Stationärer Punkt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 Sa 18.01.2014 | | Autor: | Mathics |
| Aufgabe | Geben Sie die stationären Punkte an.
a) [mm] x^4 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] - 6xy + [mm] 3y^2
[/mm]
b) [mm] 3x^4 [/mm] + 3x^2y - [mm] y^3 [/mm] |
Hallo,
ich habe zunächst einmal [mm] f_{x} [/mm] und [mm] f_{y} [/mm] berechnet und erhielt
[mm] f_{x} [/mm] = [mm] 4x^3 [/mm] + 2x - 6y = 0
[mm] f_{y} [/mm] = -6x + 6y = 0
Danach habe ich gerechnet:
-6x + 6y = 0
y=x
Dies habe ich dann in [mm] 4x^3 [/mm] + 2x - 6y = 0 eingesetzt und erhielt 4x * [mm] (x^2-x) [/mm] = 0
Mithilfe der pq-Formel erhielt ich: x1= 1 und x2=0
Diese beiden Werte habe ich dann in x=y eingesetzt und erhielt die stationären Punkte (0|0) und (1|1).
In den Lösungen steht nun als dritter stat. Punkt (-1|-1). Der passt auch in die Gleichungen aber wieso erhalte ich den Punkt nicht durch meine Rechnung?
Ähnliches mit b)
[mm] f_{x} [/mm] = [mm] 12x^3 [/mm] + 6xy = 0
[mm] f_{y} [/mm] = [mm] 3x^2 [/mm] - [mm] 3y^2 [/mm] = 0
Auch hier erhalte ich anhand der zweiten Gleichung x=y und rechne dann [mm] 12x(x^2+1/2 [/mm] * x) = 0 und mithilfe pq erhalte ich x1= -1/2 und x2 = 0
Zusätzlich ist aber auch der Punkt (1/2 | -1/2) richtig, jedoch ergibt sich dieser Punkt nicht aus meiner Rechnung.
Meine Frage daher: Wie komme ich auf den dritten stationären Punkt? Wieso ergibt er sich nicht aus meiner Rechnung?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:08 Sa 18.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Geben Sie die stationären Punkte an.
>
> a) [mm]x^4[/mm] + [mm]x^2[/mm] - 6xy + [mm]3y^2[/mm]
> b) [mm]3x^4[/mm] + 3x^2y - [mm]y^3[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe zunächst einmal [mm]f_{x}[/mm] und [mm]f_{y}[/mm] berechnet und
> erhielt
>
> [mm]f_{x}[/mm] = [mm]4x^3[/mm] + 2x - 6y = 0
> [mm]f_{y}[/mm] = -6x + 6y = 0
>
> Danach habe ich gerechnet:
>
> -6x + 6y = 0
> y=x
>
> Dies habe ich dann in [mm]4x^3[/mm] + 2x - 6y = 0 eingesetzt und
> erhielt 4x * [mm](x^2-x)[/mm] = 0
Nein. Du bekommst [mm] 4x(x^2-1)=0
[/mm]
>
> Mithilfe der pq-Formel erhielt ich: x1= 1 und x2=0
>
> Diese beiden Werte habe ich dann in x=y eingesetzt und
> erhielt die stationären Punkte (0|0) und (1|1).
>
> In den Lösungen steht nun als dritter stat. Punkt (-1|-1).
> Der passt auch in die Gleichungen aber wieso erhalte ich
> den Punkt nicht durch meine Rechnung?
>
> Ähnliches mit b)
>
> [mm]f_{x}[/mm] = [mm]12x^3[/mm] + 6xy = 0
> [mm]f_{y}[/mm] = [mm]3x^2[/mm] - [mm]3y^2[/mm] = 0
>
> Auch hier erhalte ich anhand der zweiten Gleichung x=y
Nein. Du bekommst x=y oder x=-y.
FRED
> und
> rechne dann [mm]12x(x^2+1/2[/mm] * x) = 0 und mithilfe pq erhalte
> ich x1= -1/2 und x2 = 0
>
> Zusätzlich ist aber auch der Punkt (1/2 | -1/2) richtig,
> jedoch ergibt sich dieser Punkt nicht aus meiner Rechnung.
>
> Meine Frage daher: Wie komme ich auf den dritten
> stationären Punkt? Wieso ergibt er sich nicht aus meiner
> Rechnung?
>
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Sa 18.01.2014 | | Autor: | Mathics |
Okey, vielen Dank.
ich hab mich an dieser Aufgabe versucht:
f(x) = [mm] xy^2 [/mm] + [mm] x^3 [/mm] -xy
Die Ableitungen:
[mm] f_{x} [/mm] = [mm] y^2 [/mm] + [mm] 3x^2 [/mm] - y = 0
[mm] f_{y} [/mm] = 2xy - x = 0
Es ergibt sich aus der 2. Gleichung y = 1/2
y= 1/2 in die erste Gleichung eingesetzt ergibt x1 = 1 / [mm] \wurzel{12} [/mm] und x2 = - 1 / [mm] \wurzel{12}
[/mm]
Die stationären Punkte sind somit (1 / [mm] \wurzel{12} [/mm] | 1/2) und (- 1 / [mm] \wurzel{12} [/mm] | 1/2).
