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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:31 Di 14.09.2010 | | Autor: | Steffi2012 |
| Aufgabe 1 | Gesucht ist die Funktionsgleichung einer Parabel.
O(0|0) und P (2|3) sind die Punkte der Parabel, im Punkt P [im Punkt O] hat die Tangente die Steigung 2. |
| Aufgabe 2 | | Der Graph der Funktion f(x) = [mm] ax^3 [/mm] + [mm] bx^2 [/mm] + cx + d berührt im Punkt P(0|0) die x-Achse. Die Tangente im Punkt Q(-3|0) ist paralell zur Geraden f(x) = 6x. Bestimme die Faktoren a, b, c und d. |
Hallo Leute!
Wir haben gerade mit den Steckbriefaufgaben angefangen und ich bräuchte eure Hilfe.
Bei der 1. Aufgabe, habe ich schon folgende Funktionsbedigungen gefunden:
f(0) = 0 und f(2) = 3
Wenn ich beide Bedingungen in die Funktionsgleichung [mm] ax^2 [/mm] + bx + c einfüge, bekomme ich 2 Gleichungen. Jetzt fehlt mir noch eine Dritte, damit ich das Gauß'sche Eliminationsverfahren verwenden kann. Probleme habe ich um eine 3. Funktionsbedigung zu finden. Hat die Tangente was mit der 1. Ableitung zu tun? Wären diese Bedingungen richtig?
f'(2) = 2 und f'(0) = 2?
Außerdem habe ich zu der 2. Aufgabe eine Frage. Ich habe folgende Funktionsbedingungen:
f'(0) = 0
f(0) = 0
f(-3) = 0
f'(-3) = 6
Wie fahre ich nun weiter fort um zur Lösung zu kommen?
Danke schon mal für eure Hilfe!!
Lieben gruß
Steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:38 Di 14.09.2010 | | Autor: | Disap |
Hallo.
> Wir haben gerade mit den Steckbriefaufgaben angefangen und
> ich bräuchte eure Hilfe.
> Aufgabe 1)
> Gesucht ist die Funktionsgleichung einer Parabel.
> O(0|0) und P (2|3) sind die Punkte der Parabel, im Punkt P
> [im Punkt O] hat die Tangente die Steigung 2.
> Bei der 1. Aufgabe, habe ich schon folgende
> Funktionsbedigungen gefunden:
> f(0) = 0 und f(2) = 3
Genau.
> Wenn ich beide Bedingungen in die Funktionsgleichung [mm]ax^2[/mm]
> + bx + c einfüge, bekomme ich 2 Gleichungen. Jetzt fehlt
> mir noch eine Dritte, damit ich das Gauß'sche
> Eliminationsverfahren verwenden kann.
Richtig.
> Probleme habe ich um
> eine 3. Funktionsbedigung zu finden. Hat die Tangente was
> mit der 1. Ableitung zu tun?
Ja!
> Wären diese Bedingungen
> richtig?
> f'(2) = 2 und f'(0) = 2?
Ja, sie sind richtig.
>
> Aufgabe 2)
> Der Graph der Funktion f(x) = [mm] $ax^3$ [/mm] + [mm] $bx^2$ [/mm] + cx + d
> berührt im Punkt P(0|0) die x-Achse. Die Tangente im Punkt
> Q(-3|0) ist paralell zur Geraden f(x) = 6x. Bestimme die
> Faktoren a, b, c und d.
> Außerdem habe ich zu der 2. Aufgabe eine Frage. Ich habe
> folgende Funktionsbedingungen:
> f'(0) = 0
> f(0) = 0
> f(-3) = 0
> f'(-3) = 6
Stimmt ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Wie fahre ich nun weiter fort um zur Lösung zu kommen?
Ich verstehe deine Frage nicht ganz! Zu Aufgabe 1 hast du geschrieben
> Jetzt fehlt
> mir noch eine Dritte, damit ich das Gauß'sche
> Eliminationsverfahren verwenden kann.
Du kannst doch die 4 Bedingungen in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen und nach a,b,c,d auflösen - mit Gauß.
War dir das gerade nur entfallen oder gibt es da konkrete Probleme?
Viele Grüße
Disap
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Super, danke! Ich hätte nicht gedacht, dass meine Überlegungen alle richtig sind. *lach*
Ich habe jetzt die 1. Aufgabe gerechnet und folgende Werte rausbekommen:
a = 1/4
b = 1
c = 0
Die Funktionsgleichung wäre also f(x) = 1/4 [mm] x^2 [/mm] + 1x, richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 Di 14.09.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Steffi!
Das habe ich auch erhalten.
Gruß
Loddar
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Ich weiß, dass das eine dumme Frage ist. Aber wie lautet die 1. Ableitung zu dieser Funktion?
f(x) = $ [mm] ax^3 [/mm] $ + $ [mm] bx^2 [/mm] $ + cx + d
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Di 14.09.2010 | | Autor: | Disap |
> Ich weiß, dass das eine dumme Frage ist.
Nein! Wenn du sie ernst meinst, kann es keine dumme Frage sein. Mathe ist nun mal auch nicht ganz einfach...
> Aber wie lautet
> die 1. Ableitung zu dieser Funktion?
