Stetig ergänzen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
kann mir einer bei der Funktion
[mm] f(x)=\bruch{e^{x^2}-1}{x^2*e^{x^2}} [/mm] helfen diese stetig fortzusetzen ?
Das es hier um x=0 als Lücke geht ist klar aber ich finde leider keine Möglichkeit so umzuformen das das [mm] x^2 [/mm] aus dem Nenner verschwindet. Habe schon [mm] x^2 [/mm] ausklammern versucht aber das bringt leider nichts.
Danke und habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:21 Sa 04.07.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo tunetemptation!
Da für den Grenzwert [mm] $x\rightarrow [/mm] 0$ der Fall [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] vorliegt, kannst Du  de l'Hospital anwenden.
Gruß
Loddar
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Als Ergebnis: [mm] \bruch{1}{x^2+1}
[/mm]
Das ist dann also mein stetig fortgesetze funktion ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Sa 04.07.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo tunetemptation!
> Als Ergebnis: [mm]\bruch{1}{x^2+1}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Und nun die Grenzwertbetrachtung [mm] $x\rightarrow [/mm] 0$ .
Gruß
Loddar
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Mittels h-methode erhalte ich für den GW von links 1 und für den GW von rechts 1. Also ist die funktion somit beschtätigt ?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Sa 04.07.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo tunetemptation!
Was für eine Funktion? Du suchst einen Funktionswert (= eine feste Zahl!) und keine Funktion.
Gruß
Loddar
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Aufgabe war : Zeigen sie , dass f an der Stelle 0 zu einer auf ganz R def. Funktion f* stetig ergänzbar ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Sa 04.07.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo tunetemptation!
Dann ist das gesuchte Ergebnis eine fallweise definierte Funktion:
[mm] $$f^\star(x) [/mm] \ = \ [mm] \begin{cases} f(x), & \mbox{für } x \ \not= \ 0 \mbox{ } \\ ... \ , & \mbox{für } x \ = \ 0 \mbox{ } \end{cases}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Aja , leuchtet ein danke.
Jetzt muss ich dazu noch eine Potenreihenentwicklung erstellen bzgl. 0.
Habe jetzt mit der Mac laurinschen Reihe es probiert bis zur 4. Ableitung und bekomme : [mm] 1+0*x-x^2+0*x^3+x^4...
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k *x^k...soviel [/mm] hab ich schon mal aber den Rest der Reihe auf den komme ich nicht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:25 Sa 04.07.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo tunetemptation!
> Jetzt muss ich dazu noch eine Potenreihenentwicklung
> erstellen bzgl. 0.
Sicher? Wo noch nicht mal klar ist, ob bzw. wie oft differenzierbar die Funktion in [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ ist?
Gruß
Loddar
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steht so in der Aufgabenstellung : Geben sie eine Potenzreihenentwicklung fon f* bzgl. 0 an.
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Wenn ich allerdings [mm] \summe_{´ki=0}^{\infty} (-1)^k*x^{2k} [/mm] nehme kommen die Werte raus .
Ist das aber erlaubt da ja in der Mac L. Reihe steht [mm] 1+0*x-x^2+0*x^3.. [/mm] und in der Reihendarstellung vom cos(x) s.o. steht ja [mm] 1-x^2+x^4... [/mm] ALso mein 2. Glied der Mac L. Reihe ist nicht gleich dem 2. Glied der cos(x) Reihe ???
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Alternativ habe ich mir überlegt.
Gegebene Funktion : [mm] f(x)=\bruch{1}{x^2-1}
[/mm]
Diese Funktion integriere ich und erhalte tan^-1(x).
Diese Funktion nenne ich g(x).
Also [mm] f(x)=\integral_(g(x)'.
[/mm]
Die Reihenentwicklung von g(x) ist bekannt.
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*\bruch{x^(2n+1)}{2n+1}
[/mm]
So jetzt weiß ich aber leider nicht wie ich da weiter machen kann ob das Integral nur zufall ist oder ich beziehe mich auf Taylor mit der funktion f(x) die Werte ergeben die [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*(x^{2n}). [/mm] Bitte um Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:20 So 05.07.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo tunetemptatation!
> Alternativ habe ich mir überlegt.
> Gegebene Funktion : [mm]f(x)=\bruch{1}{x^2-1}[/mm]
Wann war diese Funktion wo gegeben?
> Diese Funktion integriere ich und erhalte tan^-1(x).
![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]") Das wäre mir arg neu und bin gespannt auf den entsprechenden Nachweis Deinerseits.
Gruß
Loddar
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Ich soll ja eine Potenzreihenentwicklung angeben für f* bzgl 0 also für [mm] \bruch{1}{x^2+1}.
