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Stammfunktionen bilden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:01 Mi 30.12.2009
Autor: hase-hh

Aufgabe
Berechnen Sie die folgenden Integrale

a) [mm] \integral_{}^{}{(x^4 + \bruch{1}{x^4} +\wurzel[4]{x}) dx} [/mm]

b) [mm] \integral_{0}^{\pi}{sin(x)(3cos^2x -cos x +4) dx} [/mm]

c) [mm] \integral_{}^{}{(e^{\bruch{x}{2}} sin \bruch{x}{2}) dx} [/mm]

Moin,

zu a)  

Dies ist eine einfache Integration von Summanden... oder nicht?

= [mm] \bruch{1}{5}x^5 [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}x^{-3} [/mm] + [mm] \bruch{4}{5}x^{\bruch{5}{4}} [/mm] + C


zu b)

Da weiss ich schon nicht. Multipliziere ich das erstmal aus? Komme ich mit einer Substitution weiter? Oder komme ich gar mit partieller Integration weiter? (Kann ich mir hier nicht vorstellen...)

Meine Idee: Ausmultiplizieren

[mm] \integral_{0}^{\pi}{sin(x)(3cos^2x -cos x +4) dx} [/mm]

=  [mm] \integral_{0}^{\pi}{(3*sin(x)*cos^2(x) -sin(x)*cos(x) +4*sin(x)) dx} [/mm]

Anwenden von Additionstheoremen

=  [mm] \integral_{0}^{\pi}{(3*sin(x)*\bruch{1}{2}*(1 + cos(2x)) - \bruch{1}{2}*(sin(x-x) + sin(2x)) +4*sin(x) dx} [/mm]

=  [mm] \integral_{0}^{\pi}{\bruch{3}{2}*sin(x) +\bruch{3}{2}*cos(2x) - \bruch{1}{2}*sin(2x) +4*sin(x) dx} [/mm]

=  [mm] \integral_{0}^{\pi}{\bruch{3}{2}*sin(x) +\bruch{3}{2}*(\bruch{1}{2}*(sin(-x) +sin(3x))) - \bruch{1}{2}*sin(2x) +4*sin(x) dx} [/mm]

=  [mm] \integral_{0}^{\pi}{\bruch{3}{2}*sin(x) +\bruch{3}{4}*sin(-x) +\bruch{3}{4}*sin(3x) - \bruch{1}{2}*sin(2x) +4*sin(x) dx} [/mm]

=  [mm] \integral_{0}^{\pi}{\bruch{11}{2}*sin(x) +\bruch{3}{4}*sin(-x) +\bruch{3}{4}*sin(3x) - \bruch{1}{2}*sin(2x) dx} [/mm]

Korrektur

= [ [mm] -\bruch{11}{2}*cos(x) [/mm] - (- [mm] \bruch{3}{4}*cos(-x)) [/mm] - [mm] \bruch{9}{4}*cos(3x) [/mm] - cos(2x) ]   = 14

= [ [mm] -\bruch{11}{2}*cos(x) [/mm] - (- [mm] \bruch{3}{4}*cos(-x)) [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}*cos(3x) +\bruch{1}{4} [/mm] cos(2x) ]

= [mm] (\bruch{11}{2} [/mm] - [mm] \bruch{3}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}) [/mm] -  ( [mm] -\bruch{11}{2} [/mm] + [mm] \bruch{3}{4} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}) [/mm] = 10


Selbstverständlich ist der Weg über die Substitution einfacher (s.u.).

Korrektur Ende

zu c)

Wie fange ich hier an?  Substitution? Partielle Integration?
Oder ist es, weil keine Grenzen angegeben sind:

[mm] \integral_{}^{}{(e^{\bruch{x}{2}} sin \bruch{x}{2}) dx} [/mm]

= [mm] -2*e^{\bruch{x}{2}}*cos(\bruch{x}{2}) [/mm] + C



Danke & Gruß


        
Bezug
Stammfunktionen bilden: Aufgabe a.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:28 Mi 30.12.2009
Autor: Loddar

Hallo hase-hh!


