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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 Do 25.02.2010 | | Autor: | Auron |
| Aufgabe | [mm] f(x)=\bruch{3x^{2}-5x}{3x-9}
[/mm]
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die im 1. Quadranten vom Graphen von f und der x-Achse eingeschlossen wird. |
Hallo,
die Nullstellen der Funktion sind 0 und [mm] \bruch{5}{3}. [/mm] Ich habe also das Integral wie folgt aufgestellt:
[mm] \integral_{0}^{\bruch{5}{3}}{\bruch{3x^{2}-5x}{3x-9} dx}
[/mm]
Beim Aufstellen der Stammfunktion habe ich Substitution versucht, jedoch ohne sinnvolles Ergebnis. Eine Produktintegration hat mich ebenfalls nur zu immer neuen Produkten geführt.
Mit Hilfe des Internets kann ich zwar eine Lösung berechnen
![[]](/images/popup.gif) Wolfram Mathematica
lassen, jedoch ist der Lösungsweg mir nicht nachvollziehbar.
Ich bitte euch daher um eine Benennung der anzuwendenden Integrationsregel/methode und einer schrittweisen Lösung oder einem nachvollziehbaren Ansatz.
Vielen Dank für eure Hilfe!
Auron
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:21 Do 25.02.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Auron!
Da der Zählergrad mindestesns so groß ist wie der Nennergrad, musst Du zunächst eine  Polynomdivision durchführen.
Damit erhältst Du dann einen ganzrationalen Term sowie einen (echt) gebrochenrationalen Term, welche dann beide separat integriert werden können.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:51 Do 25.02.2010 | | Autor: | Auron |
Hallo Loddar,
ersteinmal vielen Dank! Manchmal braucht es wirklich nur einen kleinen Anstoß, den mir mein Buch leider nicht liefern konnte.
Für alle die gerne nochmal nachrechnen wollen, hier meine komplette Lösung:
[mm] f(x)=\bruch{3x^{2}-5x}{3x-9}
[/mm]
Nach Durchführung der Polynomdivison erhält man:
[mm] x+\bruch{4}{3}+\bruch{12}{3x-9} [/mm] (Das hintere ist der Restterm)
Man integriert also jetzt beide Terme
[mm] \integral_{0}^{\bruch{5}{3}}{x+\bruch{4}{3} dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{\bruch{5}{3}}{x+\bruch{12}{3x-9} dx} [/mm]
und erhält
[mm] [\bruch{1}{2}x^{2}+\bruch{4}{3}x [/mm] + 4ln(|3x-9|)]
Setzt man nun die Grenzen ein und rechnet aus erhält man
[mm] A\approx0,3674
[/mm]
Dank und Gruß
Auron
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