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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 Do 15.12.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen,
hier die Definition der Standard-Auflösung aus meiner Vorlesung Algebra III, die mir leider unklar ist:
> Die Standard-Auflösung ist eine freie Auflösung von [mm] $\IZ$ [/mm] als [mm] ${\IZ}G$-Modul:
[/mm]
> Sei [mm] $X_n$ [/mm] der freie [mm] $\IZ$-Modul [/mm] mit Basis [mm] $(g_0,\ldots,g_n)\in G^{n+1}$
[/mm]
> und $G$-Wirkung [mm] $g(g_0,\ldots,g_n)=(gg_0,\ldots,gg_n)$.
[/mm]
> Def. Derivation [mm] $d_n\colon X_n\to X_{n-1}$ [/mm] durch
> [mm] $d(g_0,\ldots,g_n)=\sum(-1)^j(g_0,\ldots,\hat{g_j},\ldots,g_n)$
[/mm]
> und [mm] $\varepsilon\colon X_0\to\IZ$ [/mm] die Augmentierung, d.h. [mm] $\varepsilon(g_0)=1$.
[/mm]
> Dann ist der Komplex
> [mm] $\longrightarrow X_n\stackrel{d_n}{\longrightarrow}X_{n-1}\stackrel{d_{n-1}}{\longrightarrow}\ldots\longrightarrow X_0\stackrel{\varepsilon}{\longrightarrow}\IZ\longrightarrow [/mm] 0$
> exakt und die [mm] $X_n$ [/mm] sind freie [mm] ${\IZ}G$-Moduln [/mm] mit Basis [mm] $(1,g_1,\ldots,g_n)\in G^n$.
[/mm]
(Dem Kontext entnehme ich, dass $G$ eine beliebige Gruppe sein soll.)
Hier im Einzelnen meine Fragen:
> Die Standard-Auflösung ist eine freie Auflösung von [mm] $\IZ$ [/mm] als [mm] ${\IZ}G$-Modul:
[/mm]
Bis hierhin kann ich noch folgen.
> Sei [mm] $X_n$ [/mm] der freie [mm] $\IZ$-Modul [/mm] mit Basis [mm] $(g_0,\ldots,g_n)\in G^{n+1}$
[/mm]
1. Was sind die [mm] $g_i$? [/mm] Beliebige Elemente von $G$? Paarweise verschieden vorausgesetzt, oder? Wenn ja: Was, wenn G weniger als $n+1$ Elemente hat?
2. [mm] $X_n$ [/mm] ist also zunächst ein [mm] $\IZ$-Modul. [/mm] Wie versehen wir nun [mm] $X_n$ [/mm] mit der Struktur eines [mm] ${\IZ}G$-Moduls?
[/mm]
> und $G$-Wirkung [mm] $g(g_0,\ldots,g_n)=(gg_0,\ldots,gg_n)$.
[/mm]
3. $G$-Wirkung auf welcher Menge? Auf der Menge [mm] $X_n$? [/mm] Aber [mm] $(g_0,\ldots,g_n)$ [/mm] und [mm] $(gg_0,\ldots,gg_n)$ [/mm] sind doch gar keine Elemente von [mm] $X_n$, [/mm] oder?
> Def. Derivation [mm] $d_n\colon X_n\to X_{n-1}$ [/mm] durch
> [mm] $d(g_0,\ldots,g_n)=\sum(-1)^j(g_0,\ldots,\hat{g_j},\ldots,g_n)$
[/mm]
(Vermutlich soll es links [mm] $d_n$ [/mm] statt $d$ heißen und die Summe soll von $j=0$ bis $n$ gehen?)
4. Gleiches Problem wie unter 3.: Wie lassen sich [mm] $(g_0,\ldots,g_n)$ [/mm] und [mm] $(g_0,\ldots,\hat{g_j},\ldots,g_n)$ [/mm] als Elemente von [mm] $X_n$ [/mm] bzw. [mm] $X_{n-1}$ [/mm] auffassen?
> und [mm] $\varepsilon\colon X_0\to\IZ$ [/mm] die Augmentierung, d.h. [mm] $\varepsilon(g_0)=1$.
[/mm]
Diese Abbildung ist mir wiederum soweit klar.
> Dann ist der Komplex
> [mm] $\longrightarrow X_n\stackrel{d_n}{\longrightarrow}X_{n-1}\stackrel{d_{n-1}}{\longrightarrow}\ldots\longrightarrow X_0\stackrel{\varepsilon}{\longrightarrow}\IZ\longrightarrow [/mm] 0$
> exakt und die [mm] $X_n$ [/mm] sind freie [mm] ${\IZ}G$-Moduln [/mm] mit Basis [mm] $(1,g_1,\ldots,g_n)\in G^n$.
[/mm]
(Das soll vermutlich am Ende [mm] $G^{n+1}$ [/mm] heißen?) Also [mm] $g_0=1$?
[/mm]
Würde mich über Hilfe riesig freuen! 