> a) [mm]\integral_{}^{}{(x^4 + \bruch{1}{x^4} +\wurzel[4]{x}) dx}[/mm]
>
> Dies ist eine einfache Integration von Summanden... oder nicht?

[ok]

  

> = [mm]\bruch{1}{5}x^5[/mm] - [mm]\bruch{1}{3}x^{-3}[/mm] +  [mm]\bruch{4}{5}x^{\bruch{5}{4}}[/mm] + C

[ok]


Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
Stammfunktionen bilden: Aufgabe b.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:39 Mi 30.12.2009
Autor: Loddar

Hallo hase-hh!


Ich habe ein anderes Ergebnis erhalten. Allerdings habe ich auch nicht jeden einzelnen Schritt korrigiert.

Auf jeden Fall bist Du schneller am Ziel mit der Substitution gleich zu Beginn mit $z \ := \ [mm] \cos(x)$ [/mm] .


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Stammfunktionen bilden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:52 Mi 30.12.2009
Autor: hase-hh

Danke, also...

[mm] \integral_{0}^{\pi}{sin(x)*(3cos^2 (x) - cox(x) +4) dx} [/mm]

z = cos(x)

z ' = - sin(x)    =>  [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = - sin(x)

dx = [mm] \bruch{dz}{- sin(x)} [/mm]

[mm] \integral_{cos(0)}^{cos(\pi)}{sin(x)*(3z^2 -z +4) * \bruch{dz}{- sin(x)}} [/mm]

= [mm] \integral_{1}^{-1}{- (3z^2 -z +4) dz} [/mm]

= [- [mm] z^3 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*z^2 [/mm] -4*z]

= [mm] (-(-1)^3 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*(-1)^2 [/mm] -4*(-1)) - [mm] (-(1)^3 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*(1)^2 [/mm] -4*(1))

= 10    


So richtig?


Bezug
                        
Bezug
Stammfunktionen bilden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:57 Mi 30.12.2009
Autor: reverend

Klare Frage, klare Antwort: 10

lg
reverend

Bezug
        
Bezug
Stammfunktionen bilden: Aufgabe c.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:54 Mi 30.12.2009
Autor: Loddar

Hallo hase-hh!


> zu c)
>  
> Oder ist es, weil keine Grenzen angegeben sind:
>  
> [mm]\integral_{}^{}{(e^{\bruch{x}{2}} sin \bruch{x}{2}) dx}[/mm] = [mm]-2*e^{\bruch{x}{2}}*cos(\bruch{x}{2})[/mm] + C

[notok] Nein, das gilt nicht. Mache doch mal die Probe und leite ab ...


Beginne zunächst mit der Substition $z \ := \ [mm] \bruch{x}{2}$ [/mm] .
Anschließend geht es weiter mit partieller Integration.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Stammfunktionen bilden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:40 Mi 30.12.2009
Autor: hase-hh

Ok, beginnen wir mit der Substitution...

z = [mm] \bruch{x}{2} [/mm]


z' = [mm] \bruch{1}{2} [/mm]   =>  [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm]

dx = 2*dz

  Hier habe ich mit dem cos weitergerechnet, aber in der Aufgabe
steht ja sin !! --- Korrektur s.u.



[mm] \integral_{}^{}{e^z*2*cos(z) } [/mm] dz

[mm] 2*\integral_{}^{}{e^z*cos(z) } [/mm] dz

Nur was nützt mir jetzt die partielle Integration?

[mm] e^z [/mm]  bleibt  [mm] e^z [/mm]

und cos(z)  vereinfacht sich auch nicht  ( sin(z) bzw. - sin(z) )   ???


Korrektur

[mm] \integral_{}^{}{e^z*2*sin(z) } [/mm] dz

[mm] 2*\integral_{}^{}{e^z*sin(z) } [/mm] dz







Bezug
                        
Bezug
Stammfunktionen bilden: 2-mal anwenden
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:24 Do 31.12.2009
Autor: Loddar

Hallo hase!


Du musst die partielle Integration 2-mal anwenden. Dann erhältst Du eine Gleichung, in welcher Du nach dem gesuchten Integral auflösen kannst.


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Stammfunktionen bilden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:17 Do 31.12.2009
Autor: hase-hh

Ok, dann fangen wir mal an...


