Stetig fortsetzbar < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man untersuche die folgenden Funktionen auf stetige Fortsetzbarkeit im Punkt [mm](0,0)[/mm]:
[mm](i)f:\IR\setminus\left\{(0,0)\right\}\to \IR, f(x,y)=\bruch{x^2y^2}{x^2+y^2}[/mm]
[mm](ii)f:\IR\setminus\left\{(x,y)|x+y=0\right\}\to \IR, f(x,y)=\bruch{xy}{x+y}[/mm] |
Also, ich glaube ,dass beide stetig mit (0,0) fortsetzbar sind, klappt immerhin schon für folgen auf allen geraden [mm]G_a=\{(x,(a*x)|x\in\IR\}[/mm], bei (ii) natürlich a=-1 ausgenommen. Dann bekommt man:
[mm]f(x)=\bruch{a^2}{1+a^2}x^2[/mm]
[mm]f(x)=\bruch{a}{1+a}x[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Di 05.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Tipp: Polarkoordinaten
$x = r [mm] cos(\phi)$
[/mm]
$y = r [mm] sin(\phi)$
[/mm]
FRED
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Ah, ok, dann bekomme ich
[mm](i) f(r,\phi)=\bruch{r^4\cos^2(\phi)\sin^2(\phi)}{r^2}=\bruch{r^2}{2}\sin^2\left(\bruch{\phi}{2}\right) \to 0 \mbox{ für } r \to 0[/mm]
[mm](ii) f(r,\phi)=\bruch{r^2\cos(\phi)\sin(\phi)}{r\cos(\phi)+r\sin(\phi)}=\bruch{r}{2}\bruch{\sin(\phi/2)}{cos(\phi)+sin(\phi)} \to 0 \mbox{ für } r \to 0[/mm]
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Hallo Adrian,
> Ah, ok, dann bekomme ich
>
> [mm](i) f(r,\phi)=\bruch{r^4\cos^2(\phi)\sin^2(\phi)}{r^2}=\bruch{r^2}{2}\sin^2\left(\bruch{\phi}{2}\right) \to 0 \mbox{ für } r \to 0[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Und das unabh. vom Winkel [mm] $\varphi$, [/mm] dh. du kannst die Funktion in $(x,y)=(0,0)$ durch die Festlegung $f(0,0):=0$ stetig fortsetzen
>
> [mm](ii) f(r,\phi)=\bruch{r^2\cos(\phi)\sin(\phi)}{r\cos(\phi)+r\sin(\phi)}=\bruch{r}{2}\bruch{\sin(\phi/2)}{cos(\phi)+sin(\phi)} \to 0 \mbox{ für } r \to 0[/mm]
Na, stimmt das denn für beliebige Winkel [mm] $\varphi$? [/mm] Was ist, wenn [mm] $\cos(\varphi)+\sin(\varphi)=0$ [/mm] ist?
Dann würde das gegen [mm] $0\cdot{}\infty$ [/mm] streben, also einen unbestimmten Ausdruck.
Hier musst du wohl noch ein bisschen weiter wühlen ...
LG
schachuzipus
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Ok, hab mir das nochmal durch den Kopf gehen lassen, und die Antwort von schachuzipus lässt es vermuten, für Aufgabe (ii) gibt es keine Lösung.Wir gesagt, es gilt in Polarkoordinaten
[mm]f(r,\varphi)=\bruch{r}{2}*\bruch{\sin(2*\varphi)}{\sin(\varphi)+\cos(\varphi)}[/mm]
Gut, für alle Paare [mm](r,\varphi)[/mm] aus dem Definitionsbereich von f gibts keine Probleme, weil dann eben [mm]\sin(\varphi)+\cos(\varphi)\not=0[/mm] ist. Aber betrachten wir die Folge [mm]\left\{\left(\bruch{2}{n},\bruch{3*\pi}{4}+\bruch{1}{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty}[/mm] betrachten,dann ist der Grenzwert von [mm]f\left(\bruch{2}{n},\bruch{3*\pi}{4}+\bruch{1}{n}\right)[/mm] nämlich gerade [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}\mbox{ für } n \to \infty[/mm]. Betrachten wir aber nun zum Beispiel eine Folge [mm]\left\{\left(x_n,0\right)\right\}[/mm], dann ist [mm]f=0 \forall (x_n,0)\in\ID[/mm] und somit auch der limes. Demnach existiert kein Grenzwert [mm]\limes_{x\rightarrow0}f(x)[/mm], wobei hier natürlich [mm]x\in\IR\setminus\left\{(x,y)|x+y=0\right\}[/mm] gilt.
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