Stet. Fkt. nicht vollständig < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige: (C[0,1], || [mm] ||_1) [/mm] ist nicht vollständig. |
Ich habe mir zu obiger Aufgabe einen Beweis im Internet angeschaut, verstehe den folgenden Schritt jedoch nicht.
" Für [mm] n\ge{2} [/mm] definieren wir [mm] f_n(x)=\begin{cases} 0, & 0\le{x}<\bruch{1}{2} \\ n(x-\bruch{1}{2}), & \bruch{1}{2}\le{x}<\bruch{1}{2}+\bruch{1}{n}:=a_n \\ 1, & a_n\le{x}\le{1}
\end{cases} [/mm] "
Wie genau kommt man darauf, [mm] f_n(x) [/mm] genauso zu definieren?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:43 Di 15.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Zeige: (C[0,1], || [mm]||_1)[/mm] ist nicht vollständig.
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> Ich habe mir zu obiger Aufgabe einen Beweis im Internet
> angeschaut, verstehe den folgenden Schritt jedoch nicht.
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> " Für [mm]n\ge{2}[/mm] definieren wir [mm]f_n(x)=\begin{cases} 0, & 0\le{x}<\bruch{1}{2} \\ n(x-\bruch{1}{2}), & \bruch{1}{2}\le{x}<\bruch{1}{2}+\bruch{1}{n}:=a_n \\ 1, & a_n\le{x}\le{1}
\end{cases}[/mm]
> "
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> Wie genau kommt man darauf, [mm]f_n(x)[/mm] genauso zu definieren?
Diese Frage lässt sich kaum beantworten. Irgend ein schlauer Mensch hat sich hingesetzt und getüftelt bis er (sie) das passende Beispiel hatte. Erfahrung gehört natürlich auch dazu.
FRED
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Gäbe es zur Lösung der Aufgabe eventuell noch einen anderen Lösungsweg, bei dem die Rechenschritte offensichtlicher wären? C[0,1] ist ja ein normierter Raum bzgl. der Norm, aber eben nicht vollsätndig, dass heißt das nicht jede Cauchyfolge konvergieren muss. Wie könnte ich das am besten formalisieren?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:57 Di 15.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gäbe es zur Lösung der Aufgabe eventuell noch einen
> anderen Lösungsweg, bei dem die Rechenschritte
> offensichtlicher wären?
Der Lösungsweg ist immer der gleiche:
Finde eine Cauchyfolge [mm] (f_n) [/mm] in (C([0,1]), [mm] ||*||_1) [/mm] so, dass es kein f [mm] \in [/mm] C([0,1]) gibt mit:
[mm] ||f_n-f||_1 \to [/mm] 0.
Die mir bekannten Konstruktionen solcher Folgen sind alle nicht "offensichtlich".
> C[0,1] ist ja ein normierter Raum
> bzgl. der Norm, aber eben nicht vollsätndig, dass heißt
> das nicht jede Cauchyfolge konvergieren muss. Wie könnte
> ich das am besten formalisieren?
Was meinst Du damit ?
FRED
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Ich weiß das ich eine Cauchyfolge finden muss die gegen [mm] \not=0 [/mm] konvergiert, nur wie du bereits sagtest, die Konstruktion solch einer Folge ist sicher nicht einfach. Mir fällt eben keine solche ein.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:09 Di 15.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich weiß das ich eine Cauchyfolge finden muss die gegen
> [mm]\not=0[/mm] konvergiert, nur wie du bereits sagtest, die
> Konstruktion solch einer Folge ist sicher nicht einfach.
> Mir fällt eben keine solche ein.
Das muß Dir auch nicht. Obige Folge [mm] (f_n) [/mm] hat die gewünschte Eigenschaft.
FRED
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Folgendes muss aber noch gezeigt werden: [mm] \parallel \integral_{0}^{1}{(f_n(x)-f(x)) dx}\parallel [/mm] geht nicht gegen 0, da hänge ich gerade.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:35 Di 15.11.2011 | | Autor: | kamaleonti |
gelöscht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Di 15.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Hier
https://matheraum.de/read?i=838199
habe ich dargelegt, dass man mit der punktweiden Konvergenz nicht argumentieren kann.
Annahme: es gibt ein f [mm] \in [/mm] C[0,1] mit:
[mm] ||f_n-f||_1 \to [/mm] 0.
