Steigungsw., Verh. im Unendl. < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:49 Di 18.03.2008 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung
f(x) = (x-2)(x²+6x+9)
a) Bestimmen Sie den Steigungswinkel der Wendetangente
b) Wie verhält sich die Funktion für x -> [mm] \pm \infty [/mm] |
Hallo Zusammen,
a) ich habe den Wendepunkt bestimmt, dieser liegt bei [mm] W(-\bruch{4}{3} [/mm] | -9,3)
In diesem Punkt fällt der Graph also, um den Steigunswinkel zu berechnen, müsste es doch nun heissen:
tan [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{x}{y} [/mm] = [mm] \bruch{-\bruch{4}{3}}{-9,3} [/mm] = 0,14 -> [mm] \alpha [/mm] = 8,2°
stimmt das Ergebnis, oder muss ich es andersherum betrachten, da der Steigungswinkel gefragt ist?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Wendetangente würde wie folgt lauten:
y = -8,3x - 20,36
b)
[mm] \lim_{x \to -\infty}x³+4x²-3x-18 [/mm] = [mm] \lim_{n \to -\infty}x³ [/mm] + [mm] \lim_{n \to -\infty}4x² [/mm] - [mm] \lim_{n \to -\infty}3x [/mm] - 18 = [mm] -\infty
[/mm]
wegen den x³ läuft die Funktion gegen [mm] -\infty, [/mm] da die Addition von x² und x nichts ausmacht. Im Endeffekt muss man doch nur prüfen, was das x mit der höchsten Potenz macht, oder?
[mm] \lim_{x \to +\infty}x³+4x²-3x-18 [/mm] = [mm] \lim_{n \to +\infty}x³ [/mm] + [mm] \lim_{n \to +\infty}4x² [/mm] - [mm] \lim_{n \to +\infty}3x [/mm] - 18 = [mm] +\infty
[/mm]
Vielen Dank.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo!
> Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung
> f(x) = (x-2)(x²+6x+9)
>
> a) Bestimmen Sie den Steigungswinkel der Wendetangente
> b) Wie verhält sich die Funktion für x -> [mm]\pm \infty[/mm]
>
> Hallo Zusammen,
>
> a) ich habe den Wendepunkt bestimmt, dieser liegt bei
> [mm]W(-\bruch{4}{3}[/mm] | -9,3)
>
> In diesem Punkt fällt der Graph also, um den Steigunswinkel
> zu berechnen, müsste es doch nun heissen:
>
> tan [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{x}{y}[/mm] = [mm]\bruch{-\bruch{4}{3}}{-9,3}[/mm] =
> 0,14 -> [mm]\alpha[/mm] = 8,2°
>
> stimmt das Ergebnis, oder muss ich es andersherum
> betrachten, da der Steigungswinkel gefragt ist?
Hallo!
Das stimmt nicht ganz. Wenn du einfach nur einen Punkt einsetzt, bekämst du die Steigung, die eine Ursprungsgrade hätte, die ebenfalls durch diesen Punkt ginge. Oder, noch ein Argument: Es gibt doch zahlreiche Funktionen, die durch diesen einen Punkt gehen. haben die dann alle den gleichen Winkel?
Allerdings bist du schon auf dem richtigen Weg. In der Grafik ist x und y angegeben, besser wäre aber [mm] $\Delta [/mm] x$ und [mm] $\Delta [/mm] y$ .Dann wird aus deiner Formel:
[mm] \tan\alpha\approx\bruch{\red{\Delta}x}{\red{\Delta}y}
[/mm]
und wenn du dich an den Differenzenquotienten erinnerst:
[mm] \tan\alpha=f'(x)
[/mm]
Du benutzt also die Steigung der Wendetangente.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
>
> Die Wendetangente würde wie folgt lauten:
>
> y = -8,3x - 20,36
Das ist möglich, ich habs nicht nachgerechnet.
>
>
> b)
>
> [mm]\lim_{x \to -\infty}x³+4x²-3x-18[/mm] = [mm]\lim_{n \to -\infty}x³[/mm] +
> [mm]\lim_{n \to -\infty}4x²[/mm] - [mm]\lim_{n \to -\infty}3x[/mm] - 18 =
> [mm]-\infty[/mm]
>
> wegen den x³ läuft die Funktion gegen [mm]-\infty,[/mm] da die
> Addition von x² und x nichts ausmacht. Im Endeffekt muss
> man doch nur prüfen, was das x mit der höchsten Potenz
> macht, oder?
Richtig! Du hast hier x³ mit positivem Vorzeichen (!), dann kommt die Funktion aus dem neg. unendlichen und geht ins pos. unendliche.
