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Schönen guten Abend euch allen!
Das Semester fängt wieder an und meine Klausur in AnalysisII steht vor der Tür...
Der Prof hat eine Musterklausur ins Netz gestellt und paar Aufgaben sind mir nicht ganz "klar".
1.
[mm] \integral_{}^{} {ln(4-x^{2}) dx}
[/mm]
2.
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{32}{x^{4}-16} dx}
[/mm]
Man kann sagen, dass das so die 2 Stammfunktionentypen sind die mir echt die Klausur versauen können.
Stammfunktionen die man mit der partiellen Integration berechnen kann sind für mich eigentlich gar kein Problem, hab da einige Aufgaben erfolgreich gerechnet...
Also zu 1 meine "Gedanken"...
Ich weiß dass die Stammfunktion von ln(x) lautet: x*ln(x)-x
Aber wie geht man mit den Ausdrücken in der Klammer um?
Zu 2:
Wenn ich mir die Stammfunktion ansehe dann überlege ich mir zuerst (da Aufgaben mit partiellen Integration) meine "Lieblingsaufgaben" sind, ob ich nicht zuerst folgendes machen soll
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{32}{x^{4}-16} dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{} {32*\bruch{1}{x^{4}-16} dx}
[/mm]
Sicher muss ich den Bruch erst mal mit der Partialbruchzerlegung lösen.
Wie funktioniert das?
[mm] x^{4} [/mm] sagt mir dass es 4 Nullstellen gibt. Spontan bekomm ich nur -2 und 2.
Würde mich über Hilfe sehr freuen!!!
Vielen Dank und gute Nacht euch noch!
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Hallo Prinzessin83,
> 1.
> [mm]\integral_{}^{} {ln(4-x^{2}) dx}[/mm]
>
> 2.
> [mm]\integral_{}^{} {\bruch{32}{x^{4}-16} dx}[/mm]
>
> Man kann sagen, dass das so die 2 Stammfunktionentypen sind
> die mir echt die Klausur versauen können.
>
> Stammfunktionen die man mit der partiellen Integration
> berechnen kann sind für mich eigentlich gar kein Problem,
> hab da einige Aufgaben erfolgreich gerechnet...
>
> Also zu 1 meine "Gedanken"...
> Ich weiß dass die Stammfunktion von ln(x) lautet:
> x*ln(x)-x
> Aber wie geht man mit den Ausdrücken in der Klammer um?
Zerlege hier den Integranden gemäß Logarithmusgesetz.
>
> Zu 2:
>
> Wenn ich mir die Stammfunktion ansehe dann überlege ich mir
> zuerst (da Aufgaben mit partiellen Integration) meine
> "Lieblingsaufgaben" sind, ob ich nicht zuerst folgendes
> machen soll
>
> [mm]\integral_{}^{} {\bruch{32}{x^{4}-16} dx}[/mm] = [mm]\integral_{}^{} {32*\bruch{1}{x^{4}-16} dx}[/mm]
>
> Sicher muss ich den Bruch erst mal mit der
> Partialbruchzerlegung lösen.
> Wie funktioniert das?
> [mm]x^{4}[/mm] sagt mir dass es 4 Nullstellen gibt. Spontan bekomm
> ich nur -2 und 2.
Das ist richtig. Die anderen 2 Nullstellen sind komplex.
Zerlege den Integranden in Partialbrüche:
[mm]\frac{{32}}
{{x^4 \; - \;16}}\; = \;\frac{A}
{{x\; + \;2}}\; + \;\frac{B}
{{x\; - \;2}}\; + \;\frac{{C\;x\; + \;D}}
{{x^2 \; + \;4}}[/mm]
Ermittle sodann die Koeffienten A, B, C, D. Danach geht es ans Integrieren.
Gruß
MathePower
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Also, zu der Partialbruchzerlegung. Ich denke, der Hinweis Lineares Gleichungssystem ist hier noch angebracht. Das Integrieren der Partialbrüche ist dann relativ simple, solang die Brüche nicht so ausgefallen sind, also z.B.:
[mm] \integral {\bruch{1}{x-2} dx}=ln(x-2)+C
[/mm]
usw...
Zu den Logarithmengesetzen. Es gibt doch kein Logarithmengesetz, das eine Differenz als Logarithmand auswertet. Das bedarf einer Erklärung für meine Begriffe.
VG mathmetzsch
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Hallo mathmetzsch!
> Zu den Logarithmengesetzen. Es gibt doch kein
> Logarithmengesetz, das eine Differenz als Logarithmand
> auswertet. Das bedarf einer Erklärung für meine Begriffe.
Da hast du Recht. Aber Du kannst das Argument ja gemäß 3. binomischer Formel als Produkt darstellen:
[mm] $4-x^2 [/mm] \ = \ (2+x)*(2-x)$
Gruß vom
Roadrunner
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Zuerst danke dir!! Und den anderen für die Tipps.
