Stereographische Projektion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Mo 09.05.2011 | | Autor: | Nadia.. |
| Aufgabe | Hallo Ihr Mathematiker,
Leite die Formel für die stereographische Projektion [mm] $\phi: \mathbb{\overline{C}} \to \mathbb{S}^2$ [/mm] und ihre Umkehrung [mm] $\xi: \mathbb{S}^2 \to \mathbb{\overline{C}} [/mm] $ her.
Die stereographische Projektion kann folgendermaßen beschrieben werden:
[mm] $\phi: \mathbb{\overline{C}} \to \mathbb{S}^2$
[/mm]
[mm] $\infty \to [/mm] (0,0,1)$
$z [mm] \to \phi(z) [/mm] $
wobei für $z = x + i y [mm] \in \mathbb{C}$ [/mm] die Schnittpunktmenge der Geraden in [mm] $R^3$ [/mm] durch (0; 0; 1)
und (x; y; 0) mit [mm] $\mathbb{S}^2$ [/mm] die Menge $ [mm] \{\phi(z), (0, 0,1)\}$ [/mm] gemeint ist. |
Für die Herleitung brauchen wir eine Kugel.
Sei also
[mm] $\mathbb{S}^2 [/mm] = [mm] \{(a,b,c)\in R^3; a^2+b^2+(c-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4} \}$ [/mm] die Kugeloberfläche in [mm] $R^3$ [/mm] Mit Mittelpunkt (0,0,1/2) und Radius 1/2. Der Nordpol = 1.
Die Eben ist dann $(x,iy,0)$
Dann ist die Abbildung
[mm] $\phi(\infty)= [/mm] (0,0,1) $
[mm] $\phi(z)= \frac{1}{1+|z|^2}*(x,iy,|z|^2) [/mm] $
Die gesuchte geometrische Projektion.
Ist das mit der Herleitung gemeint ?
Viele grüße
Nadia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:05 Di 10.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Ihr Mathematiker,
> Leite die Formel für die stereographische Projektion
> [mm]\phi: \mathbb{\overline{C}} \to \mathbb{S}^2[/mm] und ihre
> Umkehrung [mm]\xi: \mathbb{S}^2 \to \mathbb{\overline{C}}[/mm] her.
> Die stereographische Projektion kann folgendermaßen
> beschrieben werden:
> [mm]\phi: \mathbb{\overline{C}} \to \mathbb{S}^2[/mm]
> [mm]\infty \to (0,0,1)[/mm]
>
> [mm]z \to \phi(z)[/mm]
>
> wobei für [mm]z = x + i y \in \mathbb{C}[/mm] die Schnittpunktmenge
> der Geraden in [mm]R^3[/mm] durch (0; 0; 1)
> und (x; y; 0) mit [mm]\mathbb{S}^2[/mm] die Menge [mm]\{\phi(z), (0, 0,1)\}[/mm]
> gemeint ist.
> Für die Herleitung brauchen wir eine Kugel.
> Sei also
>
> [mm]\mathbb{S}^2 = \{(a,b,c)\in R^3; a^2+b^2+(c-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4} \}[/mm]
> die Kugeloberfläche in [mm]R^3[/mm] Mit Mittelpunkt (0,0,1/2) und
> Radius 1/2. Der Nordpol = 1.
> Die Eben ist dann [mm](x,iy,0)[/mm]
Besser: [mm](x,y,0)[/mm]
>
> Dann ist die Abbildung
> [mm]\phi(\infty)= (0,0,1) [/mm]
> [mm]\phi(z)= \frac{1}{1+|z|^2}*(x,iy,|z|^2)[/mm]
Nein. Richtig: [mm]\phi(z)= \frac{1}{1+|z|^2}*(x,y,|z|^2)[/mm]
>
> Die gesuchte geometrische Projektion.
>
> Ist das mit der Herleitung gemeint ?
Du hast nichts hergeleitet !!!!!
FRED
>
>
> Viele grüße
>
> Nadia
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Di 10.05.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Hallo Fred,
schön von dir zu hören.
Nun zu meiner Frage:
Ich habe die Lösung in einem Buch gefunden, aber habe ein Problem mit der Umkehrbildung und den Schnitt der Gerade mit dem Kugel.
Also, wenn wir die Gerade mit $g(z)=(a(t),b(t),c(t))$ Parametrisieren,
und den schnitt der Punkte bestimmen, dann soll erhalten wir :
[mm] $a=\frac{x}{1+x^2+y^2},b=\frac{y}{1+x^2+y^2},c=\frac{x^2+y^2}{1+x^2+y^2}$
[/mm]
Wie hat man hier den Schnitt bestimmt?
Ich weiß,dass das durch einsetzten ist, aber was und wie löst man die Gleichung auf ?
Nun zu meinem zweiten Problem,wie kann ich die Umkehrabbildung herleiten?
Viele Grüße und besten Dank
Nadia..
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[mm]z = x + \operatorname{i}y \mapsto (a,b,c) \ \ \text{mit} \ \ a = \frac{x}{1 + |z|^2} \, , \ b = \frac{y}{1 + |z|^2} \, , \ c = \frac{|z|^2}{1 + |z|^2}[/mm]
Löse die letzte Gleichung nach [mm]|z|^2[/mm] auf und setze das in die erste und zweite Gleichung ein. Die lassen sich dann leicht nach [mm]x,y[/mm] auflösen, und man erhält hübsch einfache Formeln. Und schon hast du die Umkehrabbildung
[mm](a,b,c) \mapsto z = x + \operatorname{i}y[/mm]
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