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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:02 Mo 20.06.2005 | | Autor: | Arkus |
P.S Ich hab diese Frage nirgendwo anders gestellt!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 Mo 20.06.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Arkus!
Mit partieller Integration bin ich hier auch nicht zu Ziel gekommen!
Aber nach einer kurzen Umformung (Klammer ausmultiplizieren) können wir hier das Verfahren der Substitution anwenden.
Kennst bzw. kannst Du das schon?
[mm] $\integral_{}^{}{-\frac {6}{x} *\left[1-\ln(3x) \right] \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{}^{}{-\frac {6}{x} +\frac {6}{x}\ln(3x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] -6*\integral_{}^{}{\frac{dx}{x}} [/mm] \ + \ [mm] 6*\integral_{}^{}{\bruch{\ln(3x)}{x} \ dx}$
[/mm]
Das erste Integral ist ja machbar, oder?
Für das zweite Integral führen wir nun eine Substitution durch ...
Mit folgender Substitution solltest Du nun zum Ziel kommen:
$t \ := \ [mm] \ln(3x)$ $\Rightarrow$ [/mm] $t' \ = \ [mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3x}*3 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x}$ $\gdw$ [/mm] $dx \ = \ x*dt$
Kommst Du nun alleine weiter?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:17 Mo 20.06.2005 | | Autor: | Arkus |
Hallo und Danke für deine Antwort,
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> Kennst bzw. kannst Du das schon?
>
Ja, aber wir haben immer nur den Nenner substituiert, aber nie den Zähler und selbst da hab ich das nie völlig kapiert, hab auch leider in der Stunde gefehlt :-(
Also ich kann dir bis zum letzten Term folgen:
$ dx \ = \ [mm] x\cdot{}dt [/mm] $
Aber wie ich jetzt weiterverfahren soll, weiß ich leider nicht. Sorry...
Muss ich jetzt die Gleichung mit x multiplizieren? hmm wahrscheinlich nicht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:27 Mo 20.06.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Arkus!
Wir betrachten ja gerade nunmehr folgendes Integral:
[mm] $\integral_{}^{}{\bruch{\red{\ln(3x)}}{x} \ \blue{dx}}$
[/mm]
Nun setze doch einfach mal unsere beiden Terme (Substitution und Umstellung) in dieses Integral ein und versuche zu kürzen.
[mm] $\red{t} [/mm] \ = \ [mm] \red{\ln(3x)}$
[/mm]
[mm] $\blue{dx} [/mm] \ = \ [mm] \blue{x * dt}$
[/mm]
Was bleibt über? Kannst Du dieses Integral nun lösen?
Nach der Integration muß man natürlich wieder re-substituieren, d.h. für jedes [mm] $\red{t}$ [/mm] setzen wir dann wieder [mm] $\red{\ln(3x)}$ [/mm] ein.
Nun ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") ??
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Mo 20.06.2005 | | Autor: | Arkus |
Also wenn ich die Terme einsetze erhalte ich doch
[mm]\int \frac {t}{x} \cdot xdt[/mm]
bleibt übrig
[mm]\int tdt[/mm]
integriert
[mm]\frac {1}{2} t^2[/mm]
eingesetzt
[mm]\frac {1}{2} \left (ln(3x) \right)^2[/mm]
Ist das jetzt richtig so????
Naja wenn ich dass per Kettenregel differenziere kommt ja wieder:
[mm]\frac{ln(3x)}{x}[/mm]
raus 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:11 Mo 20.06.2005 | | Autor: | Arkus |
Hast natürlich Recht, aber es war ja bloß der Teil eines größeren Terms bzw der Stammfunktion....und es mußte schnell gehen
Die komplette Stammfunktion lautet nun:
[mm]F(x)=-6 \cdot ln(x) + 3 \cdot \left (ln(3x) \right)^2 + C[/mm]
War aber bloß der Teil einer Flächenberechnung:
[mm]\int_{\frac{e}{3}}^{10} {-\frac{6}{x} \cdot \left (1-ln(3x) \right) dx}[/mm]
A ist damit $ [mm] \approx [/mm] 17,29$ FE und das stimmt auch, also Danke nochmal für deine tolle Hilfe!
Gruß Arkus
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Hi, Alexander,
Oh, wie lieb' ich es, wenn ich selbst zu Loddars Antwort noch was "Senfiges" dazugeben kann!
Also: Loddar hat natürlich Recht, dass Du hier mit Substitution arbeiten musst. Aber ein bissl schöner geht's noch, wenn Du folgendermaßen umrechnest:
[mm] \integral{(-\bruch{6}{x}*(1-ln(3x))dx} [/mm]
= [mm] -6*\integral{\bruch{1}{x}dx} [/mm] + [mm] 6*\integral{\bruch{1}{x}*ln(3x)dx}
[/mm]
= -6*ln(x) + [mm] 6*ln(3)*\integral{\bruch{1}{x}dx}+6*\integral{\bruch{1}{x}ln(x)dx}
[/mm]
= -6*ln(x) +6*ln(3)*ln(x) [mm] +6*\integral{\bruch{1}{x}ln(x)dx}
[/mm]
Naja: Und das letzte Integral löst Du nun - wie von Loddar bereits anderweitig durchgezogen - mit Substitution, hier: z=ln(x).
Genial, oder?!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Mo 20.06.2005 | | Autor: | Arkus |
Hallo und Danke für deine Antwort,
nur verstehe ich nicht wie aus dem
$ln(3x)$
ein
$ln(x)$ und ein $ln(3)$ wird bzw. wie du den 2. Summanden in der 2. Zeile umrechnest.
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Hallo,
> [mm]ln(3x)[/mm]
>
> ein
>
> [mm]ln(x)[/mm] und ein [mm]ln(3)[/mm] wird bzw. wie du den 2. Summanden in
> der 2. Zeile umrechnest.
es gilt [mm]\ln(a\*b) \;=\;\ln(a)\;+\;\ln(b)[/mm]
Das ist eines der Logarithmen-Gesetze.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:47 Mo 20.06.2005 | | Autor: | Arkus |
Ohh man ich Idiot hab doch voll ein Brett vorm Kopf....:.)
Ich hatte das Logarithmusgesetz die ganze Zeit vor meinen geistigen Auge, habs aber nicht erkannt, weil es dieses mal anders rum verwendet wurde.
Aber trotzdem Danke für deinen Hinweis
Gruß Arkus
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Fast perfekt!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
So muß es ja auch sein ...