Zu Aufgabe 1:
Danke für den Link, aber ich sehe da leider nichts wo es mir jetzt hilft.
Zu 2:
Auf die Teilbrüche mit A und B wäre ich gekommen, aber den mit [mm] \bruch{Cx+D}{x^{2}+4} [/mm] wahrscheinlich gar nicht.
Für mich ist das echt verwirrend mit dem Cx+D...
Ich habe aber jetzt mal weiter gemacht...
Zuerst auf den Hauptnenner erweitert
[mm] \bruch{32}{x^{4}-16}=\bruch{A(x^{3}-2x^{2}+4x-8)+B(x^{3}+2x^{2}+4x+8)+(x^{2}-4)(Cx+D)}{x^{4}-16}
[/mm]
Jetzt mit dem Hauptnenner durchmultipliziert
[mm] 32=A(x^{3}-2x^{2}+4x-8)+B(x^{3}+2x^{2}+4x+8)+(x^{2}-4)(Cx+D)
[/mm]
[mm] =A(x^{3}-2x^{2}+4x-8)+B(x^{3}+2x^{2}+4x+8)+C(x^{3}-4x)+D(x^{2}-4)
[/mm]
Jetzt habe ich
(1) A+B+C=0
(2) -2A+2B+D=0
(3) 4A+4B-4C=0
(4) -8A+8B-4D=32
-4*(1)+(3)
-->
(3) -8C=0
C=0
-4*(2)+(4)
-->
(4) -8D=32
D=-4
2*(1)+(2)
(2) 4B+2C+D=0
=4B+0-4=0
B=1
Und wenn ich B,C,D in (1) einsetze bekomme ich A=-1
Dann lautet meine PBZ:
[mm] \bruch{32}{x^{4}-16}=\bruch{-1}{x+2}+\bruch{1}{x-2}+\bruch{-4}{x^{2}+4}
[/mm]
Wenn ich nun integriere habe ich
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{-1}{x+2}+\bruch{1}{x-2}+\bruch{-4}{x^{2}+4} dx}
[/mm]
= [mm] -ln(x+2)+ln(x-2)-2*arctan(\bruch{1}{2}*x)
[/mm]
Das mit arctan habe ich nur mit Hilfe von einem Programm rausbekommen, weil ich diese Umformung nicht kenne...
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Hallo Prinzessin!
> Zu Aufgabe 1:
>
> Danke für den Link, aber ich sehe da leider nichts wo es
> mir jetzt hilft.
Hast Du Dir auch mal meine Antwort [mm] ($\leftarrow$ [i]click it![/i]) mit dem Tipp der 3. binomischen Formel durchgelesen?
Damit wird doch: $\ln\left(4-x^2\right) \ = \ \ln\left[(2+x)*(2-x)\right] \ = \ \ln(2+x) + \ln(2-x)$
Gruß vom
Roadrunner
[/mm]
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Hi,
ich habe den Zusammenhang nicht verstanden, deshalb wusste ich nicht so recht.
Aber als ich mir den Link von Mathepower angeschaut habe und jetzt nochmal deins habe ich es hoffe ich verstanden.
Ich kann dann ja berechnen...
[mm] \integral_{}^{} [/mm] {ln(2+x) dx}+ [mm] \integral_{}^{} [/mm] {ln(2-x) dx}
[mm] \integral_{}^{} [/mm] {ln(2+x) dx}=(2+x)*ln(2+x)-2-x
[mm] \integral_{}^{} [/mm] {ln(2-x) dx}=(2-x)*ln(2-x)-2+x
Zusammengefasst
(2-x)*ln(2-x)+(2+x)*ln(2+x)-4
Richtig so?
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Hallo Prinzessin83,
> Hi,
>
> ich habe den Zusammenhang nicht verstanden, deshalb wusste
> ich nicht so recht.
> Aber als ich mir den Link von Mathepower angeschaut habe
> und jetzt nochmal deins habe ich es hoffe ich verstanden.
>
> Ich kann dann ja berechnen...
>
> [mm]\integral_{}^{}[/mm] {ln(2+x) dx}+ [mm]\integral_{}^{}[/mm] {ln(2-x) dx}
>
> [mm]\integral_{}^{}[/mm] {ln(2+x) dx}=(2+x)*ln(2+x)-2-x
> [mm]\integral_{}^{}[/mm] {ln(2-x) dx}=(2-x)*ln(2-x)-2+x
>
> Zusammengefasst
> (2-x)*ln(2-x)+(2+x)*ln(2+x)-4
>
> Richtig so?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
MathePower
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> Nach meiner Rechnung gibt das
>
> (x-2)*ln(2-x)+2-x
>
> Rechne das bitte nochmals nach, im Zweifelsfalle gehst du
> mittels Substitutionsmethode vor!
