Stetige Abbildung von I in I < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei I= [0,1] das abgeschlossene Einheitsintervall. Sei f eine stetige Abbildung von I in I. Man beweise, dass für wenigstens ein [mm] x\in [/mm] I gilt: f(x)=x |
Entweder bin ich über Weihnachten komplett verblödet oder ich hab das ganze anscheinend gar nicht richtig verstanden.
Ich kann das jedenfalls nicht beweisen, wieß gar nicht, wie ich da vorgehen soll! Kann mir jemand vieleicht helfen?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:25 Sa 09.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei I= [0,1] das abgeschlossene Einheitsintervall. Sei f
> eine stetige Abbildung von I in I. Man beweise, dass für
> wenigstens ein [mm]x\in[/mm] I gilt: f(x)=x
> Entweder bin ich über Weihnachten komplett verblödet
> oder ich hab das ganze anscheinend gar nicht richtig
> verstanden.
>
> Ich kann das jedenfalls nicht beweisen, wieß gar nicht,
> wie ich da vorgehen soll! Kann mir jemand vieleicht helfen?
Schau dir die Funktion $g(x) := f(x) - x$ an. Du suchst eine Nullstelle dieser in $[0, 1]$. Was kannst du ueber die Funktionswerte in 0 und 1 sagen? Ist die Funktion ebenfalls stetig?
LG Felix
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Die Funktionswerte nähern sich [mm] x_0 [/mm] an also ist sie auch stetig.
Sorry, aber ich habs trotzdem noch nicht richtig verstanden...hab grad das Gefühl als seimir das Thema komplett fremd..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Sa 09.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
Was ist denn [mm] $x_{0}$? [/mm] Das wurde nirgendwo definiert.
Ich versuche mal, das etwas anschaulicher anzugehen:
Angenommen, $f(x)$ wäre immer (echt) größer als $x$, was gilt dann für $f(1)$?
Was ist, wenn $f(x)$ immer (echt) kleiner als $x$ ist?
Was folgt daraus?
Das erstmal als Denkanreiz, ich würde sagen, wir arbeiten dann Schrittweise weiter ^^;
Gruß,
AT-Colt
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sorry, dass ich mich so blöd anstelle....aber vielleicht kommen wir ja trotzdem noch zum Ergebnis :)
also f(1) ist demnach (echt) größer als 1
und wenn f(x) (echt) kleiner ist als x dann ist demnach f(1) (echt) kleiner als 1
was daraus folgt? ich überlege...weiß es auf anhieb nicht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Sa 09.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
> sorry, dass ich mich so blöd anstelle....aber vielleicht
> kommen wir ja trotzdem noch zum Ergebnis :)
Ich hoffe doch ^^; Das ist jetzt nicht böse gemeint, aber wenn ich mir Deine anderen Fragen so anschaue, musst Du Dir unbedingt die ganzen Definitionen und so nochmal anlesen und vor allem bildhaft verstehen. Das hilft ungemein weiter.
> also f(1) ist demnach (echt) größer als 1
Korrekt, widerspricht das irgendwie der Aufgabenstellung?
> und wenn f(x) (echt) kleiner ist als x dann ist demnach
> f(1) (echt) kleiner als 1
Nicht falsch, ich hätte jetzt aber gewollt, dass Du schreibst "dann ist demnach f(0) (echt) kleiner als 0". ^^;
> was daraus folgt? ich überlege...weiß es auf anhieb nicht
Das machen wir schon.
Gruß,
AT-Colt
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Mi 13.01.2010 | | Autor: | MamFate |
Hallo, ich habe da mal eine Frage ... also ... ich habe mich mit dem versucht was ihr hier geschrieben habt ... das Resultät daraus ...
