Standardbasen und Urbildraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 Di 26.12.2006 | | Autor: | frozy |
| Aufgabe | Sei f : Q³ -> Q³ eine lineare Abb., definiert durch:
[mm] \vektor{x \\ y \\z} [/mm] |--> (x+y,y+z,x+z) (transponiert)
Geben Sie die Matrix an, die f bezüglich der Standardbasen des Q³ beschreibt. Bezüglich welcher Basis des Urbildraums wird f durch die Einheitsmatrix beschrieben, wenn man als Basis des Bildraums die Standardbasis beibehält? |
Ich verstehe nicht ganz, was hier von mir gewollt ist.
1.)
Was sind die Standardbasen (Plural!) des Q³ ? Ich dachte an die kanonische Basis, aber da kenn ich nur eine, nämlich (1,0,0),(0,1,0) und (0,0,1). Dann müsste ich doch für den ersten Teil der Frage nur die Bilder der kan. Basis ermitteln, oder?
2.)
"Bezüglich welcher Basis des Urbildraums wird f durch die Einheitsmatrix beschrieben, wenn man als Basis des Bildraums die Standardbasis beibehält?"
Diesen Teil der Frage verstehe ich überhaupt nicht...
Viele Grüße,
Thorsten
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei f : Q³ -> Q³ eine lineare Abb., definiert durch:
>
> [mm]\vektor{x \\ y \\z}[/mm] |--> (x+y,y+z,x+z) (transponiert)
>
> Geben Sie die Matrix an, die f bezüglich der Standardbasen
> des Q³ beschreibt. Bezüglich welcher Basis des Urbildraums
> wird f durch die Einheitsmatrix beschrieben, wenn man als
> Basis des Bildraums die Standardbasis beibehält?
> Ich verstehe nicht ganz, was hier von mir gewollt ist.
>
> 1.)
> Was sind die Standardbasen (Plural!) des Q³ ? Ich dachte an
> die kanonische Basis, aber da kenn ich nur eine, nämlich
> (1,0,0),(0,1,0) und (0,0,1). Dann müsste ich doch für den
> ersten Teil der Frage nur die Bilder der kan. Basis
> ermitteln, oder?
Hallo,
ich würde das so machen, wie Du es sagst (und den Plural) ignorieren. (Möglicherweise ist gemeint, daß man die drei Basisvektoren in verschiedener Reihenfolge anordnen kann.)
>
> 2.)
> "Bezüglich welcher Basis des Urbildraums wird f durch die
> Einheitsmatrix beschrieben, wenn man als Basis des
> Bildraums die Standardbasis beibehält?"
>
> Diesen Teil der Frage verstehe ich überhaupt nicht...
Gesucht sind Vektoren [mm] a_1, a_2, a_3 [/mm] mit [mm] f(a_1)=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, f(a_2)=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}, f(a_3)=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 So 14.01.2007 | | Autor: | pascal-g |
Habe ich das richtig verstanden, dass die gesuchte Matrix im ersten Aufgabenteil dann wie folgt aussehen müsste?
$ M(f) = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 } [/mm] $
Leider verstehe ich aber den kompletten zweiten Teil der Aufgabe nicht. Wie kommt man denn auf die gesuchte Basis?
Bitte um Hilfe... :-/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 So 14.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
> Habe ich das richtig verstanden, dass die gesuchte Matrix
> im ersten Aufgabenteil dann wie folgt aussehen müsste?
>
> [mm]M(f) = \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 }[/mm]
>
ja, das ist vollkommen richtig !
> Leider verstehe ich aber den kompletten zweiten Teil der
> Aufgabe nicht. Wie kommt man denn auf die gesuchte Basis?
wie angela schon geschrieben hatte: du suchst einen Vektor v, so dass [mm] $f(a_1)=e_1$ [/mm] (erster Standardvektor) ist.
oder um es anders zu sagen : du suchst das Urbild von [mm] e_1, [/mm] also:
[mm] $a_1=f^{-1}(e_1)$ [/mm] und die anderen [mm] a_i [/mm] analog.
also sei deine Matrix oben mal M genannt, dann musst du einfach nur schnell [mm] $M^{-1}$ [/mm] berechnen und dann:
[mm] $a_1=M^{-1}*e_1$
[/mm]
(die anderen [mm] a_i [/mm] analog)
(beachte, dass f ein isomorphismus ist und deshalb urbilder linear unabhaengier vektoren wieder linear unabhaengig sind...)
viele Gruesse
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 So 14.01.2007 | | Autor: | pascal-g |
Ach so, dann ergibt sich aus meiner Matrix also die Inverse
$ [mm] M^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ 0,5 & -0,5 & 0,5 \\ 0,5 & 0,5 & -0,5 \\ -0,5 & 0,5 & 0,5 } [/mm] $
und demzufolge $ [mm] a_{1} [/mm] = [mm] \vektor{ 0,5 \\ 0,5 \\ -0,5 }, a_{2} [/mm] = [mm] \vektor{ -0,5 \\ 0,5 \\ 0,5 }, a_{3} [/mm] = [mm] \vektor{ 0,5 \\ -0,5 \\ 0,5 } [/mm] $.
Und da alle linear unabhängig sind (-> weil schon die Vektoren der Matrix lin. unabh. waren), beinhaltet die Basis B auch alle drei Vektoren:
$ B := [mm] \left( \vektor{ 0,5 \\ 0,5 \\ -0,5 }, \vektor{ -0,5 \\ 0,5 \\ 0,5 }, \vektor{ 0,5 \\ -0,5 \\ 0,5 } \right) [/mm] $
Richtig so? Da fällt mir noch eine kurze Frage ein: erkennt man einen Isomorphismus daran, dass hier die Determinante der Matrix $M$ ungleich Null ist? Oder wie hast du das so schnell gesehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 So 14.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hi nochmal,
ja, dein Ergebnis sieht richtig aus !
(alles aber nur im Kopf ueberprueft)
> Da fällt mir noch eine kurze Frage ein: erkennt
> man einen Isomorphismus daran, dass hier die Determinante
> der Matrix [mm]M[/mm] ungleich Null ist? Oder wie hast du das so
> schnell gesehen?
ja, entweder ueber Determinante oder ueber den Rang der Matrix.
Ich habe vorhin schnell mal die gauss im kopf ausgefuehrt (nur letzte zeile muss veraendert werden) und gesehen, dass der rang gleich 3 ist, also die Bilder wieder linear unabhaengig sind...
(aber das ist nur ein wenig uebungssache)
viele Gruesse
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 So 14.01.2007 | | Autor: | pascal-g |
Stimmt, wenn die Matrix einen vollen Rang besitzt, dann ist es ja auch isomorph - gut zu wissen. 
Nicht schlecht... danke dir für deine Hilfe!
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