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| Aufgabe | Sei u: [mm] [0,\infty) \to \IR [/mm] zweimal differenzierbar und
u'(0) = 0, u''(0) >0 und u'' >= 0.
Zeigen sie, dass u(x) [mm] \to \infty [/mm] für x [mm] \to \infty [/mm] |
Hallo,
ich brauche mal wieder Hilfe bei einer Aufgabe.
Also aus den ersten beiden Angaben folgt ja, dass u bei x=0 ein Minimum besitzt. Und u'' >= 0 heißt, dass u niemals fällt. Ist das soweit richtig?
Und dann habe ich wie immer das Problem, dass ich nicht weiß, wie ich das formal korrekt aufschreibe. Bin dankbar für jede Hilfe
Gruß, Hans
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei u: [mm][0,\infty) \to \IR[/mm] zweimal differenzierbar und
> u'(0) = 0, u''(0) >0 und u'' >= 0.
> Zeigen sie, dass u(x) [mm]\to \infty[/mm] für x [mm]\to \infty[/mm]
> Also aus den ersten beiden Angaben folgt ja, dass u bei
> x=0 ein Minimum besitzt.
Hallo,
ja, bei 0 hat u ein isoliertes lokales Minimum.
Also ist die Funktion für x [mm] \ge [/mm] 0 nicht konstant.
> Und u'' >= 0 heißt, dass u niemals fällt. Ist das soweit richtig?
Nein. [mm] u''\ge [/mm] 0 heißt, daß u' niemals fällt. Es sagt aber zunächst nichts darüber aus, ob u' positiv oder negativ ist.
Jetzt wissen wir aber, daß u bei 0 ein isoliertes lokales Minimum hat. Also gibt es ein a>0 mit u(a)>u(0).
Aus dem Mittelwertsatz kannst Du schließen, daß es ein [mm] x_0>0 [/mm] gibt mit [mm] u'(x_0)>0.
[/mm]
Weil u'' [mm] \ge [/mm] 0, weißt Du nun etwas über die Steigung von u rechts von [mm] x_0.
[/mm]
Du kannst mit dem Mittelwertsatz zeigen, daß für alle [mm] x>x_0 [/mm] u(x) oberhalb der Geraden durch [mm] (x_0, u(x_0)) [/mm] mit Steigung [mm] u'(x_0) [/mm] liegt.
Gruß v. Angela
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Hallo und danke für die Antwort.
Also wenn ich das richtig verstanden habe, folgt aus dem Mittelwertsatz, dass
es ein x0 gibt mit u'(x0) gleich der Steigung der Sekante durch (beispielweise)
(0,0) und (a, u(a)).
Und da u'' >=0 , weiß ich, dass ab x0 der Graph immer steigt, oder?
Den letzten Satz habe ich leider nicht ganz verstanden.
Gruß, Hans
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> Und da u'' >=0 , weiß ich, dass ab x0 der Graph immer
> steigt, oder?
Ja,
aber das Steigen des Graphen allein macht's noch nicht. Er könnte sich ja asymptotisch einer oberen Schranke nähern, und daß das nicht der Fall ist, gilt es zu zeigen.
> Den letzten Satz habe ich leider nicht ganz verstanden.
Nimm an, daß es einen Punkt x' gibt, so daß u(x') unterhalb dieser Geraden liegt. Mit dem Mittelwertsatz erfährst du etwas über eine Steigung zwischen [mm] x_0 [/mm] und der Stellle, die Du betrachtest. Etwas, was im Widerspruch zu u'(x) [mm] \ge u'(x_0) [/mm] steht...
Gruß v. Angela
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