Startwert für Fixpunkt wählen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien a0 ∈ R und f : R → R eine Funktion. Ferner sei (an )n∈R die durch an+1 := f (an ) fur n ∈N rekursiv definierte Folge. Einen Punkt a ∈ R mit f (a) = a nennen wir einen Fixpunkt von f .
i) Zeigen Sie, dass man fur jeden Fixpunkt a in R von f den Startwert a0 so wahlen kann, dass lim n →∞ an = a |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
leider komme ich bei dieser Aufgabe nicht weiter. Ich habe es bereits mit Induktion versucht, da n ja über die natürlichen Zahlen läuft, jedoch ohne Erfolg.
Könnte man nicht [mm] \forall [/mm] a aus R versuchen so einen Wert zu finden? Aber wie geht man da ran?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 Do 03.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Seien a0 ∈ R und f : R → R eine Funktion.
> Ferner sei (an )n∈R die durch an+1 := f (an ) fur n
> ∈N rekursiv definierte Folge. Einen Punkt a
> ∈ R mit f (a) = a nennen wir einen Fixpunkt von f .
>
> i) Zeigen Sie, dass man fur jeden Fixpunkt a in R von f den
> Startwert a0 so wahlen kann, dass lim n →∞ an =
> a
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
>
> leider komme ich bei dieser Aufgabe nicht weiter. Ich habe
> es bereits mit Induktion versucht, da n ja über die
> natürlichen Zahlen läuft, jedoch ohne Erfolg.
>
> Könnte man nicht [mm]\forall[/mm] a aus R versuchen so einen Wert zu
> finden? Aber wie geht man da ran?
Was passiert denn, wenn du [mm]a_0=a[/mm] setzt? Wie sieht dann deine Folge [mm](a_n)_n[/mm] aus?
Viele Grüße
Rainer
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Hallo, danke für die schnelle Antwort!
Na wenn ich a0 = a setze, nimmt der Startwert a0 den Wert des Fixpunktes an. D. h. das die Folge von diesem Wert an rekursiv ausgeführt wird.
Aber geht dann nicht der Grenzwert der Folge (wenn man die Folge anders rum liest) gegen den Startwert? Wäre das umgangssprachlich richtig?
Aber wie könnte ich es dann formal korrekt beweisen, dass wenn ich für den Startwert der Funktion den Fixpunkt wähle, dass dann der Grenzwert von an gegen den Fixpunkt geht.
(oder liege ich total daneben? )
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Do 03.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo, danke für die schnelle Antwort!
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> Na wenn ich a0 = a setze, nimmt der Startwert a0 den Wert
> des Fixpunktes an. D. h. das die Folge von diesem Wert an
> rekursiv ausgeführt wird.
>
> Aber geht dann nicht der Grenzwert der Folge (wenn man die
> Folge anders rum liest) gegen den Startwert? Wäre das
> umgangssprachlich richtig?
Nicht ganz, man sagt entweder
Die Folge geht gegen ...
oder
Der Grenzwert ist ...
> Aber wie könnte ich es dann formal korrekt beweisen, dass
> wenn ich für den Startwert der Funktion den Fixpunkt wähle,
> dass dann der Grenzwert von an gegen den Fixpunkt geht.
Als erstes würde ich eine allgemeine Darstellung für alle Folgenglieder ableiten, zum Beispiel mit vollständiger Induktion.
Viele Grüße
Rainer
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