Steighöhe durch Strömung < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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Hi,
zunächst mal die Aufgabe:
"Man hält ein rechtwinklig gebogenes, beiderseits offenes Glasrohr in strömendes Wasser mit einer freien, unter Atmosphärendruck stehenden Oberfläche.
In dem senkrecht stehenden Schenkel steigt das Wasser um 30cm über die Oberfläche der strömenden Flüssigkeit. Wie groß ist die Geschwindigkeit der Strömung?
Jetz hab ich schon x - Ansätze durch, aber mit keinem komm ich weiter.
Bei der Bernoulli Gleichung (http://de.wikipedia.org/math/299491e54b3b2d1c00fc5f4ffd307633.png)weiß ich nicht, welche Drücke da eingehen bzw. was für die zweite Geschwindigkeit gilt oder ob die hier überhaupt anwendbar ist.
Auch mit der Kontinuitätsgleichung komm ich nicht wirklich weiter, wodurch ich mit meinem Latein am Ende bin.
Ich wünscht ich könnte mehr sagen. Für jeglichen Stoß in die richtige Richtung wär ich extrem dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:22 Mo 31.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo steelscout!!
Der Ansatz über die Bernoulli-Gleichung ist doch ganz gut:
[mm] $\bruch{\rho * v_1^2}{2} [/mm] + [mm] p_1 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\rho * v_2^2}{2} [/mm] + [mm] p_2 [/mm] \ $
Mit etwas Umformen erhalten wir:
$ [mm] \bruch{v_1^2}{2*g} [/mm] + [mm] \bruch{p_1}{\rho*g} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{v_2^2}{2*g} [/mm] + [mm] \bruch{p_2}{\rho*g}$ $(\star)$
[/mm]
Unsere ablesbare (bzw. gemessene) Druckhöhendifferenz beträgt: [mm] $\bruch{p_1 - p_2}{\rho * g} [/mm] \ = \ 0,30m$
Wenn wir nun noch einsetzen in [mm] $(\star)$, [/mm] daß gilt: [mm] $v_i [/mm] = [mm] \bruch{Q_i}{A_i}$ [/mm] und etwas umformen, erhalten wir:
$Q \ = \ [mm] \wurzel{\bruch{p_1 - p_2}{\rho * g} * \bruch{2*g}{\left( \bruch{1}{A_2^2} - \bruch{1}{A_1^2} \right)}}$
[/mm]
Unter der Annahme, daß [mm] $A_1$ [/mm] im Vergleich zur Glasröhre unendlich groß ist, wird [mm] $\bruch{1}{A_1^2} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 0$
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
$Q \ = \ [mm] \wurzel{\bruch{ p_1 - p_2}{\rho * g} * \bruch{2*g}{\left( \bruch{1}{A^2} - 0 \right)}}$
[/mm]
$Q \ = \ [mm] \wurzel{A^2 * \bruch{p_1 - p_2}{\rho * g} * 2*g}$
[/mm]
$Q \ = \ A * [mm] \wurzel{\bruch{p_1 - p_2}{\rho * g} * 2*g}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $\bruch{Q}{A} [/mm] \ = \ v \ = [mm] \wurzel{\bruch{p_1 - p_2}{\rho * g} * 2*g}$
[/mm]
Damit haben wir auch gleich die Formel $v \ = [mm] \wurzel{2*g*h}$ [/mm] gezeigt.
Nun noch Zahlen einsetzen ... fertig.
Alle Klarheiten beseitigt?
Loddar
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Klarheiten beseitigt trifft es gut, das muss ich nochmal in Ruhe durchgehen, aber spontan stellten sich mir folgende Fragen:
Wo kommt das g her?
Was wird mit Q bezeichnet?
Und die Entstehung von $ Q \ = \ [mm] \wurzel{\bruch{p_1 - p_2}{\rho \cdot{} g} \cdot{} \bruch{2\cdot{}g}{\left( \bruch{1}{A_2^2} - \bruch{1}{A_1^2} \right)}} [/mm] $ bereitet mir demzufolge Probleme.
Auf jeden Fall schonmal danke.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 Mo 31.01.2005 | | Autor: | Loddar |
N'Abend steelscout!
> Wo kommt das g her?
[mm] $\bruch{\rho * v_1^2}{2} [/mm] + [mm] p_1 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\rho * v_2^2}{2} [/mm] + [mm] p_2 [/mm] $
Ich nehme unsere Bernoulli-Gleichung und teile durch $g$ und [mm] $\rho$ [/mm] und erhalte somit meine Gleichung [mm] $(\star)$:
[/mm]
[mm] $\bruch{v_1^2}{2*g} [/mm] + [mm] \bruch{p_1}{\rho*g} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{v_2^2}{2*g} [/mm] + [mm] \bruch{p_2}{\rho*g}$
[/mm]
> Was wird mit Q bezeichnet?