1. Runde

[mm] 2*\integral_{}^{}{e^z*cos(z) dz} [/mm]


[mm] \integral_{}^{}{(f ' * g) dx} [/mm] = [ f*g ] - [mm] \integral_{}^{}{(f * g ') dx} [/mm]

[mm] 2*\integral_{}^{}{e^z*cos(z) dz} [/mm] = 2*( [mm] [e^z*cos(z)] [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{e^z*(- sin(z)) dz} [/mm] )

[mm] 2*\integral_{}^{}{e^z*cos(z) dz} [/mm] = 2*( [mm] [e^z*cos(z)] [/mm] + [mm] \integral_{}^{}{e^z*(sin(z)) dz} [/mm] )


2. Runde

[mm] \integral_{}^{}{e^z*(sin(z)) dz} [/mm]


[mm] \integral_{}^{}{(h ' * i) dx} [/mm] = [ h*i ] - [mm] \integral_{}^{}{(h * i ') dx} [/mm]

[mm] \integral_{}^{}{e^z*(sin(z)) dz} [/mm] = [mm] [e^z*sin(z)] [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{e^z*(cos(z)) dz} [/mm]


3. Ausdruck zusammensetzen

[mm] 2*\integral_{}^{}{e^z*cos(z) dz} [/mm] = 2*( [mm] [e^z*cos(z)] [/mm] + [mm] [e^z*sin(z)] [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{e^z*(cos(z)) dz}) [/mm]

[mm] 4*\integral_{}^{}{e^z*cos(z) dz} [/mm] = 2*( [mm] [e^z*cos(z)] [/mm] + [mm] [e^z*sin(z)]) [/mm]

bzw.

[mm] 2*\integral_{}^{}{e^z*cos(z) dz} [/mm] = [mm] [e^z*cos(z)] [/mm] + [mm] [e^z*sin(z)] [/mm]


4. Resubstituieren

[mm] \integral_{}^{}{e^{\bruch{x}{2}}*sin(\bruch{x}{2}) dx} [/mm] = 2*( [mm] [e^{\bruch{x}{2}}*cos(\bruch{x}{2})] [/mm] + [mm] [e^{\bruch{x}{2}}*sin(\bruch{x}{2})]) [/mm]


Ist das so richtig, oder habe ich irgendetwas übersehen?











Bezug
                                        
Bezug
Stammfunktionen bilden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:42 Do 31.12.2009
Autor: steppenhahn

Hallo hase-hh,


> 1. Runde
>  
> [mm]2*\integral_{}^{}{e^z*cos(z) dz}[/mm]
>  
>
> [mm]\integral_{}^{}{(f ' * g) dx}[/mm] = [ f*g ] -
> [mm]\integral_{}^{}{(f * g ') dx}[/mm]
>  
> [mm]2*\integral_{}^{}{e^z*cos(z) dz}[/mm] = 2*( [mm][e^z*cos(z)][/mm] -
> [mm]\integral_{}^{}{e^z*(- sin(z)) dz}[/mm] )
>  
> [mm]2*\integral_{}^{}{e^z*cos(z) dz}[/mm] = 2*( [mm][e^z*cos(z)][/mm] +
> [mm]\integral_{}^{}{e^z*(sin(z)) dz}[/mm] )
>  
>
> 2. Runde
>  
> [mm]\integral_{}^{}{e^z*(sin(z)) dz}[/mm]
>
>
> [mm]\integral_{}^{}{(h ' * i) dx}[/mm] = [ h*i ] -
> [mm]\integral_{}^{}{(h * i ') dx}[/mm]
>  
> [mm]\integral_{}^{}{e^z*(sin(z)) dz}[/mm] = [mm][e^z*sin(z)][/mm] -
> [mm]\integral_{}^{}{e^z*(cos(z)) dz}[/mm]
>
>
> 3. Ausdruck zusammensetzen
>  
> [mm]2*\integral_{}^{}{e^z*cos(z) dz}[/mm] = 2*( [mm][e^z*cos(z)][/mm] +
> [mm][e^z*sin(z)][/mm] - [mm]\integral_{}^{}{e^z*(cos(z)) dz})[/mm]
>  
> [mm]4*\integral_{}^{}{e^z*cos(z) dz}[/mm] = 2*( [mm][e^z*cos(z)][/mm] +
> [mm][e^z*sin(z)])[/mm]
>  
> bzw.
>  
> [mm]2*\integral_{}^{}{e^z*cos(z) dz}[/mm] = [mm][e^z*cos(z)][/mm] +
> [mm][e^z*sin(z)][/mm]


