Steckbriefaufgaben-Lösungsweg < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Unser Mathelehrer hat uns heute folgende Aufgabe gegeben:
Gesucht ist eine Funktion mit folgenden Eigenschaften:
1.Es ist eine quadratische Funktion
2.Die Funktion besitzt eine Nullstelle bei x=1
3.Die Funktion besitzt ein Extremum beim Punkt P(4|-16)
Um die Funktion aufstellen zu können fehlt mir also die zweite Nullstelle, oder?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 Di 23.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jan-Gerrit,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Du hast völlig recht mit der 2. Nullstelle. Und wo liegt diese?
Dabei sollte man wissen, dass bei einer Parabel der Scheitelpunkt (= Extrempunkt) genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen (so denn welche existieren) liegt.
Alternativ kannst Du diese Aufgabe auch mit Differentialrechnung (Ableitung usw.) lösen. Dann benötigst Du die 2. Nullstelle nicht.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Dann liegt bei der ersten Variante die zweite Nullstelle bei x=7.
Dann kann ich jetzt folgende Funktionen aufstellen:
I f(1)=a1²+b1+c
II f(7)=a7²+b7+c
III f(4)=a4²+b4+c
Und diese ergeben dann die Gleichungen:
I a+ b+c=0
II 49a+7b+c=0
III 16a+4b+c=-16
Ausserdem habe ich ja noch die Funktion f'(4)=2a4+b mit der Gleichung 8a+b=0, mit der ich aber im Moment nichts anzufangen weiß.
Ich rechne dann:
1.) I*(-49)+II und erhalte IIa -42b-48c=0
2.) I*(-16)+III und erhalte IIIa -12b-16c=-16
3.) IIa/(-6)+IIIa/2 bekomme IV b=-8
Und jetzt kann ich mit b die Gleichungen zu den anderen Variablen hin endlich lösen, was ich mir hier aber jetzt spare^^
Was für eine Geburt.... Ist da Kind heil durch?(Kann mich jemand bei einem Fehler korrigieren?)
Wie wäre das ganze denn mit der Differentialrechnung zu lösen?
Ich hoffe, dass ganze ist jetzt in sich richtig-.-
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Disap |
Hi.
> Dann liegt bei der ersten Variante die zweite Nullstelle
> bei x=7.
>
Die Mitte von [mm] x_{N1}=0 [/mm] und [mm] x_{N2}=7 [/mm] wäre aber x = 3,5 - und nicht bei x = 4, daraus kann man schliessen, dass die zweite Nullstelle falsch ist.
> Dann kann ich jetzt folgende Funktionen aufstellen:
>
Welche Punkte hast du denn gegeben?
[mm] N_{1}(0|0)
[/mm]
Edit: Ursprünglich stand in der Aufgabenstellung von
JanGerrit: "2.Die Funktion besitzt eine Nullstelle bei x=0 " Auf diese Aussage bezieht sich meine Antwort. Nachträglich wurde die Aufgabenstellung geändert.
> I f(1)=a1²+b1+c
Demnach müsstest du hier also für x eine Null einsetzen und für's f(x) eine Null.
I f(0) = [mm] 0^{2}a+0b+c
[/mm]
0 = c
> II f(7)=a7²+b7+c
Die Sache mit der zweiten Nullstelle war ja falsch. Du musst es also noch einmal versuchen. Als kleiner Tipp, der X-Wert der zweiten Nullstelle ist größer als 3,5.
> III f(4)=a4²+b4+c
Eigentlich schreibt man:
f(4) = 16
[mm] 4a^2+4b+c [/mm] = 16
>
> Und diese ergeben dann die Gleichungen:
>
> I a+ b+c=0
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> II 49a+7b+c=0
> III 16a+4b+c=16
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ausserdem habe ich ja noch die Funktion f'(4)=2a4+b mit der
> Gleichung 8a+b=0, mit der ich aber im Moment nichts
> anzufangen weiß.
>
Das ist für die zweite Variante. Und zwar brauchst'e die zweite Nullstelle nicht, da du weisst, dass im Punkt P (siehe Aufgabenstellung) ein Extremum vorhanden ist. Die notwendige Bedingung lautet dafür
f'(x) = 0
Also hast du mit deiner aufgestellten Bedingung die dritte Gleichung der zweiten Lösungsvariante.
> Ich rechne dann:
>
> 1.) I*(-49)+III und erhalte IIa -42b-49c=0
>
> 2.) I*(-16)+III und erhalte IIIa -12b-16c=16
>
> 3.) IIa/(-7)+IIIa/2 bekomme IV -c=8 /*(-1) und erhalte IVa
> c=-8
>
> Und jetzt kann ich mit c die Gleichungen zu den anderen
> Variablen hin endlich lösen, was ich mir hier aber jetzt
> spare^^
Ich spar mir da auch etwas, und zwar das nachrechnen, da die Gleichungen ja leider leicht fehlerhaft waren. Ausserdem ist das nicht so 100%ig schön aufgeschrieben mit der Rechnung.
ABER
> I*(-49)+III und erhalte IIa -42b-49c=0
Das ist gelogen! Da hast du sicherlich nicht die dritte Gleichung genommen. Denn wo ist das "=16" ? Auch wenn du Gleichung 2 verwendet hast, würde es -42b-48c=0 lauten. Das nenne ich Pfusch 
> Was für eine Geburt.... Ist da Kind heil durch?(Kann mich
> jemand bei einem Fehler korrigieren?)
> Wie wäre das ganze denn mit der Differentialrechnung zu
> lösen?
s.o. (du bringst die Ableitung mit in deine Gleichungen: 8a+b=0 )
Als kleine Hilfe: c=0
Und es kommen schön gerade Zahlen heraus.
Haut es nun hin?
Grüße Disap
|
|
|
| |
|
Da ich aber die Nullstelle x=1 und die Extremstelle x=4 gegeben habe, muss es auch so hinkommen, wie ich's angefangen habe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:26 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo JanGerrit!
> Da ich aber die Nullstelle x=1 und die Extremstelle x=4
> gegeben habe, muss es auch so hinkommen, wie ich's
> angefangen habe.
Aber woher soll Disap denn das wissen? Schließlich hast Du oben die gegebene Nullstelle bei $x \ = \ [mm] \red{0}$ [/mm] angegeben ...
Zudem hast Du bei der ersten Gleichungsumformung einen Fehler gemacht:
[mm] $-42b-4\red{8}c [/mm] \ = \ 0$
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:34 Mi 24.08.2005 | | Autor: | JanGerrit |
Also, ich hab' mir grad' nochmal meinen ersten Post durchgelesen und mir ist aufgefallen, dass ich mich vertippt habe.
Also, die mir gegebene Nullstelle ist x=1
Und bei der Gleichung habe ich mich auch vertippt.
Ich werde das ganze noch mal kurz durchgehen und im Post selbst bearbeiten.
Ein großes Sorry an Disap und Danke Loddar für den Hinweis.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:23 Fr 26.08.2005 | | Autor: | JanGerrit |
Wir sind die Aufgabe im Unterricht durchgegangen, Loddar, dein Ergebnis ist richtig.
Vielen Dank für die Hilfe.
P. S.:Für's nächste Mal hab' ich's mir gemerkt: Vor'm abschicken nochmal lesen, ob man alles richtig eingetippt hat*schäm*
|
|
|
|
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
