Stammfunktion finden < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \int (c^2+z^2)^{-\bruch{3}{2}} [/mm] dz |
Guten Abend,
wie kommt man auf die Stammfunktion zu dem obigen Integral?
Es sollte [mm] \bruch{z}{c^2 \wurzel{c^2 + z^2}} [/mm] rauskommen.
Substitution funktioniert hier nicht, auch partiell krieg ich das nicht integriert.
Danke
Gruß helicopter
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Hallo helicopter,
> [mm]\int (c^2+z^2)^{-\bruch{3}{2}}[/mm] dz
> Guten Abend,
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> wie kommt man auf die Stammfunktion zu dem obigen
> Integral?
> Es sollte [mm]\bruch{z}{c^2 \wurzel{c^2 + z^2}}[/mm] rauskommen.
> Substitution funktioniert hier nicht, auch partiell krieg
> ich das nicht integriert.
>
Dann poste Deine bisherigen Rechenschritte.
Die Stammfunktion bekommt man durch die Substitution [mm]z=c*\sinh\left(u\right)[/mm]
> Danke
>
> Gruß helicopter
Gruss
MathePower
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Hallo, ich hab probiert [mm] z^2 [/mm] = u zu substituieren, das bringt nicht viel.
Partielle Integration hatte ich [mm] (c^2 [/mm] + [mm] z^2)^{-1} *(c^2 [/mm] + [mm] z^2)^{-1/2} [/mm] probiert, beides ohne Erfolg. Wie kommt man denn auf deine Substitution, das wird Erfahrung sein oder?
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Hallo helicopter,
> Hallo, ich hab probiert [mm]z^2[/mm] = u zu substituieren, das
> bringt nicht viel.
Man hätte auch noch [mm] u=(c^2+z^2)^{-1/2} [/mm] versuchen können. Das sieht auch irgendwie naheliegend aus.
> Partielle Integration hatte ich [mm](c^2[/mm] + [mm]z^2)^{-1} *(c^2[/mm] +
> [mm]z^2)^{-1/2}[/mm] probiert, beides ohne Erfolg. Wie kommt man
> denn auf deine Substitution, das wird Erfahrung sein oder?
Erfahrung hilft erheblich. Wenn man die (noch) nicht hat, helfen auch Tabellen von Stammfunktionen, oder natürlich WolframAlpha - und wenn man zur Kontrolle sogar schon die Lösung hat, dann kann man die ja auch ableiten und sehen, ob man die Zwischenschritte der Rechnung vielleicht auch in umgekehrter Richtung gefunden hätte, wenn man denn nur drauf gekommen wäre.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 Fr 21.12.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hallo, ich hab probiert [mm]z^2[/mm] = u zu substituieren, das
> bringt nicht viel.
> Partielle Integration hatte ich [mm](c^2[/mm] + [mm]z^2)^{-1} *(c^2[/mm] +
> [mm]z^2)^{-1/2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
probiert, beides ohne Erfolg. Wie kommt man
> denn auf deine Substitution, das wird Erfahrung sein oder?
Hallo helicopter,
um die Lernkurve etwas steiler zu gestalten, helfen die Rezepte in Königsberger, Analysis I, Kapitel 11, insbesondere 11.6 "Integration elementarer Funktionen".
Demzufolge substituiert man so: (Ich habe c=1 gesetzt)
$\int \frac {1} {\left(\sqrt {1 + t^2}\right)^3}{\mathrm d}t$ $t=\sinh u,\; {\,\mathrm d}t = \cosh u {\,\mathrm d}u$
$=\int \frac {\cosh u}{\cosh^3 u} {\,\mathrm d}u = \int \frac 1 {\cosh^2 u}{\,\mathrm d}u = \int \frac 4\left(e^u+e^{-u}\right)^2}{\,\mathrm d} u$ $s=e^u, \;{\mathrm d}u = \frac {{\mathrm d}s} s$
$=\int \frac {4} {(s+1/s)^2} * \frac 1 s {\,\mathrm d}s =\int \frac {4s} {\left(s^2 + 1}\right)^2} {\,\mathrm d}s $
Nach Anleitung käme jetzt Partialbruchzerlegung, aber schneller geht's wohl mit der Substitution $r=s^2,\; {\,\mathrm d} r = 2 s {\,\mathrm d} s$
$=\int \frac 2 {\left( r + 1\right)^2} {\,\mathrm d}r$
$= -\frac 2 {r+1}=-\frac 2 {s^2+1}=-\frac 2 {e^{2u}+1} =-\frac 2 {\left(\sqrt{1+t^2}+t\right)^2+1}=-\frac 1 {t^2+t\sqrt{1+t^2}}$
Dies ist vielleicht nicht der kürzeste Weg, und diese Stammfunktion sieht auch ein bißchen anders aus als die vorgegebene, aber so geht's auch.
Gruß,
Wolfgang
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