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Die Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist ln(x). Das ist mir bekannt.
Die Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] ist dann 2ln(x)?
Wie ist dann die Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{x^2+1} [/mm] ln(?)
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Hallo Thomyatberlin,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Die Stammfunktion von [mm]\bruch{1}{x}[/mm] ist ln(x). Das ist mir
> bekannt.
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> Die Stammfunktion von [mm]\bruch{1}{x^2}[/mm] ist dann 2ln(x)?
Nein, wie das integriert wird, siehe Integration einer Potenzfunktion.
>
> Wie ist dann die Stammfunktion von [mm]\bruch{1}{x^2+1}[/mm] ln(?)
Nein.
Hier bedarf es einer Substitution, um auf die Stammfunktion zu kommen.
Gruss
MathePower
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Verstehe also ist [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] deren Stammfunktion [mm] \bruch{-1}{x}
[/mm]
Und bei [mm] \bruch{1}{1+x^2} [/mm] müsste ich dann z(x)=x-1
[mm] \bruch{1}{z^2} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{z(x)} [/mm] ?!
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Hallo Thomyatberlin,
> Verstehe also ist [mm]\bruch{1}{x^2}[/mm] deren Stammfunktion
> [mm]\bruch{-1}{x}[/mm]
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> Und bei [mm]\bruch{1}{1+x^2}[/mm] müsste ich dann z(x)=x-1
>
> [mm]\bruch{1}{z^2}[/mm] = [mm]\bruch{-1}{z(x)}[/mm] ?!
Leider nein.
Betrachte das Integral
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+x^{2}} \ dx}[/mm]
Hier wird [mm]x=\tan\left(u\right)[/mm] substituiert,
dann ist [mm]dx=\left( \ \tan\left(u\right)\ \right) ' \ du[/mm]
Somit gestaltet sich der Integrand einfacher.
Gruss
MathePower
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einfach die Stammfunktion von tan(x) bilden? Oder die Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{1+tan(x)}?
[/mm]
Von tan(x) die Stammfunktion wäre dann -ln cos x, aber halt du schreibst dort tan(x)' und das ist die Ableitung von tan und dieser wiederum ist [mm] tan(x)'=1+tan^2(x)
[/mm]
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Hallo Thomyatberlin,
> einfach die Stammfunktion von tan(x) bilden? Oder die
> Stammfunktion von [mm]\bruch{1}{1+tan(x)}?[/mm]
>
> Von tan(x) die Stammfunktion wäre dann -ln cos x, aber
> halt du schreibst dort tan(x)' und das ist die Ableitung
> von tan und dieser wiederum ist [mm]tan(x)'=1+tan^2(x)[/mm]
Somit hast Du:
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+x^{2}} \ dx}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+\tan^{2}\left(u\right)}*\left(1+tan^2(u)\right) \ du}[/mm]
Und das rechte Integral ist jetzt sehr einfach zu bestimmen.
Gruss
MathePower
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sprich [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{1+x^{2}} \ dx}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+\tan^{2}\left(u\right)}\cdot{}\left(1+tan^2(u)\right) \ du}
[/mm]
rechtes [mm] Integral=\bruch{1}{tan(u)^{2}}*tan(u)=\bruch{1}{tan(u)}
[/mm]
und das linke Integral: ?
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Hallo Thomyatberlin,
> sprich [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+x^{2}} \ dx}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+\tan^{2}\left(u\right)}\cdot{}\left(1+tan^2(u)\right) \ du}[/mm]
>
> rechtes
> [mm]Integral=\bruch{1}{tan(u)^{2}}*tan(u)=\bruch{1}{tan(u)}[/mm]
Im rechten Integral kürzen sich doch Zähler und Nenner des Integranden.
>
> und das linke Integral: ?
ist gesucht.