Die Größe $Q$ gibt den Durchfluß bzw. die Durchflußmenge an
(Einheit: $1 [mm] \bruch{m^3}{s}$).
[/mm]
Zudem gilt: $Q \ = \ v * A$ mit $v$ als (mittlerer) Fließgeschwindigkeit sowie $A$ als Fließquerschnitt (d.h. Querschnittsfläche).
> Und die Entstehung von [mm]Q \ = \ \wurzel{\bruch{p_1 - p_2}{\rho \cdot{} g} \cdot{} \bruch{2\cdot{}g}{\left( \bruch{1}{A_2^2} - \bruch{1}{A_1^2} \right)}}[/mm]
> bereitet mir demzufolge Probleme.
[mm] $\bruch{v_1^2}{2*g} [/mm] + [mm] \bruch{p_1}{\rho*g} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{v_2^2}{2*g} [/mm] + [mm] \bruch{p_2}{\rho*g}$
[/mm]
[mm] $\bruch{\left(\bruch{Q}{A_1}\right)^2}{2*g} [/mm] + [mm] \bruch{p_1}{\rho*g} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\left(\bruch{Q}{A_2}\right)^2}{2*g} [/mm] + [mm] \bruch{p_2}{\rho*g}$
[/mm]
[mm] $\bruch{p_1}{\rho*g} [/mm] - [mm] \bruch{p_2}{\rho*g} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\left(\bruch{Q}{A_2}\right)^2}{2*g} [/mm] - [mm] \bruch{\left(\bruch{Q}{A_1}\right)^2}{2*g}$
[/mm]
[mm] $\bruch{p_1 - p_2}{\rho*g} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\bruch{Q^2}{A_2^2}}{2*g} [/mm] - [mm] \bruch{\bruch{Q^2}{A_1^2}}{2*g} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\bruch{Q^2}{A_2^2} - \bruch{Q^2}{A_1^2}}{2*g} [/mm] \ = \ [mm] Q^2 [/mm] * [mm] \bruch{\bruch{1}{A_2^2} - \bruch{1}{A_1^2}}{2*g}$
[/mm]
Daraus folgt dann meine o.g. Gleichung:
$Q \ = \ [mm] \wurzel{\bruch{p_1 - p_2}{\rho * g} * \bruch{2*g}{\left( \bruch{1}{A_2^2} - \bruch{1}{A_1^2} \right)}}$
[/mm]
Nun klar(er) ??
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:13 Mo 31.01.2005 | | Autor: | steelscout |
> Nun klar(er) ??
Ja, jetz kann ich es jetzt nachvollziehen, obwohl mir schleierhaft ist, wie ich da selber drauf kommen sollte.
Thx nochma.
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Hallo Steelscout,
eine andere Lösung wäre, dass du von folgendem Modell ausgehst:
alle ankommenden Wasserteilchen kommen mit v in die Röhre, steigen nach oben (30cm über die Oberfläche) und fallen dann wieder zurück nach unten.
Dann ist die kinetische Energie der ankommenden Wassermoleküle gleich der potentiellen Energie des Wassers an der Oberfläche, d.h.
[mm]\frac{mv^2}{2}=mg\cdot30cm[/mm].
Diese Sichtweise funktioniert öfters.
Z.B. fließt das Wasser in einem Gefäß aus einem Loch, sagen wir 10cm unterhalb der Füllhöhe, mit exakt derselben Geschwindigkeit aus, als wenn das Wasser die 10cm im freien Fall zurückgelegt hätte.
Hugo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:26 Di 01.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hugo!
Dein Weg ist natürlich viel eleganter als mein Weg !! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Ich hatte so etwas ähnliches schon geahnt, als ich in meiner Lösung auch (endlich) bei der Formel $v \ = \ [mm] \wurzel{2*g*h}$ [/mm] angelangt war ...
Vielen Dank
Loddar
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Hallo Loddar,
vielen Dank für die Blumen. Ich glaube man kann diese Sichtweise häufig benutzen. Drin steckt ja die Tatsache, dass keine Energie im Medium verloren geht (durch inelastische Stöße).
Die Bernoulli-Gleichung geht ja auch von einem reibungsfreiem Fluid aus.
Hugo
PS: Ohne deinen Hinweis hätte ich mich aber nie getraut, einen solchen banalen Lösungsweg vorzuschlagen. Deshalb ziehe auch ich vor deiner Leistung meinen Hut.
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