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:44 Fr 16.12.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Tobias!
> hier die Definition der Standard-Auflösung aus meiner
> Vorlesung Algebra III, die mir leider unklar ist:
>
> > Die Standard-Auflösung ist eine freie Auflösung von [mm]\IZ[/mm]
> > als [mm]{\IZ}G[/mm]-Modul:
> > Sei [mm]X_n[/mm] der freie [mm]\IZ[/mm]-Modul mit Basis
> > [mm](g_0,\ldots,g_n)\in G^{n+1}[/mm]
> > und [mm]G[/mm]-Wirkung
> > [mm]g(g_0,\ldots,g_n)=(gg_0,\ldots,gg_n)[/mm].
> > Def. Derivation [mm]d_n\colon X_n\to X_{n-1}[/mm] durch
> >
> > [mm]d(g_0,\ldots,g_n)=\sum(-1)^j(g_0,\ldots,\hat{g_j},\ldots,g_n)[/mm]
> > und [mm]\varepsilon\colon X_0\to\IZ[/mm] die Augmentierung, d.h.
> > [mm]\varepsilon(g_0)=1[/mm].
> > Dann ist der Komplex
> > [mm]\longrightarrow X_n\stackrel{d_n}{\longrightarrow}X_{n-1}\stackrel{d_{n-1}}{\longrightarrow}\ldots\longrightarrow X_0\stackrel{\varepsilon}{\longrightarrow}\IZ\longrightarrow 0[/mm]
>
> > exakt und die [mm]X_n[/mm] sind freie [mm]{\IZ}G[/mm]-Moduln mit Basis
> [mm](1,g_1,\ldots,g_n)\in G^n[/mm].
Das ganze finde ich auch nicht sonderlich verstaendlich.
> (Dem Kontext entnehme ich, dass [mm]G[/mm] eine beliebige Gruppe
> sein soll.)
Moeglich. Ob das stimmt: keine Ahnung...
> Hier im Einzelnen meine Fragen:
>
> > Die Standard-Auflösung ist eine freie Auflösung von [mm]\IZ[/mm]
> als [mm]{\IZ}G[/mm]-Modul:
> Bis hierhin kann ich noch folgen.
>
> > Sei [mm]X_n[/mm] der freie [mm]\IZ[/mm]-Modul mit Basis [mm](g_0,\ldots,g_n)\in G^{n+1}[/mm]
>
> 1. Was sind die [mm]g_i[/mm]? Beliebige Elemente von [mm]G[/mm]? Paarweise
> verschieden vorausgesetzt, oder? Wenn ja: Was, wenn G
> weniger als [mm]n+1[/mm] Elemente hat?
Das dachte ich zuerst auch. Nach etwas mehr drueber nachdenken ist mir folgende Idee gekommen:
du nimmst einen freien [mm] $\IZ$-Modul, [/mm] dessen Basis durch [mm] $G^{n+1}$ [/mm] gegeben ist: sprich du hast formale [mm] $\IZ$-Linearkombinationen [/mm] von $(n+1)$-Tupeln mit Elementen aus $G$.
Damit hat die Basis [mm] $|G|^{n+1}$ [/mm] viele Elemente.
> 2. [mm]X_n[/mm] ist also zunächst ein [mm]\IZ[/mm]-Modul. Wie versehen wir
> nun [mm]X_n[/mm] mit der Struktur eines [mm]{\IZ}G[/mm]-Moduls?
Wenn ich Recht habe, dann definierst du die [mm] $\IZ [/mm] G$-Modul-Struktur, indem du [mm] $\IZ$ [/mm] ganz normal wirken laesst und $g [mm] \in [/mm] G$ auf einen Basisvektor [mm] $(g_0, \dots, g_n)$ [/mm] wirken laesst, indem du diesen auf $(g [mm] g_0, [/mm]
dots, g [mm] g_n)$ [/mm] abbildest. Diese Aktion von $g [mm] \in [/mm] G$ kannst du eindeutig zu einer [mm] $\IZ$-linearen [/mm] Abbildung [mm] $\varphi_g [/mm] : [mm] X_n \to X_n$ [/mm] fortsetzen, und ein Element [mm] $\sum z_i g_i \in \IZ [/mm] G$ (mit [mm] $z_i \in \IZ$ [/mm] und [mm] $g_i \in [/mm] G$ wirkt auf [mm] $X_n$ [/mm] dann durch [mm] $X_n \ni [/mm] v [mm] \mapsto \sum z_i \varphi_{g_i}(v)$.
[/mm]
> > und [mm]G[/mm]-Wirkung [mm]g(g_0,\ldots,g_n)=(gg_0,\ldots,gg_n)[/mm].
>
> 3. [mm]G[/mm]-Wirkung auf welcher Menge? Auf der Menge [mm]X_n[/mm]? Aber
> [mm](g_0,\ldots,g_n)[/mm] und [mm](gg_0,\ldots,gg_n)[/mm] sind doch gar keine
> Elemente von [mm]X_n[/mm], oder?