>
> [mm]\lim_{x \to +\infty}x³+4x²-3x-18[/mm] = [mm]\lim_{n \to +\infty}x³[/mm] +
> [mm]\lim_{n \to +\infty}4x²[/mm] - [mm]\lim_{n \to +\infty}3x[/mm] - 18 =
> [mm]+\infty[/mm]
>
>
> Vielen Dank.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Di 18.03.2008 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
> > a) ich habe den Wendepunkt bestimmt, dieser liegt bei
> > [mm]W(-\bruch{4}{3}[/mm] | -9,3)
> >
> > In diesem Punkt fällt der Graph also, um den Steigunswinkel
> > zu berechnen, müsste es doch nun heissen:
> >
> > tan [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{x}{y}[/mm] = [mm]\bruch{-\bruch{4}{3}}{-9,3}[/mm] =
> > 0,14 -> [mm]\alpha[/mm] = 8,2°
> >
> > stimmt das Ergebnis, oder muss ich es andersherum
> > betrachten, da der Steigungswinkel gefragt ist?
> Hallo!
>
> Das stimmt nicht ganz. Wenn du einfach nur einen Punkt
> einsetzt, bekämst du die Steigung, die eine Ursprungsgrade
> hätte, die ebenfalls durch diesen Punkt ginge. Oder, noch
> ein Argument: Es gibt doch zahlreiche Funktionen, die durch
> diesen einen Punkt gehen. haben die dann alle den gleichen
> Winkel?
>
> Allerdings bist du schon auf dem richtigen Weg. In der
> Grafik ist x und y angegeben, besser wäre aber [mm]\Delta x[/mm] und
> [mm]\Delta y[/mm] .Dann wird aus deiner Formel:
>
> [mm]\tan\alpha\approx\bruch{\red{\Delta}x}{\red{\Delta}y}[/mm]
>
> und wenn du dich an den Differenzenquotienten erinnerst:
>
>
> [mm]\tan\alpha=f'(x)[/mm]
>
> Du benutzt also die Steigung der Wendetangente.
somit würde sich ergeben tan [mm] \alpha [/mm] = -8,3 -> [mm] \alpha [/mm] = -83,1°
Man berechnet also zur Bestimmung des Steigungswinkel in einem bestimmten Punkt, die Steigung durch die erste Ableitung im Punkt x und durch [mm] tan^{-1}, [/mm] den Winkel bestimmen, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:59 Di 18.03.2008 | | Autor: | M.Rex |
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> Man berechnet also zur Bestimmung des Steigungswinkel in
> einem bestimmten Punkt, die Steigung durch die erste
> Ableitung im Punkt x und durch [mm]tan^{-1},[/mm] den Winkel
> bestimmen, oder?
Hallo.
Genau so ist es. Wobei mit [mm] tan^{-1} [/mm] auf dem TR der Arkustangens gemeint ist, die Umkehrfunktion des Tangens
Marius
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Hallo!
Ich muß da nochmal ne kleine Korrektur bei mir anbringen.
Die Steigung ist [mm] f'(x)=\frac{\Delta y}{\Delta x}
[/mm]
Dann ist [mm] \alpha [/mm] in [mm] \tan\alpha=\frac{\Delta y}{\Delta x} [/mm] der Winkel zwischen der Funktion bzw Tangente in dem Punkt und einer waagerechten Graden. Das ist der Winkel, der oben links in dem Dreick in der Zeichnung zu sehen ist.
Oben stand versehendlich [mm] \frac{\Delta x}{\Delta y} [/mm] , das ist nicht die Steigung, sondern [mm] \frac{1}{f'(x)}
[/mm]
Das [mm] \alpha [/mm] in [mm] \tan\alpha=\frac{1}{f'(x)} [/mm] ist dann der Winkel zwischen der Funktion und einer SENKRECHTEN Graden, also auch der Winkel, der hier eingezeichnet wurde.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Di 18.03.2008 | | Autor: | itse |
> Hallo!
>
> Ich muß da nochmal ne kleine Korrektur bei mir anbringen.
>
> Die Steigung ist [mm]f'(x)=\frac{\Delta y}{\Delta x}[/mm]
>
> Dann ist [mm]\alpha[/mm] in [mm]\tan\alpha=\frac{\Delta y}{\Delta x}[/mm]
> der Winkel zwischen der Funktion bzw Tangente in dem Punkt
> und einer waagerechten Graden. Das ist der Winkel, der oben
> links in dem Dreick in der Zeichnung zu sehen ist.
>
> Oben stand versehendlich [mm]\frac{\Delta x}{\Delta y}[/mm] , das
> ist nicht die Steigung, sondern [mm]\frac{1}{f'(x)}[/mm]
>
> Das [mm]\alpha[/mm] in [mm]\tan\alpha=\frac{1}{f'(x)}[/mm] ist dann der
> Winkel zwischen der Funktion und einer SENKRECHTEN Graden,
> also auch der Winkel, der hier eingezeichnet wurde.
somit hab ich den falschen Winkel berechnet, den rechts unten, ich muss aber den links oben berechenen und somit dreht sich das Verhältnis um, und es steht da [mm] \bruch{y}{x}, [/mm] oder?
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Richtig! Aber du hast da ein rechtwinkliges Dreieck, die beiden Winkel links und unten ergeben zusammen 90 Grad. Du kannst deinen Wert also einfach von 90 abziehen, das ist schneller und einfacher.
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