Stetig ergänzbar < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie [mm]c \in \IR[/mm], so dass die Funktion
[mm]h: \IR \to \IR, x \mapsto \begin{cases}
\frac{exp(x)-1}{x} & x \neq 0 \\
c & x =0 \\
\end{cases}[/mm]
stetig auf [mm]\IR[/mm] ist. Begründen Sie die Stetigkeit von [mm]h[/mm] ausführlich. |
Okay, ich hätte jetzt gesagt:
[mm]\frac{exp(x)-1}{x}[/mm]
[mm]=\bruch{\sum_{k=0}^\infty \bruch{x^k}{k!}-1}{x}[/mm]
[mm]=\bruch{\sum_{k=1}^\infty \bruch{x^k}{k!}}{x}[/mm]
[mm]=\sum_{k=1}^\infty \bruch{x^{k-1}}{k!}[/mm]
Dann ist:
[mm]
\lim_{x \to 0} \sum_{k=1}^\infty \frac{x^{k-1}}{k!}[/mm]
[mm]=\lim_{x \to 0} \left(x^0+\sum_{k=2}^\infty \frac{x^{k-1}}{k!}\right)[/mm]
[mm]=1 + 0 = 1[/mm]
Wenn also c=1 ist, dann ist die Funktion stetig. Ist das richtig, und wenn ja, reicht das? Ausführlich kommentiert ist das ja jetzt nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:53 Fr 20.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Bestimmen Sie [mm]c \in \IR[/mm], so dass die Funktion
>
> [mm]h: \IR \to \IR, x \mapsto \begin{cases}
\frac{exp(x)-1}{x} & x \neq 0 \\
c & x =0 \\
\end{cases}[/mm]
>
> stetig auf [mm]\IR[/mm] ist. Begründen Sie die Stetigkeit von [mm]h[/mm]
> ausführlich.
> Okay, ich hätte jetzt gesagt:
>
> [mm]\frac{exp(x)-1}{x}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{\sum_{k=0}^\infty \bruch{x^k}{k!}-1}{x}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{\sum_{k=1}^\infty \bruch{x^k}{k!}}{x}[/mm]
>
> [mm]=\sum_{k=1}^\infty \bruch{x^{k-1}}{k!}[/mm]
>
> Dann ist:
>
> [mm]
\lim_{x \to 0} \sum_{k=1}^\infty \frac{x^{k-1}}{k!}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]=\lim_{x \to 0} \left(x^0+\sum_{k=2}^\infty \frac{x^{k-1}}{k!}\right)[/mm]
>
> [mm]=1 + 0 = 1[/mm]
>
Das am Ende finde ich nicht eindeutig genug.
Probiere direkt den Grenzwert zu berechnen!
Tipp: L'Hospital
> Wenn also c=1 ist, dann ist die Funktion stetig. Ist das
> richtig, und wenn ja, reicht das? Ausführlich kommentiert
> ist das ja jetzt nicht.
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:02 Fr 20.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> > Bestimmen Sie [mm]c \in \IR[/mm], so dass die Funktion
> >
> > [mm]h: \IR \to \IR, x \mapsto \begin{cases}
\frac{exp(x)-1}{x} & x \neq 0 \\
c & x =0 \\
\end{cases}[/mm]
>
> >
> > stetig auf [mm]\IR[/mm] ist. Begründen Sie die Stetigkeit von [mm]h[/mm]
> > ausführlich.
> > Okay, ich hätte jetzt gesagt:
> >
> > [mm]\frac{exp(x)-1}{x}[/mm]
> >
> > [mm]=\bruch{\sum_{k=0}^\infty \bruch{x^k}{k!}-1}{x}[/mm]
> >
> > [mm]=\bruch{\sum_{k=1}^\infty \bruch{x^k}{k!}}{x}[/mm]
> >
> > [mm]=\sum_{k=1}^\infty \bruch{x^{k-1}}{k!}[/mm]
> >
> > Dann ist:
> >
> > [mm]
\lim_{x \to 0} \sum_{k=1}^\infty \frac{x^{k-1}}{k!}[/mm]
>
>
>
> >
> > [mm]=\lim_{x \to 0} \left(x^0+\sum_{k=2}^\infty \frac{x^{k-1}}{k!}\right)[/mm]
>
> >
> > [mm]=1 + 0 = 1[/mm]
> >
>
> Das am Ende finde ich nicht eindeutig genug.
