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Forum "Schul-Analysis" - Steigungswinkel einer Geraden
Steigungswinkel einer Geraden < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Steigungswinkel einer Geraden: Aufgabe verstehen?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:58 Fr 21.07.2006
Autor: Wurzelchen

Aufgabe
Gegeben ist die Gerade g, die durch die Punkte A(-1/8) und b(4/-2) verläuft.
a) Gib den Steigungswinkel von g an.
b) Welchen Abstand hat der Mittelpunkt M der Strecke PQ mit P(1/-20) und Q (5/5) von der Geraden g?

Die Gerade g konnte ich über die Zwei-Punkte-Form bestimmen (obwohl wohl gar nicht gesucht...): g(x) = -2x+6.

Meine Formelsammlung nennt mir für den Steigungwinkel die Formel:

[mm] m=tan \alpha = \bruch{y_2-y_1}{x_2-x_1}[/mm]

[mm]tan \alpha = -2[/mm] bringt mir im Taschenrechner aber eine Fehlermeldung.
Wo liegt der Denkfehler - die Gerade ist fallend...ist das das Problem?

Den Punkt M konnte ich auch mit der Formelsammlung bestimmen: M(3/-7,5)
Auch für den Abstand finde ich dort eine Formel, wofür ich die Gerade in die Hauptform L(x,y)=-2x-y+6=0 bringen muß.

Allerdings hat die Formel für den Abstand dann zwei Lösungen. Warum?

Abstand des Punktes [mm]P(x_o/y_o)[/mm] von der Geraden L(x,y)=0:
[mm] d=l(x_o/y_o)=\bruch{Ax_o + By_o +C}{\pm\wurzel{A^2+B^2}}[/mm]

eingesetzt erhalte ich dann für den Abstand [mm] d=\pm\bruch{7,5}{\wurzel{5}}=\pm 3,35 [/mm]

Ist das richtig? Wenn ja, warum zwei Lösungen?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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Steigungswinkel einer Geraden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:08 Fr 21.07.2006
Autor: Teufel

Hi.
1.
Meiner zeigt mir ca. -63,435° an! Vielleicht nur vertippt oder so... oder dein Taschenrechner ist gebuggt :D
Aber da man das so nicht angibt ist der Anstiegswinkel 180°-63,435°=116,565°.

2.
Naja ich weiss nicht, welche Formel du da genommen hast, aber angenommen deine Ergebnisse wären richtig: Abstände können ja imemr nur positiv sein! Also kannst du das andere Ergebnis vernachlässigen.



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Bezug
Steigungswinkel einer Geraden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:22 Fr 21.07.2006
Autor: Wurzelchen

OK - kann wohl meinen Taschenrechner nicht bedienen.

Würde aber trotzdem gerne verstehen, warum die zitierte Formel dann zwei Lösungen bringt, wenn die negative Lösung sinnlos ist.

Muss das ja auch erklären können:-)

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Steigungswinkel einer Geraden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:37 Fr 21.07.2006
Autor: Teufel

b) Welchen Abstand hat der Mittelpunkt M der Strecke PQ mit P(1/-20) und Q (5/5) von der Geraden g?

Naja ich würde es nicht nach Formel machen (auch wenn das schneller geht ;) ).

Mittelpunkt ist bei M(3|-7,5).
g(x)=-2x+6

Jetzt müsste man das Lot von M auf g fällen (und die Gleichung des Lots dazu erstma ausrechnen).
Das Lot steht ja genau senkrecht auf g, das heißt, dass der Anstieg des Lots [mm] -\bruch{1}{m_{g}}= \bruch{1}{2} [/mm] ist. Da M auf dem Lot liegt, könnte man daraus die Funktionsgleichung des Lots bestimmen.
Danach müsstest du das Lot mit der Geraden g schneiden.
Danach hast du 2 Punkte und kannst mit dem Pythagoras den Abstand bestimmen.
Vielleicht nicht ganz so bequem wie eine Formel, aber ich finde es ist gut nachzuvollziehen und man kann das auch besser erklären :)

Aber dennoch gilt immer, dass Längen, Abstände etc.  nie negativ sein können, und dort deshalb immer negative Ergebnisse wegfallen.

