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Steckbriefaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:08 So 29.03.2020
Autor: Mathemurmel

Aufgabe
Habe mir die Aufgabe selbst ausgedacht, kann sie aber nicht lösen:
ges.: Fu. 3. Grades mit den vier Eigenschaften:
1) f(0) = 0
2) f '(1) = 0
3) f(2) = 0
4) f '(2) = 0

Lösungsversuch:

f(x) = a [mm] x^3 [/mm] + b x² + c x + d      f '(x) = 3 a x² + 2 b x + c

1) d = 0
2) 3 a + 2 b + c = 0
3) 8 a + 4 b + 2 c = 0     / : 2
3') 4 a + 2 b + c = 0
4) 12 a + 4 b + c = 0

3') - 2) a = 0            d.h. aber, der Grad ist nicht 3 !!!

eine passende Funktion 3. Grades gibt es aber, ich habe sie mir aufgezeichnet.
Wo liegt da mein Fehler?  Ich danke sehr für eine Hilfe!

        
Bezug
Steckbriefaufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:07 Mo 30.03.2020
Autor: chrisno

Eine LÖsung, und zwar die mit a = 0 ist f(x) = 0. Ob es noch eine weitere gibt?

Bezug
        
Bezug
Steckbriefaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:01 Mo 30.03.2020
Autor: chrisno


> Habe mir die Aufgabe selbst ausgedacht, kann sie aber nicht
> lösen:
>  ges.: Fu. 3. Grades mit den vier Eigenschaften:
>  1) f(0) = 0
>  2) f '(1) = 0
>  3) f(2) = 0
>  4) f '(2) = 0
>  Lösungsversuch:
>  
> f(x) = a [mm]x^3[/mm] + b x² + c x + d      f '(x) = 3 a x² + 2 b
> x + c
>
> 1) d = 0
>  2) 3 a + 2 b + c = 0
>  3) 8 a + 4 b + 2 c = 0     / : 2
>  3') 4 a + 2 b + c = 0
>  4) 12 a + 4 b + c = 0
>  
> 3') - 2) a = 0            d.h. aber, der Grad ist nicht 3
> !!!
>  
> eine passende Funktion 3. Grades gibt es aber, ich habe sie
> mir aufgezeichnet.
>  Wo liegt da mein Fehler?  Ich danke sehr für eine Hilfe!

Das ist der Knackpunkt, wie bist Du zu der Zeichnung gekommen?
Mit
1) f(0) = 0
2) f '(1) = 0
3) f(2) = 0
erzwingst du eine Symmetrie, die ein Polynom 3.Grades ncht haben kann.
Der Hoch- oder Tiefpunkt kan nicht genau in der Mitte zwischen zwei Nullstellen liegen.
Daher bleibt nur f(x) = 0 als Lösung.

Bezug
                
Bezug
Steckbriefaufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:02 Mo 30.03.2020
Autor: ChopSuey


>  Mit
> 1) f(0) = 0
>  2) f '(1) = 0
>  3) f(2) = 0
>  erzwingst du eine Symmetrie, die ein Polynom 3.Grades ncht
> haben kann.
> Der Hoch- oder Tiefpunkt kan nicht genau in der Mitte
> zwischen zwei Nullstellen liegen.
>  Daher bleibt nur f(x) = 0 als Lösung.

Aufgrund der angegebenen Informationen ist davon auszugehen, dass bei $x = 2$ eine doppelte Nullstelle vorliegt.

Erste Nullstelle [mm] $x_0 [/mm] = 0$ im Ursprung. Dann folgt ein Extremum bei [mm] $x_1 [/mm] = 1$ und anschließend eine doppelte Nullstelle (lokales Extremum) bei [mm] $x_2 [/mm] = 2$.


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