Standardnormalverteilung < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] \phi [/mm] (y) = [mm] \integral_{-\infty}^{y}{\bruch{1}{\wurzel{2\pi}} exp(-x^2 /2 ) dx} [/mm] die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
Zeigen sie, dass für y > 0 gilt:
(1 - [mm] \phi [/mm] (y)) [mm] \le \bruch{1}{\wurzel{2\pi}*y} [/mm] exp [mm] (-y^2/2) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Ok mein Ansatz sieht wie folgt aus :
(1 - [mm] \phi [/mm] (y)) = [mm] \integral_{y}^{\infty} {\bruch{1}{\wurzel{2\pi}} exp(-x^2 /2 ) dx} [/mm] = [mm] {\bruch{1}{\wurzel{2\pi}} \integral_{y}^{\infty} exp(-x^2 /2 ) dx} [/mm]
Jetzt hab ich die Stammfunktion gebildet die wie folgt aussieht
F(x) := [mm] [\bruch{-1}{x} exp(-x^2 [/mm] /2 )]
[mm] \Rightarrow {\bruch{1}{\wurzel{2\pi}} \integral_{y}^{\infty} exp(-x^2 /2 ) dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi}} [/mm] ( [mm] F(\infty) [/mm] - F(y))
[mm] =\bruch{1}{\wurzel{2\pi}} [/mm] (0 + [mm] \bruch{1}{y} [/mm] exp [mm] (-y^2/2))
[/mm]
Jetzt würde ja eig Gleichheit vorliegen kann man wegen der Stammfunktion sagen, dass [mm] F(\infty) [/mm] immernoch minimal negativ ist,dann wäre die ungleichung ja erfüllt, oder wie soll ich jetzt weitermachen?
Ich hoffe Ihr könnt mir helfen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 Do 20.01.2011 | | Autor: | dormant |
Hi!
Die Ungleichung finde ich recht interessant. Mir ist leider auf die Schnelle kein Lösungsweg eingefallen, aber ich kann was korriegeren und einen Denkanstoß geben.
> Es sei [mm]\phi[/mm] (y) =
> [mm]\integral_{-\infty}^{y}{\bruch{1}{\wurzel{2\pi}} exp(-x^2 /2 ) dx}[/mm]
> die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
> Zeigen sie, dass für y > 0 gilt:
> (1 - [mm]\phi[/mm] (y)) [mm]\le \bruch{1}{\wurzel{2\pi}*y}[/mm] exp
> [mm](-y^2/2)[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
> Ok mein Ansatz sieht wie folgt aus :
> (1 - [mm]\phi[/mm] (y)) = [mm]\integral_{y}^{\infty} {\bruch{1}{\wurzel{2\pi}} exp(-x^2 /2 ) dx}[/mm]
> = [mm]{\bruch{1}{\wurzel{2\pi}} \integral_{y}^{\infty} exp(-x^2/2 ) dx}[/mm]
Soweit so gut.
> Jetzt hab ich die Stammfunktion gebildet die wie folgt
> aussieht
> F(x) := [mm][\bruch{-1}{x} exp(-x^2[/mm] /2 )]
> [mm]\Rightarrow {\bruch{1}{\wurzel{2\pi}} \integral_{y}^{\infty} exp(-x^2 /2 ) dx}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}[/mm] ( [mm]F(\infty)[/mm] - F(y))
> [mm]=\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}[/mm] (0 + [mm]\bruch{1}{y}[/mm] exp [mm](-y^2/2))[/mm]
Das stimmt nicht. Die Dichte der Normalverteilung hat keine geschlossene Stammfunktion.
> Jetzt würde ja eig Gleichheit vorliegen kann man wegen
> der Stammfunktion sagen, dass [mm]F(\infty)[/mm] immernoch minimal
> negativ ist,dann wäre die ungleichung ja erfüllt, oder
> wie soll ich jetzt weitermachen?
So kommst du nicht weiter. Stattdessen würde ich auf beiden Seiten durch [mm] \exp(-y^2 [/mm] /2) teilen, so dass der Integrand links zu [mm] \exp((y^2-x^2)/2) [/mm] wird. Hier würde ich eine Substitution versuchen und schauen, dass ich das Integral geeignet abschätze.
> Ich hoffe Ihr könnt mir helfen
Grüße,
dormant
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