Gruss
MathePower
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ach du sch**** bin ich blind das natürlich [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{1+x^{2}} \ dx}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+\tan^{2}\left(u\right)}\cdot{}\left(1+tan^2(u)\right) \ du} =\integral_{}^{}{\bruch{1}{1}} [/mm] = 1 und 1 zu integrieren ist sehr einfach das ist nämlich x
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Hallo Thomyatberlin,
> ach du sch**** bin ich blind das natürlich
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+x^{2}} \ dx}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+\tan^{2}\left(u\right)}\cdot{}\left(1+tan^2(u)\right) \ du} =\integral_{}^{}{\bruch{1}{1}}[/mm]
> = 1 und 1 zu integrieren ist sehr einfach das ist nämlich
> x
Das ist zunächst u+c, weil die Integrationsvariable u heisst.
Da [mm]u=\arctan\left(x\right)[/mm] folgt:
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+x^{2}} \ dx}=\arctan\left(x\right)+c, \ c \in \IR[/mm]
Gruss
MathePower
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[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{1+x^{2}} \ dx}=\arctan\left(x\right)+c, [/mm] \ c [mm] \in \IR [/mm] ist mir verständlich, aber was ist denn wenn das Integral so aussieht: [mm] \integral_{}^{}{\bruch{5-2x}{1+x^{2}} \ dx}
[/mm]
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Hallo Thomyatberlin,
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+x^{2}} \ dx}=\arctan\left(x\right)+c,[/mm]
> \ c [mm]\in \IR[/mm] ist mir verständlich, aber was ist denn wenn
> das Integral so aussieht:
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{5-2x}{1+x^{2}} \ dx}[/mm]
Dann teilst Du das Integral erstmal auf:
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{5-2x}{1+x^{2}} \ dx}=\integral_{}^{}{\bruch{5}{1+x^{2}} \ dx}
-\integral_{}^{}{\bruch{2x}{1+x^{2}} \ dx}[/mm]
Ersteres Integral ist Dir inzwischen bekannt,
das zweite Integral läßt sich mit der Substitution [mm]u=1+x^{2}[/mm] lösen.
Gruss
MathePower
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[mm] \integral_{}^{}{\bruch{5-2x}{1+x^{2}} \ dx}=\integral_{}^{}{\bruch{5}{1+x^{2}} \ dx} -\integral_{}^{}{\bruch{2x}{1+x^{2}} \ dx} [/mm] dann ist das erste [mm] \integral_{}^{}{\bruch{5}{1+x^{2}} \ dx}=5*arctan\left(x\right)+c [/mm] aber ich verstehe jetzt nicht wieso du schreibst [mm] u=1+x^2 [/mm] beim ersten Integral hatten wir gesagt x=tan(u) also ist jetzt [mm] x=\wurzel{u-1}?
[/mm]
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Hallo,
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{5-2x}{1+x^{2}} \ dx}=\integral_{}^{}{\bruch{5}{1+x^{2}} \ dx} -\integral_{}^{}{\bruch{2x}{1+x^{2}} \ dx}[/mm]
> dann ist das erste [mm]\integral_{}^{}{\bruch{5}{1+x^{2}} \ dx}=5*arctan\left(x\right)+c[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> aber ich verstehe jetzt nicht wieso du schreibst [mm]u=1+x^2[/mm]
> beim ersten Integral hatten wir gesagt x=tan(u) also ist
> jetzt [mm]x=\wurzel{u-1}?[/mm]
Hier hat doch der Integrand eine andere Form als im ersten Bsp.
Die Ableitung des Nenners steht im Zähler.
Daher die Substitution [mm] $u=1+x^2$
[/mm]
Dann ist nämlich [mm] $\frac{du}{dx}=2x$, [/mm] also [mm] $dx=\frac{1}{2x} [/mm] \ du$
Damit kürzt sich das 2x weg ...
Bekannt sind die Integrale [mm] $\int{\frac{f'(x)}{f(x)} \ dx}$ [/mm] als logarithmische Integrale.