[/mm]
Laut TR ist [mm] \integral \bruch{1}{x^2+1} [/mm] dx = arctan(x)
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> Ich soll ja eine Potenzreihenentwicklung angeben für f*
> bzgl 0 also für [mm]\bruch{1}{x^2+1}.[/mm]
> Laut TR ist [mm]\integral \bruch{1}{x^2+1}[/mm] dx = arctan(x)
>
[mm] \frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{1-(-x^2)} [/mm] stichwort geometrische reihe!
mh, aber wieso ist das f(x) nun ein anderes als im ersten post? oder hab ich nur den faden verloren?
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Mei bin ich blind na klar Geo reihe.
Wenn ich aber zb schreibe
[mm] \bruch{1}{x^2}*\bruch{1}{1+\bruch{1}{x^2}} [/mm] wäre mein a ja [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] und mein q [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] als Reihe
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{x^2}*(\bruch{1}{x^2})^k [/mm] was ja was anderes ist als [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(x^2)^k [/mm] ???
oder sehe ich es bloß nicht ???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:56 So 05.07.2009 | | Autor: | fencheltee |
> Mei bin ich blind na klar Geo reihe.
> Wenn ich aber zb schreibe
> [mm]\bruch{1}{x^2}*\bruch{1}{1+\bruch{1}{x^2}}[/mm] wäre mein a ja
> [mm]\bruch{1}{x^2}[/mm] und mein q [mm]\bruch{1}{x^2}[/mm] als Reihe
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{x^2}*(\bruch{1}{x^2})^k[/mm] was
> ja was anderes ist als [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(x^2)^k[/mm] ???
> oder sehe ich es bloß nicht ???
also meines erachtens ist [mm] a_n [/mm] nie von x abhängig. und dein q wär [mm] \frac{-1}{x^2}
[/mm]
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Gut dann
[mm] \bruch{1}{x^2}\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{-1}{x^2})^k
[/mm]
Wo ist mein Fehler ?
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Hallo,
also ich muß schon sagen: das ist ja grausam, was man hier heute morgen zu Gesichte bekommt.
Kannst Du jetzt vielleicht mal klar und deutlich sagen, welche Funktion hier nun weshalb in eine Potenzreihe entwickelt werden soll, und wo genau der Anknüpfungspunkt zur geposteten Aufgabenstellung ist? Ich habe im Eingangspost eine Funktion $ [mm] f(x)=\bruch{e^{x^2}-1}{x^2\cdot{}e^{x^2}} [/mm] $ gesehen, welche stetig zu ergänzen ist.
> Gut dann
> [mm]\bruch{1}{x^2}\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{-1}{x^2})^k[/mm]
> Wo ist mein Fehler ?
Achso. Jetzt soll man also fleißig zurückklicken, und sich aus den Fragmenten zusammensuchen, was Du gemacht hast? Find' ich ziemlich unhöflich.
Fändest Du es nicht, da Du hier Hilfe von Leuten erwartest, die Dir Ihre Freizeit widmen, passend, würdest Du Dir Mühe geben, Dein Problem und Deine Rechnungen zusammenhängend zu schildern? Sollte man von einem Studenten ja auch erwarten können.
Wenn ich jetzt mal alles zusammenkratze, ist Dein akuelles Problem das, daß Du über [mm] \bruch{1}{1+x^2} [/mm] nachdenkst,
die Reihendarstellungen [mm] \summe(-x^2)^n [/mm] und [mm] \bruch{1}{x^2}\summe(- \bruch{1}{x^2})^n [/mm] gefunden hast, und dies nicht in Deckung bringen kannst.
Hast Du denn schonmal drüber nachgedacht, für welche y die Reihe [mm] \summe y^k [/mm] dasselbe ist wie [mm] \bruch{1}{1-y}?
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:24 So 05.07.2009 | | Autor: | fencheltee |
> Alternativ habe ich mir überlegt.
> Gegebene Funktion : [mm]f(x)=\bruch{1}{x^2-1}[/mm]
> Diese Funktion integriere ich und erhalte tan^-1(x).
> Diese Funktion nenne ich g(x).
> Also [mm]f(x)=\integral_(g(x)'.[/mm]
> Die Reihenentwicklung von g(x) ist bekannt.
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*\bruch{x^(2n+1)}{2n+1}[/mm]
>
> So jetzt weiß ich aber leider nicht wie ich da weiter
> machen kann ob das Integral nur zufall ist oder ich beziehe
> mich auf Taylor mit der funktion f(x) die Werte ergeben die
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*(x^{2n}).[/mm] Bitte um Hilfe
>
ich versteh das irgendwie grad nicht.. im ersten post hattest du ein f(x), einen post weiter den umgewandelten grenzwert [mm] \frac{1}{1+x^2} [/mm] und nun gehts um [mm] \frac{1}{x^2-1}?!?