>
> Probiere direkt den Grenzwert zu berechnen!
> Tipp: L'Hospital
"einfacher": Differentialquotient!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:00 Fr 20.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen Sie [mm]c \in \IR[/mm], so dass die Funktion
>
> [mm]h: \IR \to \IR, x \mapsto \begin{cases}
\frac{exp(x)-1}{x} & x \neq 0 \\
c & x =0 \\
\end{cases}[/mm]
>
> stetig auf [mm]\IR[/mm] ist. Begründen Sie die Stetigkeit von [mm]h[/mm]
> ausführlich.
> Okay, ich hätte jetzt gesagt:
>
> [mm]\frac{exp(x)-1}{x}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{\sum_{k=0}^\infty \bruch{x^k}{k!}-1}{x}[/mm]
>
> [mm]=...[/mm]
das geht einfacher:
[mm] $\lim_{x \to 0}\frac{\exp(x)-1}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{\exp(x)-\exp(0)}{x}=\exp\,'(0)=\exp(0)=1\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:10 Fr 20.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Marcel,
> das geht einfacher:
>
> [mm]\lim_{x \to 0}\frac{\exp(x)-1}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{\exp(x)-\exp(0)}{x}=\exp\,'(0)=\exp(0)=1\,.[/mm]
>
> Gruß,
> Marcel
Wow, super elegant, ich bin echt beeindruckt irgendwie 
Das werde ich wohl nicht so schnell vergessen, danke!
Liebe Grüße
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:13 Fr 20.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> > das geht einfacher:
> >
> > [mm]\lim_{x \to 0}\frac{\exp(x)-1}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{\exp(x)-\exp(0)}{x}=\exp\,'(0)=\exp(0)=1\,.[/mm]
>
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Wow, super elegant, ich bin echt beeindruckt irgendwie
> Das werde ich wohl nicht so schnell vergessen, danke!
eigentlich müssen wir uns bei Fred bedanken, denn früher dachte ich hier
auch immer direkt an de l'Hôpital (aber ich habe Freds Hinweis irgendwann
verinnerlicht; der meinte nämlich, dass das etwas zu viel mit Kanonen auf
Spatzen geschossen sei - und er hat ja auch recht). 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:18 Fr 20.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hey,
> Hallo,
>
> > Hallo Marcel,
> >
> > > das geht einfacher:
> > >
> > > [mm]\lim_{x \to 0}\frac{\exp(x)-1}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{\exp(x)-\exp(0)}{x}=\exp\,'(0)=\exp(0)=1\,.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Gruß,
> > > Marcel
> >
> > Wow, super elegant, ich bin echt beeindruckt irgendwie
> > Das werde ich wohl nicht so schnell vergessen, danke!
>
> eigentlich müssen wir uns bei Fred bedanken, denn früher
> dachte ich hier
> auch immer direkt an de l'Hôpital (aber ich habe Freds
> Hinweis irgendwann
> verinnerlicht; der meinte nämlich, dass das etwas zu viel
> mit Kanonen auf
> Spatzen geschossen sei - und er hat ja auch recht).
>
> Gruß,
> Marcel
Das finde ich echt amüsant, denn ich wollte erst sowas schreiben wie "das ist ja ne Antwort ala Fred", aber ich habe es gelassen, da ich das ein bisschen "gemein" empfunden habe, aber nun ist es raus
Fröhliche Grüße
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:47 Fr 20.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey,
>
> > Hallo,
> >
> > > Hallo Marcel,
> > >
> > > > das geht einfacher:
> > > >
> > > > [mm]\lim_{x \to 0}\frac{\exp(x)-1}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{\exp(x)-\exp(0)}{x}=\exp\,'(0)=\exp(0)=1\,.[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Gruß,
> > > > Marcel
> > >
> > > Wow, super elegant, ich bin echt beeindruckt irgendwie
> > > Das werde ich wohl nicht so schnell vergessen,
> danke!
> >
> > eigentlich müssen wir uns bei Fred bedanken, denn früher
> > dachte ich hier
> > auch immer direkt an de l'Hôpital (aber ich habe Freds
> > Hinweis irgendwann
> > verinnerlicht; der meinte nämlich, dass das etwas zu
> viel
> > mit Kanonen auf
> > Spatzen geschossen sei - und er hat ja auch recht).
