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| Aufgabe | (Standardabweichung bei binominalverteilten Zufallsgröße)
Ein defekter Parkscheinautomat eines Parkhauses codiert ca. 20% aller Parkkarten so falsch, dass eine Ausfahrt nicht möglich ist. An einem Samstagvormittag möchten zwischen 9.30 Uhr und 10.00 Uhr 100 Autofahrer mit ihren Autos das Parkhaus verlassen.
Schätzen Sie ab, wie viele dieser PKW-Fahrer mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,99 entsprechende Probleme bei der Ausfahrt haben werden.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Guten Abend zusammen  werde mich auch bessern
Mein Lösungsweg:
== Schritt 1 =======================================
a) Wenn es nicht zufällig oben drüber gestanden hätte, woran würde ich merken, ob es sich bei einer Aufgabenstellung um eine mit binominalverteilten Zufallsgröße handelt oder nicht?
a.1) Meine Überlegung war die, dass Bernulli-Experimente nur zwei Ergebnisse haben - hier also "gültiger Parkschein" und "ungültiger Parkschein"
Zu Bernulli-Experimente steht: Satz: Für eine Bernulli-Kette mit der Länge n, n [mm] \in \IN [/mm] , und der Trefferwahrscheinlichkeit p gilt:
[mm] P(X=k)=\vektor{n \\ k}*p^k*(1-p)^{n-k} [/mm]
Hierbei ist X die Zufallsgröße und k die Trefferzahl mit k [mm] \in [/mm] {0,1,2,...,n}
Deshalb nennt man X auch binominalverteilte Zufallsgröße.
Oder liege ich da völlig falsch?
a.2) Muss man dann bei jeder Aufgabe ersteinmal nachsehen, wieviele Ergebnisse insgesamt möglich sind, oder wie geht man da am Besten vor?
Lösungsansatz:
1.) Somit erhalte ich für den Erwartungswert E(X)=n*p = 100*20% = 20 - Den Erwartungswert benötige ich ja für die [mm] \sigma-Regeln
[/mm]
2.) Standardabweichung - [mm] \sigma= \wurzel{n*p*(1 - p)} [/mm] = [mm] \wurzel{16} [/mm] = 4
== Schritt 2 =======================================
b) Ich habe da was von [mm] 1\sigma [/mm] bzw. 90% - Regel, [mm] 2\sigma [/mm] bzw. 95% - Regel bzw. [mm] 3\sigma [/mm] bzw. 99% - Regel gelesen.
[mm] \sigma-Regel [/mm] für binominalverteilte Zufallsgröße X mit der Standardabweichung [mm] \sigma [/mm] = [mm] \wurzel{n*p*(1-p)} [/mm] gilt:
[mm] P(E(X)-i*\sigma \le [/mm] X [mm] \le E(X)+i*\sigma [/mm] ) [mm] =\begin{cases} \approx 0.680, & \mbox{für } i \mbox{ =1} \\ \approx 0.955, & \mbox{für } i \mbox{ =2} \\ \approx 0.997, & \mbox{für } i \mbox{ =3} \end{cases}
[/mm]
Die Näherung wird um so besser, je größer n ist; insbesondere falls [mm] \sigma [/mm] > 3.
Lösungsansatz:
Also habe ich für [mm] \sigma [/mm] = 4 eine gute Näherung! - Näherung wofür???? - Wird dann dieses SIGMA-Intervall "kleiner"???
b.1) In der Aufgabe steht da jetzt was von 0,99 - also 99% - nehme ich dann die [mm] 3\sigma [/mm] bzw. die 99%-Regel um was zu berechnen?
b.2) Was ist, wenn nach nur einer 80% bzw. p% Wahrscheinlichkeit gefragt würde? Oder würde man dann bei kleineren Wahrscheinlichkeiten die Umkehrung nehmen und dann das Negativergebnis mit Hilfe der [mm] \sigma-Regel [/mm] berechnen? also bei 30% Wahrscheinlichkeit das der Parkschein nicht Funktioniert - man die 70% Wahrscheinlichkeit berechnet wo der Parkschein funktioniert?
Lösungsansatz:
Nun kommt das was ich überhaupt nicht nachvollziehen kann.
Da steht auf einmal bei der 99%-Regel:
[mm] P(E(X)-2.58*\sigma \le [/mm] X [mm] \le E(X)+2.58*\sigma) \approx0.99
[/mm]
mit einen Verweis auf die Normalverteilung ??? - HILFE - Wie kommt man von der [mm] 3\sigma-Regel [/mm] auf diese ???
Hier muss man ja wohl nur noch die oben berechneten Werte einsetzten und kommt dann zu dem Schluß, dass zwischen [mm] \sim [/mm] 10 (=9,68) und [mm] \sim [/mm] 30 (=30,32) - wieso dann nicht 31 ? - PKW-Fahrer Probleme bei der Ausfahrt aus dem Parhaus haben.
c) Letzte Frage, wie geht man denn dann vor, wenn es sich nicht um eine binominalverteilte Zufallsgröße handelt?
Der Erwartungswert von X wäre dann:
[mm] E(X)=\summe_{i=1}^{r} (x_i*P(X=x_i))
[/mm]
Die Standardabweichung von X wäre in diesem Fall:
[mm] \sigma [/mm] = [mm] \wurzel{ \summe_{i=1}^{r} (x_i - E(X=x_i))^2 * P(X = x_i)}
[/mm]
Gelten dann da auch die [mm] \sigma [/mm] bzw. 99% - Regeln?? oder gibt es dann dafür andere?