[/mm]
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Sorry, hatte mich verschrieben [mm] \bruch{1}{x^2+1} [/mm] natürlich.
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> Wenn ich allerdings [mm]\summe_{´ki=0}^{\infty} (-1)^k*x^{2k}[/mm]
> nehme kommen die Werte raus .
Hallo,
???
Welche Werte?
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:57 Mo 06.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei $g(t) := [mm] e^t$
[/mm]
Dann:
[mm] $\bruch{e^t-1}{t}= \bruch{g(t)-g(0)}{t-1} \to [/mm] g'(0) = 1$ für $t [mm] \to [/mm] 0$,
Also:
[mm] $\bruch{e^{x^2}-1}{x^2} \to [/mm] 1 $ für $x [mm] \to [/mm] 0$,
Fazit:
$f(x) [mm] \to [/mm] 1$ $x [mm] \to [/mm] 0$.
FRED
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Was hast du hier gemacht?
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> Was hast du hier gemacht?
Hallo,
Fred hat Dir hier einen Weg gezeigt, wie Du das Ursprungsproblem, nämlich den Grenzwert Deiner Funktion an der Stelle 0 zu berechnen, schrittweise lösen kannst.
Vielleicht erläuterst Du mal genauer, an welcher Stelle Du etwas nicht verstehst.
Was er gemacht hat, das kann man ja klar und deutlich sehen. Auch Du - rein optisch, meine ich.
Gruß v. Angela
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$ f(x) [mm] \to [/mm] 1 $ $ x [mm] \to [/mm] 0 $. sagt mir das die Funktion gegen 1 geht wenn x gegen 0 geht. Für was brauch ich das ?
Ich habe doch schon herausgerechnet das die stetige Ergänzung [mm] \bruch{1}{x^2+1} [/mm] ist.
Das verstehe ich nicht.
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> [mm]f(x) \to 1[/mm] [mm]x \to 0 [/mm]. sagt mir das die Funktion gegen 1
> geht wenn x gegen 0 geht. Für was brauch ich das ?
Hallo,
Du brauchst es, wenn Du Deine Funktion an der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] stetig ergänzen willst.
Du mußt Dir für diese Stelle einen Funktionswert überlegen, so daß die entstehende Funktion [mm] f^{\*} [/mm] stetig ist.
Und das ist nunmal die 1.
> Ich habe doch schon herausgerechnet das die stetige
> Ergänzung [mm]\bruch{1}{x^2+1}[/mm] ist.
Nein. Du hast ausgerechnet, daß Du mit [mm] \lim_{x\to 0}\bruch{1}{x^2+1} [/mm] stetig ergänzen mußt.
Und was kommt da raus?
> Das verstehe ich nicht.
Hast Du eigentlich kapiert, was 'ne stetige Ergänzung ist, was man da tut?
Man schaut anschaulich, ob man eine Funktion, die an einer Stelle nicht definiert ist, so flicken kann, daß die entstehende Funktion stetig ist.
Gruß v. Angela
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Das der linksseitige Grenzwert 1 ist hatte ich auch schon berechnet was mir bestätigt hat das ich die Funktion mit [mm] \bruch{^}{x^2+1} [/mm] für x=0 definieren kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:37 Mo 06.07.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo tunetemptation!
Nochmal: die Funktion $g(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{x^2+1}$ [/mm] hat nichts (in Worten: NICHTS) mit Deiner Funktion aus dem 1. Artikel zu tun!
Dieser Term [mm] $\bruch{1}{x^2+1}$ [/mm] ist lediglich bei der Grenzwertermittlung für [mm] $x\rightarrow [/mm] 0$ entstanden, um die Definitionslücke stetig zu schließen.
Zudem empfinde ich es als sehr frustrierend und enttäuschend, wenn gegebene Antworten offenbar gar nicht gelesen werden.
Gruß
Loddar
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Natürlich werden die gelesen sonst würde ich ja hier nicht schreiben.
Die Aufgabe war in zwei Teile geteilt und ich habe den Fehler gemacht es in einen Post zu schreiben. DieAufgabe hat sich ja jetzt eh geklärt. Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:46 Mo 06.07.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo tunetemptation!
> Natürlich werden die gelesen sonst würde ich ja hier
> nicht schreiben.
Mit "Lesen" meine ich auch "darüber Gedanken machen und (halbwegs) verstehen". Ansonsten nachfragen.
Und genau dafür hast Du hier jede Menge Gegenbeispiele geliefert, da Du auf gewisse Sachen mehrfach hingewisen wurdest und dennoch derselbe Fehler dann nochmal kam!
Gruß
Loddar
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