>
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Das finde ich echt amüsant, denn ich wollte erst sowas
> schreiben wie "das ist ja ne Antwort ala Fred", aber ich
> habe es gelassen, da ich das ein bisschen "gemein"
> empfunden habe, aber nun ist es raus
was wäre daran gemein? Ehre, wem Ehre gebührt.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:04 Fr 20.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > Hallo Marcel,
> >
> > > das geht einfacher:
> > >
> > > [mm]\lim_{x \to 0}\frac{\exp(x)-1}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{\exp(x)-\exp(0)}{x}=\exp\,'(0)=\exp(0)=1\,.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Gruß,
> > > Marcel
> >
> > Wow, super elegant, ich bin echt beeindruckt irgendwie
> > Das werde ich wohl nicht so schnell vergessen, danke!
>
> eigentlich müssen wir uns bei Fred bedanken, denn früher
> dachte ich hier
> auch immer direkt an de l'Hôpital (aber ich habe Freds
> Hinweis irgendwann
> verinnerlicht; der meinte nämlich, dass das etwas zu viel
> mit Kanonen auf
> Spatzen geschossen sei - und er hat ja auch recht).
>
> Gruß,
> Marcel
Hallo Marcel,
damit auch andere erfahren, wovon die Rede ist, betrechten wir mal die folgende Aufgabe:
Berechne die Grenzwerte
a) [mm] \limes_{x \rightarrow 0}\bruch{\ln(x+1)}{x};
[/mm]
b) [mm] \limes_{x \rightarrow 0}\bruch{\sin(x)}{x};
[/mm]
c) [mm] \limes_{x \rightarrow 0}\bruch{\cos(x)-1}{x}.
[/mm]
Die Spatzen sind die Grenzwerte, die zu berechnen sind. Die meisten werden Herrn L'Hospital bemühen, um die Grenzwerte zu berechnen. Das kann man so machen. Herr L'Hospital ist die Kanone.
Setzen wir in a) [mm] $f(x)=\ln(x+1)$, [/mm] in b) $f(x)= [mm] \sin(x)$ [/mm] und in c) [mm] $f(x)=\cos(x)$.
[/mm]
Benutzt man die Kanone, so muss man sich vergewissern, dass f in einer Ungebung von [mm] x_0=0 [/mm] differenzierbar ist, und dass der Grenzwert
[mm] \limes_{\xi\rightarrow 0}f'(\xi) [/mm]
existiert. Ich habe absichtlich den Buchstaben [mm] \xi [/mm] verwendwet. Warum ? Darum: [mm] \xi [/mm] kommt vom Mittelwertsatz und mit diesem Satz wird die Kanone bewiesen.
Ohne Kanone lassen sich alle 3 Grenzwerte (und auch in vielen anderen Fällen) so berechnen:
[mm] $\limes_{x \rightarrow 0}\bruch{f(x)}{x}= \limes_{x \rightarrow 0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0)$.
[/mm]
Was wird hier benötigt ? Nur die Differenzierbarkeit von f in 0 !!
Noch etwas: ohne Differentialrechnung kann man die obigen Limites auch mit folgendem Stetigkeitsargument in den Griff bekommen:
Ist $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n [/mm] $ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R>0 , D:=(-R,R) $ [mm] (D=\IR, [/mm] $ falls R = $ [mm] \infty) [/mm] $ und
s(x)= $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n [/mm] $ für x $ [mm] \in [/mm] $ D,
so ist s auf D stetig. Insbesondere ist $ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}s(x)=s(0)=a_0. [/mm] $
Und noch etwas: gegeben seien 2 Funktionen $f,g:U [mm] \to \IR$, [/mm] wobei $U$ eine Umgebung von [mm] x_0=0 [/mm] sei.
Weiter sei $f(0)=g(0)=0$, $g(x) [mm] \ne [/mm] 0$ für $x [mm] \in [/mm] U [mm] \setminus \{0\}$ [/mm] und f und g seien in 0 differenzierbar und es sei $g'(0) [mm] \ne [/mm] 0$
Zu berechnen ist
[mm] \limes_{x \rightarrow 0}\bruch{f(x)}{g(x)}.