Bis hierher ist alles richtig [ok]


> 4. Resubstituieren
>  
> [mm]\integral_{}^{}{e^{\bruch{x}{2}}*sin(\bruch{x}{2}) dx}[/mm] =
> 2*( [mm][e^{\bruch{x}{2}}*cos(\bruch{x}{2})][/mm] +
> [mm][e^{\bruch{x}{2}}*sin(\bruch{x}{2})])[/mm]

Hier hast du dich beim Rücksubstituieren etwas vertan.
Guck mal, es gilt doch:

[mm] $\integral{e^{\frac{x}{2}}*\cos\left(\frac{x}{2}\right) dx}$ [/mm]

Substitution $z = [mm] \frac{x}{2}$, [/mm] also [mm] $\frac{dz}{dx} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \gdw [/mm] 2*dz = dx$.

$= [mm] 2*\integral{e^{z}*\cos\left(z\right) dz}$, [/mm]

das heißt, mit deinem obigen Ergebnis aus 3. gilt:


[mm] $\integral{e^{\frac{x}{2}}*\cos\left(\frac{x}{2}\right) dx} [/mm] = [mm] 2*\integral{e^z*\cos(z) dz} [/mm] = [mm] e^z*\Big(\cos(z) [/mm] + [mm] \sin(z)\Big) [/mm] = [mm] e^{\frac{x}{2}}*\Big(\cos\left(\frac{x}{2}\right) [/mm] + [mm] \sin\left(\frac{x}{2}\right)\Big)$ [/mm]

Grüße,
Stefan

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Stammfunktionen bilden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:47 Do 31.12.2009
Autor: Krone

ich versteh echt bahnhof ...
so schwierige integrale hatten wir in der 12 nie ...

Bezug
                                                        
Bezug
Stammfunktionen bilden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:57 Do 31.12.2009
Autor: Tyskie84

Hallo Krone,

> ich versteh echt bahnhof ...
>  so schwierige integrale hatten wir in der 12 nie ...

Mach dich dir da mal keine Sorgen. Integralrechnung ist eine Kunst und kommt mit der Zeit. Will meinen. Üben Üben Üben. Die a) ist net so schwer. Einfach umformen und gliedweise integrieren. c) ist auch net so schwer. Mit ner geegneten Substitution bekommt man das Integral auch schnell in den Griff. b) ist schon ein härterer Brocken bei dem man sich leicht verechnen kann. Schaue dich einfach mal hier im Forum um und rechne ein paar Integrale nach als Übung falls du bei diesem Teilgebiert noch nicht so sicher bist. Auch weiss ich nicht ob hase-hh die Integrale für die Schule berechnen muss. In der Schule wird ja nur ein Bruchteil dessen gemacht was man später im Studium macht. Also nicht einschüchtern lassen ;-)

[hut] Gruß


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Stammfunktionen bilden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:02 Do 31.12.2009
Autor: Krone

naja gut ok, aber ich will ja Mathe studieren, da mach ich mir dann schon sorgen ;-)

naja ich guck mich mal hier um und üb einfach noch was mit den Integralen, dann wird das schon passen im Laufe der Zeit, haben wir ja auch in der Schule schon länger nicht mehr gemacht ...

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Stammfunktionen bilden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:24 Do 31.12.2009
Autor: hase-hh

Moin Herr Krone,

mach dir keine Gedanken.

Es gibt immer noch ein komplexeres Problem, eine noch kompliziertere Aufgabe.

Alles zu seiner Zeit. ;-)

Dipl.-Mathematiker werden - bei dieser Aufgabe - jetzt allerdings leicht lächeln...





