Stetige Fortsetzbarkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:20 Di 20.12.2011 | | Autor: | imzadi |
Guten Tag,
Ich habe eine p stetig auf ganz R und periodisch, und eine f auf R ohne Null definiert wie folgt:f(x)gleich p(1/x).Ich muss zeigen: f ist stetig fotsetzbar wenn p konstant ist.Mein Plan war:ich nehme an p ist nicht konstant,d.h. Es existieren x1 und x2 mit p(x1) ungleich p(x2)und... Fuehre zum Widerspruch ,dass f nicht stetig fortsetzbar. Dh ich moechte zwei Nullfolgen finden,deren Funktionswerte gegen verschiedene Grenzwerte konvergieren,oder? Vielleicht hat jemand einen Tipp fuer mich,wie ich weiter kommen kann.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen Seiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:30 Di 20.12.2011 | | Autor: | Helbig |
> Guten Tag,
> Ich habe eine p stetig auf ganz R und periodisch, und eine
> f auf R ohne Null definiert wie folgt:f(x)gleich p(1/x).Ich
> muss zeigen: f ist stetig fotsetzbar wenn p konstant
> ist.Mein Plan war:ich nehme an p ist nicht konstant,d.h. Es
> existieren x1 und x2 mit p(x1) ungleich p(x2)und... Fuehre
> zum Widerspruch ,dass f nicht stetig fortsetzbar. Dh ich
> moechte zwei Nullfolgen finden,deren Funktionswerte gegen
> verschiedene Grenzwerte konvergieren,oder? Vielleicht hat
> jemand einen Tipp fuer mich,wie ich weiter kommen kann.
Warum so kompliziert? Wenn $p$ konstant ist, ist ja auch $f$ konstant, also gibt es ein $c$ mit $f(x)=c$ für alle [mm] $x\in\IR$, $x\ne [/mm] 0$. Jetzt setze $f(0)=0$. Damit ist $f$ auch in $0$ stetig.
Oder mußt Du zeigen, $f$ ist stetig fortsetzbar, genau dann, wenn $p$ konstant ist?
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:40 Di 20.12.2011 | | Autor: | imzadi |
Also die Richtung p konstant - f stetig fortsetzbar habe ich bereits gezeigt. Habe deinen Beitrag noch nicht genau gelesen,hat mich "warum so kompliziert" etwas abgeschreckt, da ich weiss, dass Aufgabe etwas kniffliger ist. hast du auch Periodizitaet von p irgendwo ausgenutzt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:59 Di 20.12.2011 | | Autor: | Helbig |
> Also die Richtung p konstant - f stetig fortsetzbar habe
> ich bereits gezeigt.
Ja! mehr habe ich auch nicht gezeigt.
Wahrscheinlich wolltest Du Hilfe in der anderen Richtung, also
Wenn $p$ nicht konstant ist, ist $f$ nicht stetig fortsetzbar.
Aber genau dies hast Du nicht in Deiner Aufgabe geschrieben!
> Habe deinen Beitrag noch nicht genau
> gelesen,hat mich "warum so kompliziert" etwas abgeschreckt,
> da ich weiss, dass Aufgabe etwas kniffliger ist. hast du
> auch Periodizitaet von p irgendwo ausgenutzt?
Nein. Wenn $p$ konstant ist, brauche ich die Periodizität ja nicht auch noch. Die ist automatisch gegeben. Die braucht man allerdings für die andere, nicht von mir bewiesene, Richtung.
Ist es das, was Du eigentlich wolltest?
Gruß
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:11 Mi 21.12.2011 | | Autor: | imzadi |
Ich will zeigen: f ist stetig fortsetzbar,dann ist p konstant. Um dies zu beweisen ,nehme ich an,dass p nicht konstant und fuehre zum Widerspruch, dass f nicht stetig fortsetzbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:32 Mi 21.12.2011 | | Autor: | Helbig |
> Ich will zeigen: f ist stetig fortsetzbar,dann ist p
> konstant. Um dies zu beweisen ,nehme ich an,dass p nicht
> konstant und fuehre zum Widerspruch, dass f nicht stetig
> fortsetzbar.
Ja. Das hatte ich schon geahnt. Also $p$ habe die Periode [mm] $\alpha [/mm] > 0$, d. h.
[mm] $p(x)=p(x+\alpha)$ [/mm] für alle [mm] $x\in\IR$. [/mm] Nach Deiner Annahme gibt es [mm] $x_1,\; x_2$ [/mm] mit [mm] $p(x_1) \ne p(x_2)$. [/mm] Die Folgen [mm] $\left(\bruch 1 {x_1+n\p\alpha}\right)_n$ [/mm] und [mm] $\left(\bruch 1 {x_2+n\p\alpha}\right)_n$ [/mm] konvergieren gegen $0$. Da $f$ stetig in 0 fortsetzbar ist, konvergieren die Folgen [mm] $\left( f\left(\bruch 1 {x_1+n\alpha}\right)\right)_n$ [/mm] und [mm] $\left( f\left(\bruch 1 {x_2+n\alpha}\right)\right)_n$ [/mm] gegen denselben Grenzwert. Aber wegen der Periodizität sind dies konstante Folgen mit den verschiedenen Werten [mm] $p(x_1)$ [/mm] bzw. [mm] $p(x_2)$ [/mm] und also auch verschiedenen Grenzwerten.
OK?
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:35 Mi 21.12.2011 | | Autor: | imzadi |
Vielen Dank,super,jetzt ist mir vieles klarer.Sorry,habe anfangs meine Frage nicht ganz korrekt formuliert.
Lg imzadi
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