Stetige Abhängigkeit < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 So 27.09.2009 | | Autor: | uecki |
Hallo,
Frage: Was bedeutet die stetige Abhängigkeit von der rechten Seite und den Anfangsbedingungen?
Antwort:
Wir betrachten zwei ähnliche DGL:
x'=f(t,x); [mm] x(t_0)=x_0
[/mm]
[mm] \overline{x}' [/mm] = [mm] f(t,\overline{x}); \overline{x}(t_0)=\overline{x}_o
[/mm]
Es gilt:
[mm] |f(t,x)-f(t,\overline{x})|\le \omega
[/mm]
[mm] |x_0 [/mm] - [mm] \overline{x}| \le \delta
[/mm]
Wenn wir für die sukzessive Approximation von x(t) die Lösung der zweiten Gleichung als erste Näherung verwenden, falls notwendig auf [mm] \Omega_r [/mm] stetig fortgesetzt werden kann, falls sie dort nicht definiert ist:
[mm] \phi_0=\overline{x}=\overline{x}_0 [/mm] + [mm] \integral_{t_0}^{t}{\overline{f}(s,\phi_0(s)) ds}
[/mm]
[mm] \phi_1= x_0 [/mm] + [mm] \integral_{t_0}^{t}{f(s,\phi_0(s)) ds}
[/mm]
[mm] |\phi_1-\phi_0| [/mm] = ( [mm] x_0 [/mm] + [mm] \integral_{t_0}^{t}{f(s,\phi_0(s)) ds})-(\overline{x}_0 [/mm] + [mm] \integral_{t_0}^{t}{\overline{f}(s,\phi_0(s)) ds})
[/mm]
[mm] |\phi_1-\phi_0| \le (\delta [/mm] + [mm] |t-t_0|\omega)
[/mm]
So, die Rechnung verstehe ich nur soweit, dass wir zwei ähnliche DGL haben und die Lösung der zweiten DGL als Näherung der ersten DGL nehmen. Und das Ergebnis würde ich einfach so interpretieren, dass der Unterschied der beiden DGL sehr klein ist, kleiner bzw. gleich [mm] (\delta [/mm] + [mm] |t-t_0|\omega). [/mm] Richtig? Aber was sind [mm] \delta [/mm] und [mm] \omega [/mm] für Zahlen? Sind die in einer bestimmten Umgebung oder was kann ich mir darunter vorstellen?
Und was hat das Ganze mit der eigentlichen Frage da oben zu tun???
Danke im Voraus!
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:58 Mo 28.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast recht, nur nicht mit dem sehr klein.
Da gilt nur, wenn die anfabgswerte nahe beeinander lige [mm] (\delta) [/mm] und sich die fkt. wenig unterscheiden [mm] (\omega) [/mm] Und fuer Zeiten nahe bei [mm] t_0.
[/mm]
Man sieht ewa, dass bei gleichen Funktionen [mm] (\omega=o)..aber [/mm] verschiedenen Anfangswerten, die Loesg nicht weit auseinaderlaufen. Aber auch bei beinahe gleichen fkt laufen die Loesg mit der Zeit moeglicherweise beliebig weit auseinander,
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 08:12 Mo 28.09.2009 | | Autor: | uecki |
Also kann man das Ergenis, als die Größe, um die sich die Funktion und/oder der Anfangswert ändern darf, sodass das Ergebnis noch gültig ist?
Deswegen sagt man doch dann auch, dass die Lösung einer beliebigen Anfangswertaufgabe in einer hinreichend kleinen Umgebung von [mm] x_0 [/mm] eindeutig lösbar ist, oder?
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:20 Mi 30.09.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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