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Stammfunktionen bilden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:30 Do 31.12.2009
Autor: Krone

"jetzt allerdings leicht lächeln... "

wieso ?
woher soll ich das auch können, haben ja nie so schwere gemacht ;-)

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Stammfunktionen bilden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:50 Do 31.12.2009
Autor: hase-hh

warum bist du jetzt eingeschnappt?

sie lächeln so, wie du über deinen kleinen bruder lächelst, der dir stolz erzählt, dass er jetzt  28:7 rechnen kann.

sie lächeln nicht über dich, sondern über das problem, das für sie vergleichsweise trivial ist. glaub mir.  

niemand erwartet von dir, dass du solche probleme bereits lösen kannst.

übrigens, wenn ich darüber stehen würde, dann bräuchte ich diese frage hier gar nicht zu stellen... ;-)

und zum schluss: ich würde dir zutrauen, dass du diese aufgaben mit ein wenig übung schon bewältigen könntest.

aufgabe a) sowieso

aufgabe b) sobald ihr substitution gemacht habt

aufgabe c) na, das ist natürlich relativ schwierig. erst substituieren und dann auch noch partiell integrieren und das dann auch noch zweimal.
sobald ihr die partielle Integration gemacht habt (die man ja ggf.mehrfach machen muss), ist der lösungsweg zunächst nachvollziehbar.

oft hilft bei der lösung, wenn man schon erkennt, worin der lösungsweg besteht (ziel), bzw. was einem ein bestimmter schritt "nützt". dies ist natürlich von den vorerfahrungen und der übung abhängig, die man hat.

die zerlegung in bausteine (umformungen, rechenverfahren, "tricks") soll dabei trainiert werden.


der mensch wächst mit seinen aufgaben.  :-)

Bezug
                                                                                
Bezug
Stammfunktionen bilden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:31 Do 31.12.2009
Autor: Krone

nene, eingeschnappt bin ich schon nicht :-)

naja gut die erste aufgabe war ja nicht so schwer ...

und substitution etc. haben wir auch alles gemacht im LK, brauchen wir ja auch jetzt fürs abi, aber is halt schon was länger her und die aufgaben waren meist schon was leichter ;-)




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Bezug
Stammfunktionen bilden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:27 Do 31.12.2009
Autor: hase-hh

Danke!

Eine Frage habe ich aber dann doch noch.

Brauche ich bei diesen Aufgaben kein   C   zu berücksichtigen?


Gruß
Wolfgang



Bezug
                                                        
Bezug
Stammfunktionen bilden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:34 Do 31.12.2009
Autor: steppenhahn

Hallo hase-hh,

> Brauche ich bei diesen Aufgaben kein   C   zu
> berücksichtigen?

Zur Sicherheit kannst du es immer hinter deine fertig ausgerechneten Integrale schreiben. Bei Wikipedia steht unter "unbestimmtes Integral = EINE Stammfunktion", d.h. man könnte die Aufgabe umschreiben als "Finde eine Stammfunktion" (würde ich zumindest behaupten). Im Grunde geht es ja auch nicht darum, alle Stammfunktionen zu finden, sondern auf eine Lösung zu kommen ;-)

Grüße,
Stefan

Bezug
                                        
Bezug
Stammfunktionen bilden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:45 Sa 02.01.2010
Autor: hase-hh


> Ok, dann fangen wir mal an...
>  
>
> 1. Runde
>  
> [mm] 2*\integral_{}^{}{e^z*cos(z) dz } [/mm]

Hier ist mir offenbar ein Fehler unterlaufen... in der Aufgabe ging es ja um das Integral von [mm] e^{\bruch{x}{2}}*sin{\bruch{x}{2}} [/mm]   aber nicht um den Kosinus...

[mm] 2*\integral_{}^{}{e^z*sin(z) dz} [/mm]  


Der Rest ist folglich auch nicht korrekt, es sei denn man ersetzt in der Aufagenstellung sin durch cos !!!