>
> f(x) = [mm]ax^3[/mm] + [mm]bx^2[/mm] + cx + d
Kannst du denn [mm] ax^3 [/mm] ableiten? Oder [mm] x^3 [/mm] ableiten? Die Ableitung von [mm] x^3 [/mm] ist [mm] $3*x^{3-1} [/mm] = [mm] 3*x^{2}$. [/mm] Dass da noch ein Vorfaktor a da steht, ändert nichts, den schreibst du bei der Ableitung schön wieder mit zu, d. h.
$g(x) = [mm] ax^3$
[/mm]
$g'(x) = [mm] a*3*x^2 [/mm] = [mm] 3ax^2$
[/mm]
Allgemein gilt (du hast gerade Exponenten 3 geschrieben) für die Ableitung von der Funktion h(x) = [mm] x^n [/mm] (hier schreibt man statt der 3 ein allgemeines "n", da kannst du jede ganze Zahl einsetzen (außer der 0) ). Für die Ableitung gilt h'(x) = [mm] n*x^{n-1}
[/mm]
haben wir ja gerade so benutzt.
Also gilt für die Ableitung von [mm] bx^2 [/mm] gerade [mm] $b*2*x^{2-1} [/mm] = [mm] 2bx^1 [/mm] = 2bx$
Beim cx kannst du dir auch [mm] $cx^{1}$ [/mm] denken, allerdings ist [mm] x^0 [/mm] gerade 1 per Definition. Somit gilt
h(x) = cx
h'(x) = c
Und eine Konstante d fällt beim Ableiten weg, d. h.
h(x) = d
h'(x) = 0
Und somit gilt für
$f(x) [mm] =ax^3 [/mm] + [mm] bx^2 [/mm] + cx + d $
$f'(x) = [mm] 3x^2+2bx+c$
[/mm]
Im übrigen habe ich hier etwas heimlich benutzt, nämlich die sogenannte Summenregel ( http://de.wikipedia.org/wiki/Summenregel )
Wenn irgendwo in deiner Funktion die Terme durch ein + getrennt werden, kannst du sie separat ableiten.
Allgemein kann man die Funktion f(x) zerlegen in zwei andere Funktionen
f(x) = h(x) +g(x)
dann gilt für die Ableitung
f'(x) = h'(x) + g'(x)
Als Beispiel nehmen wir mal
$f(x) = [mm] -5*x^{17}+3x$
[/mm]
Dann setzen wir h(x) = [mm] -5x^{17} [/mm] und g(x) = 3x
Dann gilt für die Ableitungen von h und g
$h'(x) = [mm] -5*17*x^{16} [/mm] $
$g'(x) = 3$
und deshalb gilt für
$f'(x) = [mm] -5*17*x^{16}+3$
[/mm]
Die -5 mal 17 kann man auch noch ausrechnen ;)
Glaubst du, du hasst es jetzt verstanden?
Viele Grüße
Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:01 Di 14.09.2010 | | Autor: | Steffi2012 |
Vielen lieben Dank, Disap und auch für die Mühe, die du dir gemacht hast! Ich habe alles super verstanden und mache mich jetzt mal ran an die Aufgabe. :)
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Ist es möglich, dass unendliche Lösungen gibt bzw. man eine Stufenform erhält oder habe ich was falsch gemacht?
Ich habe alles in die Funktionsbedingungen in die Funktion eingesetzt:
a*(-27) + b*9 + c*3 + d = 6 / f(-3) = 6
a*(-27) + b*9 + c*3 + d = 0 / f(-3) = 0
0 + 0 + 0 + d = 0 / f(0) = 0
0 + 0 + c = 0 / f'(0) = 0
Wenn ich die erste Zeile mit der zweiten Zeile im Gauß'schen Verfahren addieren möchte, kommt alles = 0 in der zweiten Zeile raus.
[mm] \pmat{ 1 & -1/3 & -1/9 & -1/27 & -2/9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 }
[/mm]
Die letzte Zahlenreihe ist das Ergebnis, und nicht die Variable.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:42 Mi 15.09.2010 | | Autor: | Disap |
> Ist es möglich, dass unendliche Lösungen gibt bzw. man
> eine Stufenform erhält
Nein, das kann hier nicht sein.
> oder habe ich was falsch gemacht?
Und wie...
> Ich habe alles in die Funktionsbedingungen in die Funktion
> eingesetzt:
> a*(-27) + b*9 + c*3 + d = 6 / f(-3) = 6
> a*(-27) + b*9 + c*3 + d = 0 / f(-3) = 0
Das sind nicht die Bedingungen, die du vorhin aufgeschrieben hast :(
Du hast doch geschrieben:
f(-3) = 0
f'(-3) = 6
Hier steht f STRICH. Das ist die Ableitung. Sehr ärgerlich, aber damit müsstest du wieder weiterkommen?
> 0 + 0 + 0 + d = 0 / f(0) = 0
> 0 + 0 + c = 0 / f'(0) = 0
>
> Wenn ich die erste Zeile mit der zweiten Zeile im
> Gauß'schen Verfahren addieren möchte, kommt alles = 0 in
> der zweiten Zeile raus.
>
> [mm]\pmat{ 1 & -1/3 & -1/9 & -1/27 & -2/9 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 }[/mm]
>
> Die letzte Zahlenreihe ist das Ergebnis, und nicht die
> Variable.
Disap
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