Die Definition von [mm] f_n [/mm] liefert:
[mm] ||f_n-f||_1= \integral_{0}^{1/2}{|f| dx}+\integral_{1/2}^{1/2+1/n}{|n(x-1/2)-f| dx}+\integral_{1/2+1/n}^{1}{|1-f|dx} \ge \integral_{0}^{1/2}{|f| dx}+\integral_{1/2+1/n}^{1}{|1-f|dx} [/mm] .
Wir setzen [mm] c_n:= \integral_{0}^{1/2}{|f| dx}+\integral_{1/2+1/n}^{1}{|1-f|dx} [/mm] und [mm] I_n:=\integral_{1/2+1/n}^{1}{|1-f|dx} [/mm] .
Damit haben wir:
0 [mm] \le c_n \le ||f_n-f||_1.
[/mm]
Damit ist [mm] (c_n) [/mm] eine Nullfolge.
Weiter gilt: [mm] I_n \to \integral_{1/2}^{1}{|1-f|dx} [/mm] .
Dies zeigt: [mm] \integral_{0}^{1/2}{|f| dx}+\integral_{1/2}^{1}{|1-f|dx} [/mm] = 0.
Folglich ist
[mm] \integral_{0}^{1/2}{|f| dx}=0 [/mm] und [mm] \integral_{1/2}^{1}{|1-f|dx} [/mm] = 0.
Daraus folgt dann:
f=0 auf [0,1/2] und f=1 auf [1/2,1]
Das ist aber gewaltiger Quark.
FRED
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Wenn man [mm] f_n [/mm] bereits gegeben hat ist es kein Problem, aber das Finden eines passenden [mm] f_n [/mm] bereitet mir Schwieirigkeiten. Du hast es jetzt auch von meinem ersten Post übernommen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:49 Di 15.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Wenn man [mm]f_n[/mm] bereits gegeben hat ist es kein Problem, aber
> das Finden eines passenden [mm]f_n[/mm] bereitet mir
> Schwieirigkeiten. Du hast es jetzt auch von meinem ersten
> Post übernommen.
Wenn ich Dich richtig verstehe, willst Du ein bombensicheres Kochrezept, wie man soche Folgen [mm] (f_n) [/mm] findet.
Dazu kann ich nur sagen: solch ein Kochrezept gibt es nicht.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:43 Di 15.11.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Einfaches Gegenbeispiel:
[mm] f_n(x)=x^n,
[/mm]
ist Cauchyfolge [mm] (n\geq m\Rightarrow \int_0^1x^n-x^m dx=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{m+1}) [/mm] und konvergiert punktweise gegen die Funktion
[mm] f(x)=\begin{cases}0, & 0\leq x<1\\1, & x=1\end{cases}
[/mm]
Dieses f ist nicht stetig und liegt daher nicht in C([0,1]), insbesondere ist C([0,1]) mit der angegebenen Metrik nicht vollständig.
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:59 Di 15.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Einfaches Gegenbeispiel:
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> [mm]f_n(x)=x^n,[/mm]
>
> ist Cauchyfolge [mm](n\geq m\Rightarrow \int_0^1x^n-x^m dx=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{m+1})[/mm]
> und konvergiert punktweise gegen die Funktion
>
> [mm]f(x)=\begin{cases}0, & 0\leq x<1\\1, & x=1\end{cases}[/mm]
>
> Dieses f ist nicht stetig und liegt daher nicht in
> C([0,1]), insbesondere ist C([0,1]) mit der angegebenen
> Metrik nicht vollständig.
>
> LG
Hallo Kamaleonti,
obige Folge [mm] (f_n) [/mm] ist kein Gegenbeispiel !
Setzt man f: [mm] \equiv [/mm] 0 , so hat man:
[mm] ||f_n-f||_1= \integral_{0}^{1}{x^n dx}= \bruch{1}{n+1} \to [/mm] 0 (n [mm] \to \infty).
[/mm]
[mm] (f_n) [/mm] konv. also in der [mm] L^1 [/mm] - Norm gegen f.
Der Grund für Deinen Irrtum: Konvergenz von [mm] (f_n) [/mm] gegen f in der [mm] L^1 [/mm] - Norm zieht i.a. nicht die punktweise Konvergenz gegen f auf [0,1] nach sich.
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:10 Di 15.11.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo fred97,
> obige Folge [mm](f_n)[/mm] ist kein Gegenbeispiel !
Ups. Danke für die Korrektur!
> Der Grund für Deinen Irrtum: Konvergenz von [mm](f_n)[/mm] gegen f
> in der [mm]L^1[/mm] - Norm zieht i.a. nicht die punktweise
> Konvergenz gegen f auf [0,1] nach sich.
Stimmt, war ja eigentlich klar ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]") .
LG
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