Stammfunktion im Komplexen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 Di 30.10.2012 | | Autor: | blubblub |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Funktion f: [mm] \IC \to \IC [/mm] z [mm] \mapsto \overline{z} [/mm] keine Stammfunktion besitzt (weder lokal
noch global). |
Hallo zusammen,
ich bräuchte Hilfe bei der Aufgabe
um zu zeigen, dass etwas im Komplexen keine Stammfunktion besitzt muss man zeigen, dass das Kurvenintegral für jeden geschlossenen Weg ungleich Null ist.
Für den Definitionsbereich des Weges würde ich das Interval [0, [mm] 2\pi] [/mm] nehmen und [mm] re^{it} [/mm] mit r als Radius
Also habe ich folgendes
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{f( \overline{re^{it}})(-rie^{-it}) dt}
[/mm]
ist das bis jetzt richtig so??
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:50 Di 30.10.2012 | | Autor: | blubblub |
hab gerade gesehen dass das f bei dem integral falsch ist ...
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Hattet ihr noch nicht, daß holomorphe Funktionen beliebig oft differenzierbar sind? Oder scheinbar etwas weniger: Daß die Ableitung einer holomorphen Funktion wieder holomorph ist?
Wenn also [mm]f[/mm] (lokal) eine Stammfunktion [mm]F[/mm] besäße, mithin [mm]F[/mm] holomorph wäre, ...
Und wenn du irgendetwas integrieren willst (natürlich über einen korrekten Integranden), würden sich achsenparallele Rechteckwege bei der geometrisch so leicht verständlichen Abbildung [mm]z \mapsto \bar{z}[/mm] vielleicht eher anbieten. Ist nur so ein Gedanke ...
Und was ist übrigens die Negation von "für alle"?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Di 30.10.2012 | | Autor: | blubblub |
Hallo,
danke für die schnelle Antwort
zu Holomorphie und Stammfunktion haben wir dies: F ist eine Stammfunktion von f, wenn F holomorph ist und F'=f erfüllt.
lokale Stammfunktion: zu jedem punkt a [mm] \in [/mm] U eine Umgebung V von a gibt, sodass f eingeschränkt auf V eine Stammfunkunktion ist
Die Aussage:
die Ableitung einer holomorphen Funktion wieder holomorph ist konnten wir mal für eine Übungsaufgabe verwenden haben sie jedoch nicht bewiesen aus diesem Grund dürfen wir denke ich mal hier nicht verwenden
> Und wenn du irgendetwas integrieren willst (natürlich
> über einen korrekten Integranden), würden sich
> achsenparallele Rechteckwege bei der geometrisch so leicht
> verständlichen Abbildung [mm]z \mapsto \bar{z}[/mm] vielleicht eher
> anbieten. Ist nur so ein Gedanke ...
was meinst du damit genau bezüglich meiner Aufgabe
Danke
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Dann mach das mit dem Integralkriterium. Es geht wohl auch mit Kreisen gut zu rechnen.
Da du zeigen sollst, daß auch lokal keine Stammfunktion existiert, und zwar "in keiner Ecke" der Gaußschen Ebene, mußt du beliebige Kreise nehmen:
[mm]\kappa: \ \ z = a + r \operatorname{e}^{\operatorname{i}t} \, , \ 0 \leq t \leq 2 \pi[/mm]
Hier ist [mm]a \in \mathbb{C}[/mm] der Mittelpunkt und [mm]r>0[/mm] der Radius des Kreises. Jetzt berechne
[mm]\int_{\kappa} \bar{z} ~ \mathrm{d}z[/mm]
Man kann den Wert konkret angeben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Di 30.10.2012 | | Autor: | blubblub |
Ok danke schon mal
also ich habe follgenden wert raus [mm] r^{2}(2 \pi) [/mm]
wenn es falsch ist kann ich auch die rechnung hochladen
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Ich habe [mm]2 \pi \operatorname{i} r^2[/mm]. Am besten rechnen wir beide noch einmal nach.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:56 Mi 31.10.2012 | | Autor: | blubblub |
Hallo Leopold_Gast
du hast recht... ich habe das i aus dem integral rausgezogen und -iwann vergessen
also habe ich 2 [mm] \pi \operatorname{i} r^2 [/mm]
und nun??