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Steigungswinkel einer Geraden: idee
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:02 Fr 21.07.2006
Autor: tathy

Hallo.

falls du den kürzesten abstand vom Punkt M ausrechnen willst (d.h. d muss minimal sein) kann man die aufgabe als extremwertproblem sehen.

Wir rechnen solche Aufgaben immer so:
Funktion: f(x)=-2x+6
Punkt: M(3|-7,5)
Nebenbedingung: d(x,y)= [mm] \wurzel{(3-x)^{2}+(-7,5+y)^{2}} [/mm]  (erklärung: formel für die länge der strecke, in unserem fall für den abstand der minimal werden soll)
Um die Zielfunktion mit nur einer Unbekannten zu erhalten, musst du jetzt für y=-2x+6 einsetzen. Dann erhälst du d(x) (tipp: eine quadratische gleichung; die Wurzel kann hier vernachlässigt werden, da sich der x-wert des Extrempunkts nicht ändert, wenn man die Wurzel zieht -> du bildest [mm] (d(x)^{2}) [/mm]

Gesucht ist jetzt der Punkt, indem x minimal ist, d.h. der Tiefpunkt der Parabel.
1. Schritt:  d(x) ableiten und gleich 0 setzen
2. Schritt: d(x) ein zweites mal ableiten, um zu überprüfen, ob es ein Tiefpunkt ist (Bedingung: d''(X)>0)
dann hast du den punkt auf der geraden g gefunden, der denn gerinsten Abstand zu M hat. Dann nur noch einsetzen und die Länge der Strecke
(den Abstand) ausrechnen.

...ist leider sehr umständlich, aber ne möglichkeit wäre es, oder?? (aber nur wenn der kleinste abstand gesucht ist!!)

gruß tathy

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Steigungswinkel einer Geraden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:32 Fr 21.07.2006
Autor: Teufel

Hoi.
Naja, der kleinste Abstand ist ja gerade dieses Lot :) aber eine Möglichkeit wär's auch.

Bezug
        
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Steigungswinkel einer Geraden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:26 Sa 22.07.2006
Autor: Zwerglein

Hi, teufelchen,

> Abstand des Punktes [mm]P(x_o/y_o)[/mm] von der Geraden L(x,y)=0:
>  [mm]d=l(x_o/y_o)=\bruch{Ax_o + By_o +C}{\pm\wurzel{A^2+B^2}}[/mm]
>  
> eingesetzt erhalte ich dann für den Abstand
> [mm]d=\pm\bruch{7,5}{\wurzel{5}}=\pm 3,35[/mm]
>  
> Ist das richtig? Wenn ja, warum zwei Lösungen?

Das [mm] \pm [/mm] im Nenner heißt nicht, dass Du BEIDE Vorzeichen für die Lösung verwenden sollst!
Du musst vielmehr das Vorzeichen der Konstante C anschauen:
Ist C > 0, musst Du im Nenner "-" verwenden; ist C < 0, musst Du entsprechend "+" verwenden.

Am Ende erhältst Du für d eine Zahl, die positiv ODER negativ ist;
in jedem Fall aber ist der ABSTAND POSITIV, also: Abstand = |d|.

Wozu aber dann die "Qual" mit dem Vorzeichen?
Ganz einfach: Es sagt aus, auf WELCHER SEITE der Geraden g der Punkt Q liegt:
Ist d < 0, so liegt der Punkt auf derselben Seite der Geraden wie der Ursprung;
ist d > 0 liegen Q und der Ursprung auf verschiedenen Seiten von g.

mfG!
Zwerglein

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Steigungswinkel einer Geraden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:24 Sa 22.07.2006
Autor: Teufel

Hoi :) jetzt hast du unsere beiden Namen wohl vermixt! (Wurzelchen + Teufel :D)
Aber dennoch eine Sache, die ich auch noch nicht wusste! Also was man aus dem + oder - ableiten kann.

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Steigungswinkel einer Geraden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:17 Sa 22.07.2006
Autor: Zwerglein

Hi, Teufel,

> Hoi :) jetzt hast du unsere beiden Namen wohl vermixt!
> (Wurzelchen + Teufel :D)

Stimmt!
Tut mir leid! [peinlich]

mfG!
Zwerglein

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