Zu lösen sind sie über die Substitution $u=f(x)$
Kannst ja mal allg. nachrechnen, welche Stammfunktion sich ergibt
Gruß
schachuzipus
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[mm] \integral_{}^{}{\bruch{5-2x}{1+x^{2}} \ dx}=\integral_{}^{}{\bruch{5}{1+x^{2}} \ dx} -\integral_{}^{}{\bruch{2x}{1+x^{2}} \ dx}= 5\cdot{}arctan\left(x\right)+c [/mm] - [mm] 1\cdot{}arctan\left(x\right)+c [/mm] = [mm] 4\cdot{}arctan\left(x\right)
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:17 Mo 25.04.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thomyatberlin!
Die Stammfuntion des zweiten teilintegrales stimmt nicht. Das ergibt keinen [mm]\arctan[/mm] .
Beachte, dass hier im Zähler die Ableitung des Nenners steht. Substituiere also: [mm]u \ := \ 1+x^2[/mm] .
Gruß
Loddar
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hm... dann verstehe ich nicht richtig...
also ich erweitere das Intgral [mm] mit\bruch{du}{dx} [/mm] dann stelle ich es nach dx um und 2x kürzt sich raus. Aber was mache ich denn jetzt mit [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{1+x^2} du} [/mm] also jetzt habe ich einmal das integral von dx - du wie soll ich das lösen?!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:41 Mo 25.04.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Du kannst doch beide Integrale separt für sich behandeln und ermitteln.
Gruß
Loddar
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Ich verstehe nicht was du mir damit sagen willst?!
den ersten konnte ich integrieren den zweiten scheinbar nicht...
Und ich verstehe halt nicht was ich durch das substuieren erreiche?! mit [mm] u=1+x^2
[/mm]
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> Ich verstehe nicht was du mir damit sagen willst?!
>
> den ersten konnte ich integrieren den zweiten scheinbar
> nicht...
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> Und ich verstehe halt nicht was ich durch das substuieren
> erreiche?! mit [mm]u=1+x^2[/mm]
es ging um das 2. integral [mm] \int\frac{2x}{x^2+1}
[/mm]
mit der substitution: [mm] x^2+1=u [/mm] ergibt sich auch 2xdx=du
und somit erhält man [mm] \int\frac{2x}{u}*\frac{du}{2x}=\int\frac{1}{u}du
[/mm]
das kannst du ja nun integrieren und rücksubstituieren
gruß tee
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achso also [mm] ln(1+x^2)? [/mm] Aber ich stelle fest das war alles umsonst, weil ich am anfang ein Fehler gemacht habe den ihr nicht sehen konntet :( Nochmals vielen dank an euch
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Hallo Thomy,
> achso also [mm]ln(1+x^2)?[/mm]
Ja.
> Aber ich stelle fest das war alles
> umsonst, weil ich am anfang ein Fehler gemacht habe den ihr
> nicht sehen konntet :(
Tja, manchmal ist es besser, alle Karten auf den Tisch zu legen.
> Nochmals vielen dank an euch
Solange Du dabei etwas verstanden hast, dass Dich weiterbringt, darf ich bestimmt für alle anderen Beteiligten sagen: gerne.
Zwei grundlegende Tipps aber noch, einen zur Nutzung des Forums an sich und einen zur Substitution:
1) Je mehr Du die bisherige Diskussion nachvollziehbar zusammenfasst, umso eher können weitere Helferlein einsteigen. Das war in diesem Thread oft nicht so.
2) Wenn Du ein ungemütliches [mm] \int{f(x)\ dx} [/mm] hast und irgendwie mit einem u substituierst, so dass eine der Ableitungen [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] oder 500m + [mm] \bruch{dx}{du} [/mm] handhabbar wird, dann willst Du am Ende ein Integral [mm] \int{g(u)\ du} [/mm] haben, das keinerlei x mehr enthält.
Die Substitution ist aber nur dann gelungen, wenn Dein Integral in der neuen Gestalt besser lösbar ist. Wann (und ob!) man das findet, hängt manchmal von ein bisschen Geschick ab, das sich aber im Lauf der Jahre oft ganz gut entwickelt.
Grüße
reverend
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