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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 So 07.01.2007 | | Autor: | Sonja- |
| Aufgabe | Gegeben sind die reellen Funktionen
fk: x [mm] \mapsto fk_{x}, [/mm] Dfk = [mm] \IR
[/mm]
fk(x) = [mm] \bruch{1}{k} [/mm] (x³-12x+16)+3x-6 mit k [mm] \in \IR [/mm] \ {0}
Der Graph einer solchen Funktion [mm] f_{k} [/mm] in einem kartesischen Koordinatensystem heißt [mm] G_f_{k}.
[/mm]
1.1 Weisen Sie nach, daß alle Graphen [mm] G-f_{k} [/mm] an der Stelle [mm] x_{1} [/mm] = 2 dieselbe Steigung haben, eine entsprechende Aussage aber nicht für die Stelle [mm] x_{2} [/mm] = -4 gilt.
1.2 Zeigen Sie, daß an den Stellen [mm] x_{1} [/mm] = 2 und [mm] x_{2} [/mm] = -4 die Funktionswerte der Funktion [mm] f_{k} [/mm] von k unabhängig sind.
Interpretieren Sie dieses Ergebnis in Verbindung mit den Ergebnissen aus Teilaufgabe 1.1 geometrisch.
1.3 Ermitteln Sie die Anzahl der Punkte des Graphen [mm] G_f_{k} [/mm] mit waagrechter Tangente in Abhängigkeit von k.
1.4 Berechnen Sie nun den wert von k so, daß die zugehörige Funktion fk an der Stelle [mm] x_{3} [/mm] = -1 ein relatives Extremum besitzt. Geben Sie auch Art dieses Extremums an.
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Bei 1.1 habe ich leider überhaupt keine Ahnung wie ich da beginnen soll.
zu 1.2
Ich habe die zwei x in die Funktion eingesetzt. Das ergibt [mm] f_{k2} [/mm] = 0 und
[mm] f_{k-4} [/mm] = -18
0 [mm] \not= [/mm] -18 --> Die Funktionswerte sind unabhängig.
Bei 1.3 muss man die Scheitelpunkte berechnen?!?
Und bei 1.4 habe ich auch keinen Durchblick.
So eine Aufgaben oder so eine ähnliche haben wir noch nie in der Schule gerechnet.
ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben sind die reellen Funktionen
> fk: x [mm]\mapsto fk_{x},[/mm] Dfk = [mm]\IR[/mm]
> fk(x) = [mm]\bruch{1}{k}[/mm] (x³-12x+16)+3x-6 mit k [mm]\in \IR[/mm] \ {0}
>
> Der Graph einer solchen Funktion [mm]f_{k}[/mm] in einem
> kartesischen Koordinatensystem heißt [mm]G_f_{k}.[/mm]
>
> 1.1 Weisen Sie nach, daß alle Graphen [mm]G-_{f_{k}}[/mm] an der Stelle
> [mm]x_{1}[/mm] = 2 dieselbe Steigung haben, eine entsprechende
> Aussage aber nicht für die Stelle [mm]x_{2}[/mm] = -4 gilt.
>
Was heißt Steigung im Schaubild? Woher bekommst Du die Steigung?
Zeichne mal Schaubilder [mm] $G_k$ [/mm] für verschiedene Werte von $k$ und in ein neues Koordinatensystem Schaubilder der Ableitungsfunktion von [mm] $f_k$, [/mm] also Schaubilder von $f'_k$. Dann kannst Du klar erkennen, dass Alle Graphen für [mm] $x=\pm [/mm] 2$ identische Steigungen haben!
Lösung: Es ist so.
> 1.2 Zeigen Sie, daß an den Stellen [mm]x_{1}= 2 [/mm] und [mm]x_{2}= -4 [/mm]
> die Funktionswerte der Funktion [mm]f_{k}[/mm] von $k$ unabhängig
> sind.
> Interpretieren Sie dieses Ergebnis in Verbindung mit den
> Ergebnissen aus Teilaufgabe 1.1 geometrisch.
Faktorisiere mal den Funktionsterm oder wähle [mm] $k_1 \neq k_2$ [/mm] und rechne [mm] f_{k_1} = f_{k_2}[/mm] oder rechne [mm] $f_{-4} [/mm] und [mm] $f_{2}$ [/mm] aus. Dann hast Du es schon.
Wie gesagt, zeichne mal die Graphen verschiedener $k$!
>
> 1.3 Ermitteln Sie die Anzahl der Punkte des Graphen [mm]G_f_{k}[/mm]
> mit waagrechter Tangente in Abhängigkeit von k.
Wie beeinflusst $k$ den Kurvenverlauf? Kannst Du das in Worten beschreiben?
Was bedeutet "waagrechte Tangente" für den Kurvenverlauf? "Scheitel" ist das falsche Wort. Den hat man bei Parabeln zweiter Ordnung.
Tipp: Steigung und --> siehe 1.1
>
> 1.4 Berechnen Sie nun den wert von k so, daß die zugehörige
> Funktion fk an der Stelle [mm]x_{3}= -1[/mm] ein relatives Extremum
> besitzt. Geben Sie auch Art dieses Extremums an.
Zeichne mal das Schaubild [mm] $G_3$ [/mm] und überlege, wie ich dazu komme.
>
> Bei 1.1 habe ich leider überhaupt keine Ahnung wie ich da
> beginnen soll.
siehe oben
>
> zu 1.2
> Ich habe die zwei x in die Funktion eingesetzt. Das ergibt
> [mm]f_{k2}[/mm] = 0 und
> [mm]f_{k-4}[/mm] = -18
>
> 0 [mm]\not=[/mm] -18 --> Die Funktionswerte sind unabhängig.
Was bedeutet das für die Schar der Graphen [mm] $G_k$?
[/mm]
>
> Bei 1.3 muss man die Scheitelpunkte berechnen?!?
Nein. Extrempunkte in Abhängigkeit von $k$. Tipp: Die Radikanden sollten größer oder gleich Null sein.
>
> Und bei 1.4 habe ich auch keinen Durchblick.
>
> So eine Aufgaben oder so eine ähnliche haben wir noch nie
> in der Schule gerechnet.
Und? Ist vielleicht Sinn und Zweck der Übung? Es wird Abituraufgaben am Ende Deiner Schullaufbahn geben, die habt ihr auch noch nicht gerechnet. Du musst mit unvorhergesehenem zurechtkommen und nicht gleich den Kopf in den Sand stecken. Wenn Du in diesem Forum Antworten willst, musst Du mehr Ansätze mitliefern. Deshalb fallen meine Tipps dürftig aus.
Gruß
mathemak
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