> [mm]\integral_{}^{}{(f ' * g) dx}[/mm] = [ f*g ] -
> [mm]\integral_{}^{}{(f * g ') dx}[/mm]
>  
> [mm]2*\integral_{}^{}{e^z*cos(z) dz}[/mm] = 2*( [mm][e^z*cos(z)][/mm] -
> [mm]\integral_{}^{}{e^z*(- sin(z)) dz}[/mm] )
>  
> [mm]2*\integral_{}^{}{e^z*cos(z) dz}[/mm] = 2*( [mm][e^z*cos(z)][/mm] +
> [mm]\integral_{}^{}{e^z*(sin(z)) dz}[/mm] )
>  
>
> 2. Runde
>  
> [mm]\integral_{}^{}{e^z*(sin(z)) dz}[/mm]
>
>
> [mm]\integral_{}^{}{(h ' * i) dx}[/mm] = [ h*i ] -
> [mm]\integral_{}^{}{(h * i ') dx}[/mm]
>  
> [mm]\integral_{}^{}{e^z*(sin(z)) dz}[/mm] = [mm][e^z*sin(z)][/mm] -
> [mm]\integral_{}^{}{e^z*(cos(z)) dz}[/mm]
>
>
> 3. Ausdruck zusammensetzen
>  
> [mm]2*\integral_{}^{}{e^z*cos(z) dz}[/mm] = 2*( [mm][e^z*cos(z)][/mm] +
> [mm][e^z*sin(z)][/mm] - [mm]\integral_{}^{}{e^z*(cos(z)) dz})[/mm]
>  
> [mm]4*\integral_{}^{}{e^z*cos(z) dz}[/mm] = 2*( [mm][e^z*cos(z)][/mm] +
> [mm][e^z*sin(z)])[/mm]
>  
> bzw.
>  
> [mm]2*\integral_{}^{}{e^z*cos(z) dz}[/mm] = [mm][e^z*cos(z)][/mm] +
> [mm][e^z*sin(z)][/mm]
>  
>
> 4. Resubstituieren
>  
> [mm]\integral_{}^{}{e^{\bruch{x}{2}}*sin(\bruch{x}{2}) dx}[/mm] =
> 2*( [mm][e^{\bruch{x}{2}}*cos(\bruch{x}{2})][/mm] +
> [mm][e^{\bruch{x}{2}}*sin(\bruch{x}{2})])[/mm]
>  
>
> Ist das so richtig, oder habe ich irgendetwas übersehen?
>  
>
>
>
>
>
>
>
>
>  


Bezug
                                        
Bezug
Stammfunktionen bilden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:24 Sa 02.01.2010
Autor: hase-hh

Also noch einmal mit dem korrekt substituierten Term lt. Aufgabenstellung...
  
1. Runde partiell integrieren
  
[mm]2*\integral_{}^{}{e^z*sin(z) dz}[/mm]
  
[mm]\integral_{}^{}{(f ' * g) dx}[/mm] = [ f*g ] - [mm]\integral_{}^{}{(f * g ') dx}[/mm]

[mm]2*\integral_{}^{}{e^z*sin(z) dz}[/mm] = 2*( [mm][e^z*sin(z)][/mm] - [mm]\integral_{}^{}{e^z*(cos(z)) dz}[/mm] )
  

2. Runde partiell integrieren
  
[mm]\integral_{}^{}{e^z*(cos(z)) dz}[/mm]

[mm]\integral_{}^{}{(h ' * i) dx}[/mm] = [ h*i ] - [mm]\integral_{}^{}{(h * i ') dx}[/mm]
  
[mm]\integral_{}^{}{e^z*(cos(z)) dz}[/mm] = [mm][e^z*cos(z)][/mm] - [mm]\integral_{}^{}{e^z*(-(sin(z)) dz}[/mm]

[mm]\integral_{}^{}{e^z*(cos(z)) dz}[/mm] = [mm][e^z*cos(z)][/mm] + [mm]\integral_{}^{}{e^z*(sin(z) dz}[/mm]


3. Ausdruck zusammensetzen
  
[mm]2*\integral_{}^{}{e^z*sin(z) dz}[/mm] = 2*( [mm][e^z*sin(z)][/mm] - ( [mm] [e^z*cos(z)] [/mm] + [mm]\integral_{}^{}{e^z*(sin(z) dz} ) ) [/mm]

[mm]2*\integral_{}^{}{e^z*sin(z) dz}[/mm] = [mm] 2*e^z*sin(z) [/mm] - [mm] 2*e^z*cos(z) [/mm] - [mm] 2*\integral_{}^{}{e^z*(sin(z) dz} [/mm]

[mm] 4*\integral_{}^{}{e^z*sin(z) dz} [/mm] = [mm] 2*e^z*(sin(z) [/mm] - cos(z))
  
bzw.
  