Das wuerd bei meinem Vorschlag ebenfalls Sinn machen; siehe oben.
> > Def. Derivation [mm]d_n\colon X_n\to X_{n-1}[/mm] durch
> > [mm]d(g_0,\ldots,g_n)=\sum(-1)^j(g_0,\ldots,\hat{g_j},\ldots,g_n)[/mm]
> (Vermutlich soll es links [mm]d_n[/mm] statt [mm]d[/mm] heißen und die
> Summe soll von [mm]j=0[/mm] bis [mm]n[/mm] gehen?)
Das sollte auf jeden Fall so sein, denke ich (egal ob das was ich oben schreibe stimmt oder nicht.)
Und wenn das was ich oben schreibe stimmt ist das nur die Abbildung auf den Basisvektoren; du musst das dann noch [mm] $\IZ$-linear [/mm] fortsetzen.
> 4. Gleiches Problem wie unter 3.: Wie lassen sich
> [mm](g_0,\ldots,g_n)[/mm] und [mm](g_0,\ldots,\hat{g_j},\ldots,g_n)[/mm] als
> Elemente von [mm]X_n[/mm] bzw. [mm]X_{n-1}[/mm] auffassen?
>
> > und [mm]\varepsilon\colon X_0\to\IZ[/mm] die Augmentierung, d.h.
> > [mm]\varepsilon(g_0)=1[/mm].
> Diese Abbildung ist mir wiederum soweit klar.
Dazu solltest du aber schon wissen was [mm] $X_0$ [/mm] ist 
> > Dann ist der Komplex
> > [mm]\longrightarrow X_n\stackrel{d_n}{\longrightarrow}X_{n-1}\stackrel{d_{n-1}}{\longrightarrow}\ldots\longrightarrow X_0\stackrel{\varepsilon}{\longrightarrow}\IZ\longrightarrow 0[/mm]
>
> > exakt und die [mm]X_n[/mm] sind freie [mm]{\IZ}G[/mm]-Moduln mit Basis
> [mm](1,g_1,\ldots,g_n)\in G^n[/mm].
> (Das soll vermutlich am Ende
> [mm]G^{n+1}[/mm] heißen?)
Hmm, ich denke da sollte [mm] $\{ 1 \} \times G^n$ [/mm] stehen
Also [mm] $X_n$ [/mm] ist ja (zumindest nach meiner Interpretation) ein freier [mm] $\IZ$-Modul [/mm] mit Basis [mm] $G^{n+1}$. [/mm] Um das jetzt zu einem freien [mm] $\IZ [/mm] G$-Modul zu machen, kann man anscheinend als Basis [mm] $\{ 1 \} \times G^n$ [/mm] nehmen (wobei 1 das neutrale Element der Gruppe $G$ sein soll): ich glaube, man kann recht einfach verifizieren, dass dies eine [mm] $\IZ [/mm] G$-Basis ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:58 Sa 17.12.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Felix,
tausend Dank für deine super Antwort!
Ich war schon ziemlich frustriert, weil ich einfach nicht weiterkam und der folgende Stoff offensichtlich auf dieser Definition aufbaut... Jetzt passt alles! Meine Frage ist damit für mich beantwortet.
> > > und [mm]\varepsilon\colon X_0\to\IZ[/mm] die Augmentierung, d.h.
> > > [mm]\varepsilon(g_0)=1[/mm].
> > Diese Abbildung ist mir wiederum soweit klar.
>
> Dazu solltest du aber schon wissen was [mm]X_0[/mm] ist
Da hast du natürlich recht, da war ich voreilig davon ausgegangen, [mm] $X_0$ [/mm] hinreichend verstanden zu haben, um [mm] $\varepsilon$ [/mm] zu verstehen.
> Also [mm]X_n[/mm] ist ja (zumindest nach meiner Interpretation) ein
> freier [mm]\IZ[/mm]-Modul mit Basis [mm]G^{n+1}[/mm]. Um das jetzt zu einem
> freien [mm]\IZ G[/mm]-Modul zu machen, kann man anscheinend als
> Basis [mm]\{ 1 \} \times G^n[/mm] nehmen (wobei 1 das neutrale
> Element der Gruppe [mm]G[/mm] sein soll): ich glaube, man kann recht
> einfach verifizieren, dass dies eine [mm]\IZ G[/mm]-Basis ist.
Wenn ich nichts übersehen habe, stimmt das.
Also nochmal vielen Dank für deine ausführliche Erklärung!
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:28 Sa 17.12.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Tobias,
> tausend Dank für deine super Antwort!
bitte :)
> Ich war schon ziemlich frustriert, weil ich einfach nicht
> weiterkam und der folgende Stoff offensichtlich auf dieser
> Definition aufbaut... Jetzt passt alles! Meine Frage ist
> damit für mich beantwortet.
Gut. Ich hab sie auch gleich mal auf Beantwortet gesetzt.
LG Felix
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