Wenn man die 2. Gleichung etwas umformt, erhält man 2x(y- 1/2) = 0, sodass x=0 und y= 1/2 rauskommt.
Wenn x=0 ist, ergibt sich in der ersten Gleichung [mm] y^2 [/mm] - y = 0 mithilfe der pq Formel y=1 und y=0
Die stationären Punkte sind somit:
(1 / [mm] \wurzel{12} [/mm] | 1/2)
(- 1 / [mm] \wurzel{12} [/mm] | 1/2)
(0|0)
(0|1)
Nun habe ich hier ja viel hin und her gerechnet. Gibt es vielleicht Tipps und Tricks wie man schneller und kompakter auf alle vier stationären Punkte kommt? Bzw. eine hilfreiche Reihenfolge der Vorgehensweise?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Sa 18.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> ich hab mich an dieser Aufgabe versucht:
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> f(x) = [mm]xy^2[/mm] + [mm]x^3[/mm] -xy
Du meinst:
[mm] f(x,y)=xy^2+x^3-xy
[/mm]
> Die Ableitungen:
>
> [mm]f_{x}[/mm] = [mm]y^2[/mm] + [mm]3x^2[/mm] - y = 0
> [mm]f_{y}[/mm] = 2xy - x = 0
>
> Es ergibt sich aus der 2. Gleichung y = 1/2
>
> y= 1/2 in die erste Gleichung eingesetzt ergibt x1 = 1 /
> [mm]\wurzel{12}[/mm] und x2 = - 1 / [mm]\wurzel{12}[/mm]
>
> Die stationären Punkte sind somit (1 / [mm]\wurzel{12}[/mm] | 1/2)
> und (- 1 / [mm]\wurzel{12}[/mm] | 1/2).
>
> Wenn man die 2. Gleichung etwas umformt, erhält man 2x(y-
> 1/2) = 0, sodass x=0 und y= 1/2 rauskommt.
>
> Wenn x=0 ist, ergibt sich in der ersten Gleichung [mm]y^2[/mm] - y =
> 0 mithilfe der pq Formel y=1 und y=0
>
> Die stationären Punkte sind somit:
>
> (1 / [mm]\wurzel{12}[/mm] | 1/2)
> (- 1 / [mm]\wurzel{12}[/mm] | 1/2)
> (0|0)
> (0|1)
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nun habe ich hier ja viel hin und her gerechnet. Gibt es
> vielleicht Tipps und Tricks wie man schneller und kompakter
> auf alle vier stationären Punkte kommt? Bzw. eine
> hilfreiche Reihenfolge der Vorgehensweise?
Ich finde es sehr gut, dass du dich damit auseinandersetzt.
Man lernt sehr viel dabei, sodass ich denke, dass man das unterschätzt.
Vorallem bei Beweisen ist es sehr sinnvoll!
Nunja, hier ist der Lösungsweg zwar richtig,
aber die Darstellung lässt es "schlecht" darstehen.
Sehr viel Argumentation, welches man in der Regel weglassen würde.
Zum Beispiel kannst du viel Argumentation durch [mm] "\Rightarrow" [/mm] wegfallen lassen.
Viel Argumentation kannst du kürzen, in dem du
von Anfang an zum Ziel "guckst".
Du schreibst auch zum Beispiel auf:
"Die Ableitungen sind: [mm] $f_x=0$"
[/mm]
Denk dadrüber nach, dann wirst du merken, dass das im Grunde, falsch ist.
Du könntest von Anfang an schreiben:
[mm] \nabla f=\vektor{y^2+3x^2-y \\ 2x(y-\frac{1}{2})}\stackrel{!}{=}0
[/mm]
>
> LG
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:03 So 19.01.2014 | | Autor: | Mathics |
Also meinst du, dass ich vor allem formal sparen kann?
Käme man denn irgendwie sofort auf diese 4 stationären Punkte, also mit nur sehr wenigen Rechenschritten? Ich mein so wie ich direkt auf die ersten 2 stationären Punkte gekommen bin.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:14 So 19.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Also meinst du, dass ich vor allem formal sparen kann?
Es gibt drei Arten der Darstellung.
1) Kurz, präzise, kaum Text.
2) Lang, ausführlich, viel Text.
3) Mischmasch
Du musst für dich entscheiden was dir gefällt.
Meistens musst du es ehe auf bestimmte Situationen begrenzen.
> Käme man denn irgendwie sofort auf diese 4 stationären
> Punkte, also mit nur sehr wenigen Rechenschritten? Ich mein
> so wie ich direkt auf die ersten 2 stationären Punkte
> gekommen bin.
Können: Ja. Müssen: Nein. 
> LG
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:44 So 19.01.2014 | | Autor: | Mathics |
> > Käme man denn irgendwie sofort auf diese 4 stationären
> > Punkte, also mit nur sehr wenigen Rechenschritten? Ich mein
> > so wie ich direkt auf die ersten 2 stationären Punkte
> > gekommen bin.
>
> Können: Ja. Müssen: Nein.
Könntest du mir dann eben den Rechenweg zeigen, wie man direkt auf die 4 stationären Punkte kommt?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 So 19.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Rechnungen, die du gemacht hast braucht man alle, da gibts keine Abkürzung. nur deine vielen Zwischentexte kann man sich sparen.
Gruss leduart
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