+(\bruch{y}{2})^2}dy}[/mm]
>
> Jetzt dachte ich mir, da ja folgendes gilt:
> [mm]\integral{\bruch{1}{1+x^2} dx } = arctan(x)[/mm]
> müsste also
> auch folgendes gelten:
> [mm]\bruch{1}{2}*\integral{\bruch{1}{1+(\bruch{y}{2})^2}dy} = 1/2 * arctan(\bruch{y}{2}) = 1/2 * arctan(\bruch{\wurzel{x}}{2})[/mm]
nein, die 1/2 musst du weglassen (substitution!). wenn du den arctan-term ableitest, entsteht doch die 1/2 aus der inneren ableitung.
>
gruss
matthias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Do 27.03.2008 | | Autor: | MrFair |
Hm, das verstehe ich grade nicht ganz.
Nach der Substitution habe ich ja folgenden Term:
[mm] \integral{\bruch{1}{4\cdot{}y\cdot{}(1+ \bruch{y^2}{4})}\cdot{}2\cdot{}y dy}
[/mm]
Da kürzst sich jetzt das y im Zähler mit dem y im Nenner und die 2 mit der 4. Somit habe ich:
[mm] \integral{\bruch{1}{4\cdot{}y\cdot{}(1+ \bruch{y^2}{4})}\cdot{}2\cdot{}y dy} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{1}{2\cdot{}(1+ \bruch{y^2}{4})}\cdot{}y dy}
[/mm]
Wieso solle ich jetzt die 2 aufgrund der Substitution fallen lassen? Kannst du mir das genauer erklären? Die "Rückrichtung" (also Ableitung per Kettenregel) ist mir klar und beim ableiten von meinem Ergebnis kommt auch offensichtlich das falsche raus, dass habe ich mittlerweile nachgerechnet.
Aber ich versteh leider nicht, wieso ich jetzt die 2 im Nenner einfach wegfallen lassen soll und nicht als [mm] \bruch{1}{2} [/mm] vor das Integral ziehen kann.
Es gilt wohl auch folgendes:[mm]
\integral{\bruch{1}{1+\bruch{y}{2}^2}} = 2*arctan(\bruch{y}{2})[/mm]
Aber wo kommt den da auf einmal die 2 vor dem Arkustanges her? Warum sie beim Ableiten dann wegfällt ist ja klar (durch die innere Ableitung) - aber mit was kann ich mir erklären, dass hier beim Integrieren eine 2 vorne dran muss (ohne den Umweg über die Ableitung des Ergebnisses zu gehen)?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 Do 27.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du kennst nur die Stammfkt von [mm] \bruch{1}{1+x^2}
[/mm]
nicht die von [mm] \bruch{1}{1+y^2/4}
[/mm]
also siehst du entweder direkt dass davon die Stammfkt 2*arctan(y/2)ist (indem du nach Kettenregel ableitest, oder du substituierst: x=y/2 dx=dy/2 dy=2*dx.
(wenn du [mm] x^2 [/mm] integrierst zu [mm] x^3/3 [/mm] dann doch nicht [mm] (y/2)^2 [/mm] zu [mm] (1/3*(y/2)^3)
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:16 Do 27.03.2008 | | Autor: | MrFair |
Ah, jetzt fällt es mir wie Schuppen von den Augen. Vielen Dank! Da hatte ich wohl einen kleinen Aussetzer.
Danke a euch beide für die Hilfe!
|
|
|
|
