Stammfunktion finden < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 Mo 24.08.2009 | | Autor: | eldorado |
| Aufgabe | Geben Sie die Stammfunktionen an von:
[mm] f(x)=\bruch{1}{(x^2+1)^2} [/mm] |
Hallo!
Ich probier jetzt schon seit einer kleinen Ewigkeit diese Stammfunktion zu finden.
Die Lösung ist [mm] \bruch{1}{2}(\bruch{x}{1 + x^{2}} [/mm] + [mm] tan^{-1}(x)) [/mm] + C
Hab partiell integriert und versucht zu substituieren [mm] (t:=x^{2} [/mm] , [mm] t:=x^{2}+1) [/mm] aber ich komm nicht auf das Ergebniss.
Könnte mir bitte jemand einen Tipp geben?
Danke!
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Hallo eldorado,
> Geben Sie die Stammfunktionen an von:
>
> [mm]f(x)=\bruch{1}{(x^2+1)^2}[/mm]
> Hallo!
> Ich probier jetzt schon seit einer kleinen Ewigkeit diese
> Stammfunktion zu finden.
>
> Die Lösung ist [mm]\bruch{1}{2}(\bruch{x}{1 + x^{2}}[/mm] +
> [mm]tan^{-1}(x))[/mm] + C
>
> Hab partiell integriert und versucht zu substituieren
> [mm](t:=x^{2}[/mm] , [mm]t:=x^{2}+1)[/mm] aber ich komm nicht auf das
> Ergebniss.
>
> Könnte mir bitte jemand einen Tipp geben?
Substituiere hier [mm]x=\tan\left(u\right)[/mm].
> Danke!
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:06 Mo 24.08.2009 | | Autor: | eldorado |
hat geklappt, danke1
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 So 20.09.2009 | | Autor: | a_la_fin |
Also ich hab die Aufgabe auch gelöst, aber ich habe leider eine andere (?) Lösung heraus, nämlich : [mm] \bruch{1}{2} \arctan(x) [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} \arctan^{2}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\arctan(x) (1+\bruch{1}{2}sin^{2}(\arctan(x))).
[/mm]
und zwar sieht mein Lösungsweg dazu so aus:
[mm] \sec(\alpha) [/mm] = [mm] \wurzel{x^{2}+1} \Rightarrow \bruch{1}{(x^{2}+1)^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{sec^{4}(\alpha)}
[/mm]
[mm] \tan(\alpha) [/mm] = x (I)
[mm] \Rightarrow \bruch{dx}{d\alpha}= \sec^{2}(\alpha) \Rightarrow [/mm] dx= [mm] \sec^{2}(\alpha)*d\alpha
[/mm]
[mm] \Rightarrow \integral{\bruch{1}{(x^{2}+1)^{2}}dx} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{1}{\sec^{4}(\alpha)}*sec^{2}(\alpha)d\alpha} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{1}{\sec^{2}(\alpha)}d\alpha} [/mm] = [mm] \integral{\cos^{2}(\alpha)d\alpha} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\integral{1+\cos(2\alpha)d\alpha} [/mm] = = [mm] \bruch{1}{2}(\alpha+\bruch{1}{2}\sin^{2}(\alpha)) [/mm]
Jetzt für [mm] \alpha [/mm] wieder [mm] \arctan(x) [/mm] einsetzen, da (siehe (I)) [mm] \tan(\alpha)=x \Rightarrow \alpha [/mm] = [mm] \arctan(x):
[/mm]
... = [mm] \bruch{1}{2}(\arctan(x)+\bruch{1}{2}(\sin^{2}(\arctan(x)).
[/mm]
Jetz wusste ich leider nicht, wie man das [mm] sin^{2}(\arctan(x))) [/mm] auflöst...? Könnte es vllt. doch sein dass es das gleiche Ergbnis ist? Falls nicht: WO liegt der Fehler...? Wäre dankbar für ne Hilfe 
lG
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> Also ich hab die Aufgabe auch gelöst, aber ich habe leider
> eine andere (?) Lösung heraus, nämlich : [mm]\bruch{1}{2} \arctan(x)[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{4} \arctan^{2}(x)[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}\arctan(x) (1+\bruch{1}{2}sin^{2}(\arctan(x))).[/mm]
>
> und zwar sieht mein Lösungsweg dazu so aus:
> [mm]\sec(\alpha)[/mm] = [mm]\wurzel{x^{2}+1} \Rightarrow \bruch{1}{(x^{2}+1)^{2}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{sec^{4}(\alpha)}[/mm]
> [mm]\tan(\alpha)[/mm] = x (I)
> [mm]\Rightarrow \bruch{dx}{d\alpha}= \sec^{2}(\alpha) \Rightarrow[/mm]
> dx= [mm]\sec^{2}(\alpha)*d\alpha[/mm]
> [mm]\Rightarrow \integral{\bruch{1}{(x^{2}+1)^{2}}dx}[/mm] =
> [mm]\integral{\bruch{1}{\sec^{4}(\alpha)}*sec^{2}(\alpha)d\alpha}[/mm]
> = [mm]\integral{\bruch{1}{\sec^{2}(\alpha)}d\alpha}[/mm] =
> [mm]\integral{\cos^{2}(\alpha)d\alpha}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}\integral{1+\cos(2\alpha)d\alpha}[/mm] = =
> [mm]\bruch{1}{2}(\alpha+\bruch{1}{2}\sin^{2}(\alpha))[/mm]
> Jetzt für [mm]\alpha[/mm] wieder [mm]\arctan(x)[/mm] einsetzen, da (siehe
> (I)) [mm]\tan(\alpha)=x \Rightarrow \alpha[/mm] = [mm]\arctan(x):[/mm]
> ... =
> [mm]\bruch{1}{2}(\arctan(x)+\bruch{1}{2}(\sin^{2}(\arctan(x)).[/mm]
>
> Jetz wusste ich leider nicht, wie man das
> [mm]sin^{2}(\arctan(x)))[/mm] auflöst...? Könnte es vllt. doch
> sein dass es das gleiche Ergbnis ist? Falls nicht: WO liegt
> der Fehler...? Wäre dankbar für ne Hilfe
[mm] sin(arctan(x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
[/mm]
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> lG
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