>
Ups ja...
Aber muss es nicht dann heissen
-(x-2)*ln(2-x)+2-x ???
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Hallo Prinzessin!
> Aber muss es nicht dann heissen
> -(x-2)*ln(2-x)+2-x ???
Es muss heißen:
$F(x) \ = \ [mm] -(\red{2-x})*\ln(2-x) [/mm] + 2 - x$
Und wenn man das Minuszeichen in die Klammer multipliziert, erhältst Du auch Paul's Ergebnis ...
Gruß vom
Roadrunner
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Danke, jetzt versteh ich es. Ich dachte man muss das - lassen, weil (2-x) mit ln...multipliert wird.
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Hallo Prinzessin!
> Zu 2:
>
> Auf die Teilbrüche mit A und B wäre ich gekommen, aber den
> mit [mm]\bruch{Cx+D}{x^{2}+4}[/mm] wahrscheinlich gar nicht.
>
> Für mich ist das echt verwirrend mit dem Cx+D...
Du musst im Zähler halt mit der Potenz beginnen, die genau um 1 geringer ist als die höchste Potenz im Nenner!
> Dann lautet meine PBZ:
>
> [mm]\bruch{32}{x^{4}-16}=\bruch{-1}{x+2}+\bruch{1}{x-2}+\bruch{-4}{x^{2}+4}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Sehr gut!
> Wenn ich nun integriere habe ich
>
> [mm]\integral_{}^{} {\bruch{-1}{x+2}+\bruch{1}{x-2}+\bruch{-4}{x^{2}+4} dx}[/mm] = [mm]-ln(x+2)+ln(x-2)-2*arctan(\bruch{1}{2}*x)[/mm]
> Das mit arctan habe ich nur mit Hilfe von einem Programm
> rausbekommen, weil ich diese Umformung nicht kenne...
Man sollte sich als "Standard-Integral" merken: [mm] $\integral{\bruch{1}{x^2+1} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \arctan(x)$
[/mm]
In Deinem Falle musst Du im Zähler $4_$ ausklammern:
[mm] $\bruch{1}{x^2+4} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{4*\left(\bruch{x^2}{4}+1\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * [mm] \bruch{1}{\left(\bruch{x}{2}\right)^2+1}$
[/mm]
Und dieses Integral wurde anschließend gelöst mit folgender Substitution: $t \ := \ [mm] \bruch{x}{2}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo,
danke dir auch sehr!!
Kann das mit arctan fast nachvollziehen.
Aber es kommt ja raus -2*arctan...
Ich habe ja
[mm] \bruch{-4}{x^2+4}=\bruch{1}{4}*\bruch{-4}{(\bruch{x}{2})^{2}+1}
[/mm]
[mm] =-1*\bruch{1}{(\bruch{x}{2})^{2}+1}
[/mm]
integriert man das dann hab ich ja
[mm] -arctan(\bruch{x}{2})
[/mm]
Wie kommt man auf die -2 ?? Oder hab ich einen Fehler gemacht?
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Hallo Prinzessin83,
> Hallo,
>
> danke dir auch sehr!!
>
> Kann das mit arctan fast nachvollziehen.
>
> Aber es kommt ja raus -2*arctan...
>
> Ich habe ja
>
> [mm]\bruch{-4}{x^2+4}=\bruch{1}{4}*\bruch{-4}{(\bruch{x}{2})^{2}+1}[/mm]
> [mm]=-1*\bruch{1}{(\bruch{x}{2})^{2}+1}[/mm]
>
> integriert man das dann hab ich ja
> [mm]-arctan(\bruch{x}{2})[/mm]
> Wie kommt man auf die -2 ?? Oder hab ich einen Fehler
> gemacht?
nein.
Zunächst das Integral:
[mm]\int {\frac{{ - 4}}
{{x^2 \; + \;4}}\;dx} \; = \;\int {\frac{{ - 1}}
{{\left( {\frac{x}
{2}} \right)^2 \; + \;1}}\;dx} [/mm]
Um dieses Integral auf das Integral
[mm]\int {\frac{1}
{{t^2 \; + \;1}}\;dt} \; = \;\arctan \;t[/mm]
zurückzuführen, benutzt man die Substitution
[mm]\begin{gathered}
x\; = \;2\;t \hfill \\
dx\; = \;2\;dt \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Damit folgt nun:
[mm]\int {\frac{{ - 1}}
{{\left( {\frac{x}
{2}} \right)^2 \; + \;1}}\;dx} \; = \;\int {\frac{{ - 2}}
{{t^2 \; + \;1}}\;dt} \; = \; - 2\;\arctan \;t\;=\;-2\;\arctan(\bruch{x}{2})[/mm]
Gruß
MathePower
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