$f(x)>x [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \not\in [/mm] I$ und $f(x)<x [mm] \Rightarrow x\in [/mm] I [mm] \Rightarrow [/mm] f(x)=x [mm] \in [/mm] I$
... ich denk mir mal dazwischen müsste noch was stehen ... habt jedoch bitte Gnade mit mir ... das ist mein erster Versuch mit einem Forum ... und diesem Formeleditor ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Mi 13.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, ich habe da mal eine Frage ... also ... ich habe
> mich mit dem versucht was ihr hier geschrieben habt ... das
> Resultät daraus ...
>
> [mm]f(x)>x \Rightarrow x \not\in I[/mm] und [mm]f(x)
>
> ... ich denk mir mal dazwischen müsste noch was stehen ...
> habt jedoch bitte Gnade mit mir ... das ist mein erster
> Versuch mit einem Forum ... und diesem Formeleditor ...
Ich bin der Meinung, die obigen Antworten (bis auf die von Felix) sind etwas irreführend.
Setze g(x) = f(x) -x.
Überzeuge Dich von g(0) [mm] \ge [/mm] 0 und g(1) [mm] \le [/mm] 0
Was sagt der Zwischenwertsatz dazu ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Mi 13.01.2010 | | Autor: | MamFate |
Hi ... hab lieben Dank für deine schnelle Reaktion ... ja das hab ich acuh schon versucht demnach ist $g(x):=f(x)-x=x-x=0 [mm] \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \in [/mm] I$ und der ZWS sagt meiner Meinung nach aus das es bei Funktionen mit ungeraden Exponenten eine Nullstelle geben muss, die im Intervall enthalten ist ...
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Hiho,
> [mm]g(x):=f(x)-x=x-x=0 \Rightarrow 0 \in I[/mm]
ok, was machst du hier?
Wieso setzt du für $f(x) = x$ ein?
Machen wir mal langsam, wir halten fest, es gilt:
$g(0) [mm] \ge [/mm] 1, g(1) [mm] \le [/mm] 0$
> und der ZWS sagt
> meiner Meinung nach aus das es bei Funktionen mit ungeraden
> Exponenten eine Nullstelle geben muss, die im Intervall
> enthalten ist ...
Nein, das ist eine Aussage, die man mithilfe des Zwischenwertsatzes herleiten kann!
Der ZWS sagt aus:
Sei $f: [a,b] [mm] \rightarrow \IR$ [/mm] oBdA $f(a) [mm] \le [/mm] f(b)$, dann gibt es zu jedem [mm] $c\in [/mm] [f(a),f(b)]$ ein [mm] x_c, [/mm] so dass [mm] $f(x_c) [/mm] = c$
2 Dinge nun:
1.) Was bringt dir das, wenn du weisst $g(0) [mm] \ge [/mm] 1, g(1) [mm] \le [/mm] 0$
2.) Überlege dir gleich, wie man damit den von dir zitierten Satz beweisen kann.
MFG,
Gono.
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Ich klinke mich hier mal wieder mit ein, da ich die Aufgabe auhc nicht wirklich hinbekomme..
1) Das bringt mir sofern was, da möglicherweise x=0 oder/und x=1 f(x(=x gilt
2) also ist möglicherweise x=1 eine Nullstelle, die auch noch imIntervall liegen muss??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Mi 13.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Mathegirl,
> 1) Das bringt mir sofern was, da möglicherweise x=0
> oder/und x=1 f(x(=x gilt
>
> 2) also ist möglicherweise x=1 eine Nullstelle, die auch
> noch imIntervall liegen muss??
Alles das gilt in der Tat "möglicherweise". Es muss nicht gelten und hilft daher für diesen Beweis leider nicht weiter.
Guck dir nochmal die Schritte 1.) und 2.) in https://matheraum.de/read?i=641276 an! Bei 1.) brauchst du den Zwischenwertsatz.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:29 Mi 13.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Bei deiner Formulierung des Zwischenwertsatzes hast du vergessen zu schreiben, dass f stetig sein muss.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Mi 13.01.2010 | | Autor: | MamFate |
... mh ich habe das $f(x)=x$ aus der Aufgabenstellung eingesetzt so bin ich auf die Null gekommen ...
