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| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{}{f(5^{x}+(sinx)^{-2}) dx} [/mm] |
Hallo,
ich brauche Hilfe um hier die Stammfunktion zu bilden
Bei dem [mm] 5^{x} [/mm] habe ich schon gesehen, dass daraus [mm] e^{x ln 5} [/mm] wird und die Stammfunktion anschließend zu [mm] \bruch{e^{x ln 5}}{ln 5} [/mm] gebildet wird.
Die zweite Hälfte wird nachher zu -cot(x), aber wie passiert das? Kann mir das jemand freundlicherweise step-by-step erläutern?
Gruß und Danke
Bastian
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Hallo Bastian,
kleiner Tippfehler?
> [mm]\integral_{}^{}{f(5^{x}+(sinx)^{-2}) dx}[/mm]
Das f ist hier hoffentlich überflüssig, ansonsten wäre über die Aufgabe auch nicht viel zu sagen.
> Hallo,
>
> ich brauche Hilfe um hier die Stammfunktion zu bilden
>
> Bei dem [mm]5^{x}[/mm] habe ich schon gesehen, dass daraus [mm]e^{x ln 5}[/mm]
> wird und die Stammfunktion anschließend zu [mm]\bruch{e^{x ln 5}}{ln 5}[/mm]
> gebildet wird.
Ja, genau. Du zerlegst das Integral einfach in zwei. Dies ist der erste Teil. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die zweite Hälfte wird nachher zu -cot(x), aber wie
> passiert das? Kann mir das jemand freundlicherweise
> step-by-step erläutern?
Das ist eins der Integrale, an dem man sich ziemlich die Zähne ausbeißen kann, obwohl es eigentlich ganz einfach ist. Es empfiehlt sich, solche Stammfunktionen auswendig zu lernen, sonst kann man in Klausuren ziemlich aufgeschmissen sein, weil man den folgenden "Trick" dann eben gerade nicht findet.
[mm] \integral{\bruch{1}{\sin^2{x}}\ dx}=\integral{\bruch{\sin^2{x}+\cos^2{x}}{\sin^2{x}}\ dx}=\integral{1+\bruch{\cos{x}}{\sin^2{x}}*\cos{x}\ dx}=\integral{1\ dx}+\integral{\bruch{\cos{x}}{\sin^2{x}}*\cos{x}\ dx}
[/mm]
Das rechte Integral kann man ziemlich einfach per partieller Integration lösen, wenn man im linken Bruch die Struktur [mm] \bruch{f'(x)}{(f(x))^2} [/mm] erkennt und damit fast schon die Ableitung von [mm] \bruch{1}{f(x)}.
[/mm]
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:04 Mi 20.06.2012 | | Autor: | v6bastian |
Hallo reverend,
danke für deine Erläuterung. Ich gehöre offensichtlich zu den Personen die selbst mit Anleitung das ganze nicht nachvollziehen können :( Werde deinen Ratschlag befolgen und die Sachen auswendig lernen.
Das f in dem Integral stammt aus Eingabehilfe. Hab da nur das x mit der Funktion ersetz. Sorry.
Danke & Gruß
Bastian
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:13 Mi 20.06.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> danke für deine Erläuterung. Ich gehöre offensichtlich
> zu den Personen die selbst mit Anleitung das ganze nicht
> nachvollziehen können :( Werde deinen Ratschlag befolgen
> und die Sachen auswendig lernen.
Hattet Ihr denn partielle Integration? Damit ist es doch dann leicht machbar. Vorher habe ich doch nur den "trigonometrischen Pythagoras" angewandt und damit die 1 im Zähler ersetzt, ab da ist es ein bisschen Bruchrechnung und "Umschreiben".
Ich konnte damals übrigens nicht mehr auswendig als die Ableitung von [mm] \tan{x}. [/mm] Das reichte für solche Fälle eigentlich aus, damit irgendwo ein Glöckchen klingelte, wenn irgendwo [mm] \bruch{1}{\sin^2{x}} [/mm] oder [mm] \bruch{1}{\cos^2{x}} [/mm] zu integrieren war.
> Das f in dem Integral stammt aus Eingabehilfe. Hab da nur
> das x mit der Funktion ersetz. Sorry.
Schon gut. 
Dann erstmal viel Erfolg mit den Integrationen. Das gilt nicht umsonst als hohe Kunst; oft muss man erst einmal auf irgendeinen Kniff kommen, z.B. eine geschickte Substitution.
Grüße
reverend
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