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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 Fr 22.08.2008 | | Autor: | just_me |
| Aufgabe | Überprüfen Sie, ob F eine Stammfunktion von f ist.
[mm]f(x)=\sin x * \cos x [/mm]
[mm]F(x)=(\sin x)^2[/mm] |
Huhu.
Also, bei oben genannter Aufgabe habe ich erstmal F(x) abgeleitet. Das ergab dann
[mm]f(x)=2*\sin x * \cos x [/mm].
Jetzt suche ich die richtige Stammfunktion. Mein Taschenrechner sagt
[mm]F(x)=\bruch{(\sin x)^2}{2} + \bruch{1}{2}[/mm]
Schriftlich bin ich erst hier angelangt:
[mm]f(x)=\sin x * \cos x[/mm]
[mm]F(x)= -\cos x * \sin x + \sin x * \sin x[/mm]
[mm]F(x)=- \cos x * \sin x + (\sin x)^2[/mm]
Ich hab das Gefühl mir fehlen irgendwelche Gesetze... Hat jemand eine Idee, woran's liegt?
Danke!
just_me
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:18 Fr 22.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo just_me!
Du kennst die Stammfunktion doch schon fast. Es fehlt lediglich der Faktor [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] .
Aber wie bist Du denn vorgegangen? Das scheint partielle Integration zu sein ...
Schneller bist Du m.E. mit der Substitution $z \ := \ [mm] \sin(x)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Fr 22.08.2008 | | Autor: | Blech |
> Stammfunktion. Mein Taschenrechner sagt
> [mm]F(x)=\bruch{(\sin x)^2}{2} + \bruch{1}{2}[/mm]
>
> Schriftlich bin ich erst hier angelangt:
> [mm]f(x)=\sin x * \cos x[/mm]
> [mm]F(x)= -\cos x * \sin x + \sin x * \sin x[/mm]
>
> [mm]F(x)=- \cos x * \sin x + (\sin x)^2[/mm]
Ich denke Du wolltest hier partielle Integration machen, bist aber ziemlich schlampig zu Werke gegangen =)
[mm] $\int \underbrace{\sin x}_{=:v(x)}\cdot\underbrace{ \cos x}_{=:u'(x)}\ [/mm] dx= [mm] \sin [/mm] x [mm] \cdot \sin [/mm] x - [mm] \int \sin [/mm] x [mm] \cos [/mm] x\ dx$
jetzt addierst Du auf beiden Seiten [mm] $\int \sin [/mm] x [mm] \cos [/mm] x\ dx$ und teilst dann durch 2.
So kommst Du auf [mm] $\int \sin [/mm] x [mm] \cos [/mm] x\ dx = [mm] \frac{\sin^2 x}{2}$.
[/mm]
Keine Ahnung, warum Dein Taschenrechner da die Konstante dazuschlägt, aber die Konstante ist ja beliebig.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Fr 22.08.2008 | | Autor: | just_me |
Eigentlich hab ich noch nicht so wirklich eine Ahnung davon, was ich gerade mache.
Das Problem ist, dass die Ableitungen in der 11 gänzlich an mir vorbeigegangen sind. Das was ich mache, entnehme ich also nebenbei den Regeln, aber da geht auch immer wieder mal etwas schief.
Stammfunktionen haben wir gerade erst angesprochen, also dacht ich mir, kann man doch sicher die Ableitungsregeln auch auf die Berechnung der Stammfunktionen übertragen...
Deshalb habe ich da die Produktregel angewandt - ob das partielles integrieren ist, weiß ich nicht.
Stefan, wie kommst du in deiner Rechnung zwei Mal auf ein [mm]\sin x[/mm]?
Und woher kommt das hier:
[mm]- \int \sin x \cos x\ dx[/mm]?
Loddar, das mit der Substitution habe ich auch nicht so ganz verstanden...
LG,
just_me
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Hallo just_me,
> Eigentlich hab ich noch nicht so wirklich eine Ahnung
> davon, was ich gerade mache.
> Das Problem ist, dass die Ableitungen in der 11 gänzlich
> an mir vorbeigegangen sind. Das was ich mache, entnehme ich
> also nebenbei den Regeln, aber da geht auch immer wieder
> mal etwas schief.
> Stammfunktionen haben wir gerade erst angesprochen, also
> dacht ich mir, kann man doch sicher die Ableitungsregeln
> auch auf die Berechnung der Stammfunktionen übertragen...
>
> Deshalb habe ich da die Produktregel angewandt - ob das
> partielles integrieren ist, weiß ich nicht.
>
> Stefan, wie kommst du in deiner Rechnung zwei Mal auf ein
> [mm]\sin x[/mm]?
> Und woher kommt das hier:
>
> [mm]- \int \sin x \cos x\ dx[/mm]?
>
> Loddar, das mit der Substitution habe ich auch nicht so
> ganz verstanden...
Antworten darauf findest Du hier: Integrationsregel
>
> LG,
> just_me
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 Fr 22.08.2008 | | Autor: | Blech |
> Deshalb habe ich da die Produktregel angewandt - ob das
> partielles integrieren ist, weiß ich nicht.
Dann nehme ich alles zurück. Die Grundidee war nämlich goldrichtig =)
ciao
Stefan
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> Überprüfen Sie, ob F eine Stammfunktion von f ist.
> [mm]f(x)=\sin x * \cos x[/mm]
> [mm]F(x)=(\sin x)^2[/mm]
> Also, bei oben genannter Aufgabe habe ich erstmal F(x)
> abgeleitet. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
F'(x)=2*sin(x)*cos(x)
Dies stimmt offensichtlich nicht für alle x mit f(x)
überein. Also ist klar: F ist keine Stammfunktion von f.
Fertig. Die gestellte Aufgabe ist damit gelöst.
> Jetzt suche ich die richtige
> Stammfunktion.
Das war zwar nicht gefragt, aber bitte, wenn du das zusätzlich
noch willst, liegt die Antwort auch auf der Hand: es müsste
[mm] F(x)=\bruch{1}{2}*(sin(x))^2
[/mm]
sein, da nur der konstante Faktor 2 vorher gestört hat.
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