... wenn ich weiss das [mm] $g(0)\ge [/mm] 0$ und [mm] $g(1)\le [/mm] 1$ dann setze ich also nur noch die Definition des Zwischenwertsatzes für stetige Funktionen ein
der ja aussagt dass, $g(0) [mm] \le [/mm] g(1)$ ein $g(x)=x [mm] \in [/mm] I$ gibt, oder und das war ja auch zu zeigen ...
Noch mal zusammengefasst hab ich folgendes als Beweis:
Sei $g(x)=f(x)-x$. Es gilt [mm] $g(0)\ge [/mm] 0$ und [mm] $g(1)\le [/mm] 0$.
Entweder hat $g$ also am Rand oder nach dem Zwischenwertsatz im Inneren eine Nullstelle
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,1]$ mit $g(x)=0$ und somit auch $f(x)=0$
Lieben lieben Dank für Eure Hilfe schon bisher! LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Mi 13.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
Alles richtig, bis auf einen Schreibfehler am Ende:
> Entweder hat [mm]g[/mm] also am Rand oder nach dem Zwischenwertsatz
> im Inneren eine Nullstelle
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] [0,1]$ mit $g(x)=0$ und somit auch
> $f(x)=0$
Es muss natürlich $f(x)=x$ heissen.
Gruß,
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:42 Mi 13.01.2010 | | Autor: | MamFate |
Danke schön nochmal ... und ja ich hab es verbessert bei mir!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:57 Mi 13.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
> Machen wir mal langsam, wir halten fest, es gilt:
>
> [mm]g(0) \ge 1, g(1) \le 0[/mm]
Gemeint ist $g(0) [mm] \ge [/mm] 0, g(1) [mm] \le [/mm] 0$.
Gruß,
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:58 Do 14.01.2010 | | Autor: | Mathegirl |
okay, dann brauche ich meine Lösung nicht mehr zu posten, habe es mitlerweile auch hinbekommen dank eurer Tipps!
Aber frage mich bloß, ob das für die Aufgabe als Beweis schon ausreicht...???
Grüße
Mathegirl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Do 14.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Wenn du dir unter https://matheraum.de/read?i=641318 den Beweis im letzten Abschnitt anguckst: Ergänze zu Beginn der letzten Zeile die Worte "es existiert ein"und ersetze am Ende das $f(x)=0$ durch $f(x)=x$.
Dann hast du aus meiner Sicht einen vollständigen Beweis. Gut, man könnte noch aufschreiben, warum genau [mm] $g(0)\ge [/mm] 0$ und [mm] $g(1)\le [/mm] 0$ gelten. Hast du sonst eine bestimmte Stelle, die dir zu ungenau erscheint?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:18 Do 14.01.2010 | | Autor: | Mathegirl |
muss man nicht noch zeigen, WARUM/WIESO g am Rand eine Nullstelle hat oder laut zwischenwertsatz im Inneren eine Nullstelle?
Es ist mir so ja auch verständlich, aber ich denke für die erforderlichen Punkte müsste es "mehr" sein. Aber auf "mehr" komme ich leider auch nicht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:06 Do 14.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> muss man nicht noch zeigen, WARUM/WIESO g am Rand eine
> Nullstelle hat oder laut zwischenwertsatz im Inneren eine
> Nullstelle?
Wenn g zufällig am Rand eine Nullstelle hat, haben wir eine Nullstelle von g gefunden. Wenn nicht, gilt $g(0)>0$ und $g(1)<0$. Der Zwischenwertsatz liefert dann direkt, dass g im Intervall $(0,1)$ eine Nullstelle hat.
(Je nachdem, wie der Zwischenwertsatz bei euch genau formuliert wurde, ist selbst diese Fallunterscheidung überflüssig. Dann folgt mit dem Zwischenwertsatz direkt aus [mm] $g(0)\ge [/mm] 0$ und [mm] $g(1)\le [/mm] 0$, dass g im Intervall $[0,1]$ eine Nullstelle hat.)
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