[mm] 2*\integral_{}^{}{e^z*sin(z) dz} [/mm] = [mm] e^z*(sin(z) [/mm] - cos(z))
  

4. Resubstituieren

z [mm] =\bruch{x}{2} [/mm]    z' = [mm] \bruch{1}{2} [/mm]  

[mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \gdw [/mm] 2 dz = dx

[mm] \integral_{}^{}{e^{\bruch{x}{2}}*sin(\bruch{x}{2}) dx}= e^{\bruch{x}{2}}*(sin(\bruch{x}{2}) [/mm] - [mm] cos(\bruch{x}{2})) [/mm] + C
  

Ich hoffe, das stimmt. :-)

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Stammfunktionen bilden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:07 Sa 02.01.2010
Autor: MathePower

Hallo hase-hh,

> Also noch einmal mit dem korrekt substituierten Term lt.
> Aufgabenstellung...
>    
> 1. Runde partiell integrieren
>    
> [mm]2*\integral_{}^{}{e^z*sin(z) dz}[/mm]
>    
> [mm]\integral_{}^{}{(f ' * g) dx}[/mm] = [ f*g ] -
> [mm]\integral_{}^{}{(f * g ') dx}[/mm]
>  
> [mm]2*\integral_{}^{}{e^z*sin(z) dz}[/mm] = 2*( [mm][e^z*sin(z)][/mm] -
> [mm]\integral_{}^{}{e^z*(cos(z)) dz}[/mm] )
>    
>
> 2. Runde partiell integrieren
>    
> [mm]\integral_{}^{}{e^z*(cos(z)) dz}[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{(h ' * i) dx}[/mm] = [ h*i ] -
> [mm]\integral_{}^{}{(h * i ') dx}[/mm]
>    
> [mm]\integral_{}^{}{e^z*(cos(z)) dz}[/mm] = [mm][e^z*cos(z)][/mm] -
> [mm]\integral_{}^{}{e^z*(-(sin(z)) dz}[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{e^z*(cos(z)) dz}[/mm] = [mm][e^z*cos(z)][/mm] +
> [mm]\integral_{}^{}{e^z*(sin(z) dz}[/mm]
>
>
> 3. Ausdruck zusammensetzen
>    
> [mm]2*\integral_{}^{}{e^z*sin(z) dz}[/mm] = 2*( [mm][e^z*sin(z)][/mm] - (
> [mm][e^z*cos(z)][/mm] + [mm]\integral_{}^{}{e^z*(sin(z) dz} ) )[/mm]
>  
> [mm]2*\integral_{}^{}{e^z*sin(z) dz}[/mm] = [mm]2*e^z*sin(z)[/mm] -
> [mm]2*e^z*cos(z)[/mm] - [mm]2*\integral_{}^{}{e^z*(sin(z) dz}[/mm]
>
> [mm]4*\integral_{}^{}{e^z*sin(z) dz}[/mm] = [mm]2*e^z*(sin(z)[/mm] - cos(z))
>    
> bzw.
>    
> [mm]2*\integral_{}^{}{e^z*sin(z) dz}[/mm] = [mm]e^z*(sin(z)[/mm] - cos(z))
>    
>
> 4. Resubstituieren
>  
> z [mm]=\bruch{x}{2}[/mm]    z' = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]  
>
> [mm]\bruch{dz}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} \gdw[/mm] 2 dz = dx
>  
> [mm]\integral_{}^{}{e^{\bruch{x}{2}}*sin(\bruch{x}{2}) dx}= e^{\bruch{x}{2}}*(sin(\bruch{x}{2})[/mm]
> - [mm]cos(\bruch{x}{2}))[/mm] + C
>    
>
> Ich hoffe, das stimmt. :-)  


Das stimmt alles. [ok]


Gruss
MathePower

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