Vielen Dank für eure Bemühungen.
Oliver
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:01 Di 02.05.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin oliver,
ich möchte dir kurz mitteilen, was mir spontan zu deinen fragen einfällt.
Guten Abend zusammen werde mich auch bessern
Mein Lösungsweg:
== Schritt 1 =======================================
a) Wenn es nicht zufällig oben drüber gestanden hätte, woran würde ich merken, ob es sich bei einer Aufgabenstellung um eine mit binominalverteilten Zufallsgröße handelt oder nicht?
moin oliver,
Eine binomial verteilte Zufallsgröße hat zwei Ausgänge und die Wahrscheinlichkeiten für einen Treffer / Nicht-Treffer bleiben auf jeder Stufe gleich; bzw. verändern sich nicht; z.B. beim Münzwurf habe ich beim 1. Wurf dieselbe Trefferwahrscheinlichkeit [hier p=0,5; in deiner aufgabe p=0,2...], wie beim 48. Wurf.
a.1) Meine Überlegung war die, dass Bernulli-Experimente nur zwei Ergebnisse haben - hier also "gültiger Parkschein" und "ungültiger Parkschein"
Zu Bernulli-Experimente steht: Satz: Für eine Bernulli-Kette mit der Länge n, n , und der Trefferwahrscheinlichkeit p gilt:
Hierbei ist X die Zufallsgröße und k die Trefferzahl mit k {0,1,2,...,n}
Deshalb nennt man X auch binominalverteilte Zufallsgröße.
Oder liege ich da völlig falsch?
korrekt.
a.2) Muss man dann bei jeder Aufgabe ersteinmal nachsehen, wieviele Ergebnisse insgesamt möglich sind, oder wie geht man da am Besten vor?
warum nicht?!
Lösungsansatz:
1.) Somit erhalte ich für den Erwartungswert E(X)=n*p = 100*20% = 20 - Den Erwartungswert benötige ich ja für die
2.) Standardabweichung - = = 4
korrekt.
== Schritt 2 =======================================
b) Ich habe da was von bzw. 90% - Regel, bzw. 95% - Regel bzw. bzw. 99% - Regel gelesen.
für binominalverteilte Zufallsgröße X mit der Standardabweichung = gilt:
X )
Die Näherung wird um so besser, je größer n ist; insbesondere falls > 3.
Lösungsansatz:
Also habe ich für = 4 eine gute Näherung! - Näherung wofür???? - Wird dann dieses SIGMA-Intervall "kleiner"???
auch richtig gefolgert!
b.1) In der Aufgabe steht da jetzt was von 0,99 - also 99% - nehme ich dann die bzw. die 99%-Regel um was zu berechnen?
Ich berechne das 99%-Konfidenzintervall, in dem sich zirka 99% aller möglichen Ergebnisse befinden.
b.2) Was ist, wenn nach nur einer 80% bzw. p% Wahrscheinlichkeit gefragt würde? Oder würde man dann bei kleineren Wahrscheinlichkeiten die Umkehrung nehmen und dann das Negativergebnis mit Hilfe der berechnen? also bei 30% Wahrscheinlichkeit das der Parkschein nicht Funktioniert - man die 70% Wahrscheinlichkeit berechnet wo der Parkschein funktioniert?
Dazu gibt es auch eine Formel; denke diese Information wird euch der Einfachheit halber vorgegeben.
Lösungsansatz:
Nun kommt das was ich überhaupt nicht nachvollziehen kann.
Da steht auf einmal bei der 99%-Regel:
X
mit einen Verweis auf die Normalverteilung ??? - HILFE - Wie kommt man von der auf diese ???
Jede binomialverteilte Zufallsgröße kann man "normieren", auf eine bestimmte Breite und Länge bringen. Den genauen Rechenweg, wie man das macht, kannst Du vielleicht später nachvollziehen.
Hier muss man ja wohl nur noch die oben berechneten Werte einsetzten und kommt dann zu dem Schluß, dass zwischen 10 (=9,68) und 30 (=30,32) - wieso dann nicht 31 ? - PKW-Fahrer Probleme bei der Ausfahrt aus dem Parhaus haben.
korrekt. weil 31 schon ausserhalb des intervalls liegt. die intervalluntergrenze wird also auf den nächsten ganzzahligen wert "aufgerundet", die intervallobergrenze auf den nächstniedrigeren ganzzahligen wert "abgerundet" [abgeschnitten]. Da es sich um eine diskret verteilte zufallsgröße handelt.
c) Letzte Frage, wie geht man denn dann vor, wenn es sich nicht um eine binominalverteilte Zufallsgröße handelt?
Der Erwartungswert von X wäre dann:
Die Standardabweichung von X wäre in diesem Fall:
=
Gelten dann da auch die bzw. 99% - Regeln?? oder gibt es dann dafür andere?
Vielen Dank für eure Bemühungen.
Oliver
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:01 Do 11.05.2006 | | Autor: | PottKaffee |
Moin hase-HH,
danke für deine Mitteilungen. Hast mir echt geholfen das etwas besser zu verstehen. Also ich habe echt meine Probleme mit Wahrscheinlichkeitsrechnen und Kombinatorik, da ich das nie richtig im Unterricht hatte.
Aber deine Hinweise halfen mir echt weiter - DANKE!
MfG
Oliver
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