[/mm]
Für die Kanone braucht man noch einiges zusätzlich an Voraussetzungen, was ich jetzt nicht diskutieren will.
Ohne Kanone:
[mm] \limes_{x \rightarrow 0}\bruch{f(x)}{g(x)}= \limes_{x \rightarrow 0}\bruch{f(x)-f(0)}{g(x)-g(0)} [/mm] = [mm] \limes_{x \rightarrow 0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}*\bruch{x-0}{g(x)-g(0)}= \bruch{f'(0)}{g'(0)}.
[/mm]
So, nun bleibt mir nur noch eines:
allen hier im Forum wünsche ich schöne Weihnachten und (jetzt schon) ein gutes neues Jahr 2014.
Grüße FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:08 Fr 20.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen Sie [mm]c \in \IR[/mm], so dass die Funktion
>
> [mm]h: \IR \to \IR, x \mapsto \begin{cases}
\frac{exp(x)-1}{x} & x \neq 0 \\
c & x =0 \\
\end{cases}[/mm]
>
> stetig auf [mm]\IR[/mm] ist. Begründen Sie die Stetigkeit von [mm]h[/mm]
> ausführlich.
> Okay, ich hätte jetzt gesagt:
>
> [mm]\frac{exp(x)-1}{x}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{\sum_{k=0}^\infty \bruch{x^k}{k!}-1}{x}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{\sum_{k=1}^\infty \bruch{x^k}{k!}}{x}[/mm]
>
> [mm]=\sum_{k=1}^\infty \bruch{x^{k-1}}{k!}[/mm]
>
> Dann ist:
>
> [mm]
\lim_{x \to 0} \sum_{k=1}^\infty \frac{x^{k-1}}{k!}[/mm]
>
> [mm]=\lim_{x \to 0} \left(x^0+\sum_{k=2}^\infty \frac{x^{k-1}}{k!}\right)[/mm]
hier musst Du noch eine Begründung finden, warum
[mm] $\lim_{x \to 0}\sum_{k=2}^\infty \frac{x^{k-1}}{k!}=0$
[/mm]
gilt - sonst ist das unvollständig. Hast Du eine Idee? (Ansonsten ganz weit
nach unten scrollen!)
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Elementare Idee:
O.E. nimm' $|x| < [mm] 1\,$ [/mm] an, dann gilt:
[mm] $\sum_{k=2}^\infty \frac{x^{k-1}}{k!} \le \sum_{k=\red{1}}^\infty x^k=\frac{x}{1-x}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:18 Fr 20.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie [mm]c \in \IR[/mm], so dass die Funktion
>
> [mm]h: \IR \to \IR, x \mapsto \begin{cases}
\frac{exp(x)-1}{x} & x \neq 0 \\
c & x =0 \\
\end{cases}[/mm]
>
> stetig auf [mm]\IR[/mm] ist. Begründen Sie die Stetigkeit von [mm]h[/mm]
> ausführlich.
> Okay, ich hätte jetzt gesagt:
>
> [mm]\frac{exp(x)-1}{x}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{\sum_{k=0}^\infty \bruch{x^k}{k!}-1}{x}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{\sum_{k=1}^\infty \bruch{x^k}{k!}}{x}[/mm]
>
> [mm]=\sum_{k=1}^\infty \bruch{x^{k-1}}{k!}[/mm]
>
> Dann ist:
>
> [mm]
\lim_{x \to 0} \sum_{k=1}^\infty \frac{x^{k-1}}{k!}[/mm]
>
> [mm]=\lim_{x \to 0} \left(x^0+\sum_{k=2}^\infty \frac{x^{k-1}}{k!}\right)[/mm]
>
> [mm]=1 + 0 = 1[/mm]
>
> Wenn also c=1 ist, dann ist die Funktion stetig. Ist das
> richtig, und wenn ja, reicht das? Ausführlich kommentiert
> ist das ja jetzt nicht.
Ich würde das so kommentieren:
Ist [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n [/mm] eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R>0 , D:=(-R,R) [mm] (D=\IR, [/mm] falls R = [mm] \infty) [/mm] und
f(x)= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n [/mm] für x [mm] \in [/mm] D,
so ist f auf D stetig. Insbesondere ist [mm] \limes_{x\rightarrow 0}f(x)=f(0)=a_0.
[/mm]
FRED
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