Es ist ja ungleich Null folgt schon daraus dass dies nicht existiert??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Do 01.11.2012 | | Autor: | blubblub |
woran sehe ich jetzt eigentlich ob es lokal oder global keine Stammfunktion existiert
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Nehmen wir an, [mm]f[/mm] hätte irgendwo lokal eine Stammfunktion. Man kann sich dafür eine offene Kreisscheibe [mm]U[/mm] denken. Dann müßten die Integrale über in [mm]U[/mm] liegende Kreise verschwinden. Aber wir zeigten doch, daß kein Integral über einen Kreis verschwindet, denn [mm]2 \pi \operatorname{i} r^2 \neq 0[/mm] für [mm]r>0[/mm]. (Deswegen war es wichtig, daß der Mittelpunkt [mm]a[/mm] des Kreises beliebig war. Nirgendwo gibt es Kreise, deren Integrale verschwinden.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:26 Do 01.11.2012 | | Autor: | blubblub |
Super danke für deine Hilfe 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:25 Mi 31.10.2012 | | Autor: | fred97 |
Weitere Möglichkeit:
Mit z=x+iy (x,y [mm] \in \IR) [/mm] ist f(z)=x-iy.
Angenommen, f besitzt eine Stammfunktion F = U+iV (mit U=Re(F) und
V=Im(F))
Wegen [mm] F'=U_x+iV_x [/mm] =f=x-iy, folgt:
[mm] U_x=x [/mm] und [mm] V_x=-y.
[/mm]
Bringt man nun noch die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen ins Spiel, so bekommt man rasch einen Widerspruch
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:12 Mi 31.10.2012 | | Autor: | blubblub |
danke für den tipp ich werde auch dies mal durchrechnen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Mi 31.10.2012 | | Autor: | blubblub |
> Mit z=x+iy (x,y [mm]\in \IR)[/mm] ist f(z)=x-iy.
> Wegen [mm]F'=U_x+iV_x[/mm] =f=x-iy, folgt:
>
> [mm]U_x=x[/mm] und [mm]V_x=-y.[/mm]
>
> Bringt man nun noch die Cauchy-Riemannschen
> Differentialgleichungen ins Spiel:
Also nach CRD gilt ja [mm]U_x=x[/mm]= [mm] V_y [/mm] und [mm]V_x=-U_y = -(-y).[/mm]
und wir hätten [mm] F'=U_y+iV_y=y+ix
[/mm]
und da F'_x =-iF'_y gilt gilt auch -i(y+ix)aber das ist ja kein wiederspruch
Danke für deine Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Do 01.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo blubblub,
> > Mit z=x+iy (x,y [mm]\in \IR)[/mm] ist f(z)=x-iy.
>
> > Wegen [mm]F'=U_x+iV_x[/mm] =f=x-iy, folgt:
> >
> > [mm]U_x=x[/mm] und [mm]V_x=-y.[/mm]
So ganz klar ist mir nicht, wie FRED auf diese Beziehung kommt.
Ich erhalte [mm] $U_x=1, U_y=0, V_x [/mm] = 0, [mm] V_y= [/mm] -1$ und damit den Widerspruch [mm] $U_x\ne V_y$ [/mm] zu den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen.
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:41 Do 01.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Wenn F=U+iV eine stammfunktion von f(z)=x-iy ist, so ist
F'=f.
Wegen [mm] F'=U_x+iV_x [/mm] =x-iy, folgt [mm] U_x=x [/mm] und [mm] V_x=-y
[/mm]
FRED
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Und wie bekommt man jetzt hieraus den gesuchten Widerspruch? Irgendwie, scheint mir, muß man schließlich doch [mm]F[/mm] bestimmen, will man das Ganze ad absurdum führen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:18 Do 01.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Aus $ [mm] U_x=x [/mm] $ und $ [mm] V_x=-y [/mm] $ folgt:
[mm] U=\bruch{x^2}{2}+f(y) [/mm] und V=-xy+g(y) mit differenzierbaren Funktionen f und g.
Berechne hieraus [mm] U_y [/mm] und [mm] V_y [/mm] und nutze die Cauchy-Riemannschen Dglen.
FRED
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So dachte ich mir das auch. Man kann den Widerspruch erst mit [mm]F = U + \operatorname{i} V[/mm] realisieren, wenn man [mm]U,V[/mm] bereits berechnet hat.
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