Stammfunktion bilden < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:35 Do 10.05.2007 | | Autor: | torben99 |
| Aufgabe | | d²s/dt² = a + b * (ds/dt)² |
Hab leider überhaupt keinen Ansatz, wie ich hier die Stammfunktion bilden soll. Kann mir jemand dabei helfen?
Danke
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Mit [mm]u = \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}[/mm] geht die Differentialgleichung in eine mit getrennten Veränderlichen über:
[mm]\frac{\mathrm{d}u}{a+bu^2} = \mathrm{d}t[/mm]
Bei der Integration links sind jetzt verschiedene Fälle für die Parameter [mm]a,b[/mm] zu beachten. Eine weitere Integration liefert dann
[mm]s = \int~u~\mathrm{d}t[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Do 10.05.2007 | | Autor: | torben99 |
Leider versteh ich nicht ganz was du meinst.
Die gestellte Aufgabe soll einmal nach s und einmal nach t integriert werden.
Kannst du mir das nochmal genau erklären?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:23 Do 10.05.2007 | | Autor: | wauwau |
also die diffgleichung heißt ja
[mm]u'' = a+bu'^{2}[/mm]
v=u'
[mm] v'=a+bv^2 [/mm] (1)
die Fälle a=0 oder b=0 sind straight forward zu rechnen
a=0 [mm] u=-\bruch{1}{b}ln(C-bx)+D [/mm] mit beliebigen Konst. C,D
b=0 [mm] u=ax^2+Cx+D [/mm] mit beliebigen Konst. C,D
sei nun a,b ungleich 0
[mm]\bruch{v'}{a+bv^2}=1 [/mm] beide Seiten integriert
[mm]\bruch{1}{\wurzel{ab}}arctan(\wurzel{\bruch{b}{a}}v) = t + C[/mm]
oder aber
[mm]arctan(\wurzel{\bruch{b}{a}}v) = \wurzel{ab}*t + D[/mm]
[mm]\wurzel{\bruch{b}{a}}v = tan(\wurzel{ab}*t + D)[/mm]
[mm]v= u' =\wurzel{\bruch{a}{b}}tan(\wurzel{ab}*t + D)[/mm]
wiederum beide Seiten integriert
[mm]u = - \wurzel{\bruch{a}{b}}*\bruch{1}{\wurzel{ab}}ln(cos(\wurzel{ab}*t + D))+ E =[/mm]
[mm]-\bruch{1}{b}*ln(cos(\wurzel{ab}*t + D)) + E [/mm]
mit bel. Konst. D, E
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Und was ist, wenn [mm]a,b[/mm] verschiedene Vorzeichen besitzen?
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